Частица в коробке

Некоторые траектории частицы в ящике по Ньютона законам классической механики (А) и по уравнению Шрёдингера квантовой механики (Б–F). В (B–F) горизонтальная ось — это положение, а вертикальная ось — действительная (синяя) и мнимая часть (красная) волновой функции . Состояния (B,C,D) являются собственными энергетическими состояниями , а (E,F) — нет.

В квантовой механике модель частицы в ящике (также известная как бесконечная потенциальная яма или бесконечная квадратная яма ) описывает движение свободной частицы в небольшом пространстве, окруженном непроницаемыми барьерами. Модель в основном используется как гипотетический пример для иллюстрации различий между классическими и квантовыми системами. Например, в классических системах частица, запертая внутри большого ящика, может двигаться внутри него с любой скоростью, и вероятность ее обнаружения в одном положении не выше, чем в другом. Однако когда яма становится очень узкой (в масштабе нескольких нанометров), квантовые эффекты становятся важными. Частица может занимать только определенные положительные энергетические уровни . Точно так же она никогда не может иметь нулевую энергию, а это означает, что частица никогда не может «сидеть на месте». Кроме того, его с большей вероятностью можно найти в определенных положениях, чем в других, в зависимости от его энергетического уровня. Частица никогда не может быть обнаружена в определенных положениях, известных как пространственные узлы.

Модель «частица в ящике» — одна из очень немногих задач квантовой механики, которую можно решить аналитически, без приближений. Благодаря своей простоте модель позволяет понять квантовые эффекты без необходимости использования сложной математики. Он служит простой иллюстрацией того, как возникают квантования энергии (энергетические уровни), которые встречаются в более сложных квантовых системах, таких как атомы и молекулы. Это одна из первых задач квантовой механики, изучаемая на курсах физики для студентов бакалавриата, и она обычно используется в качестве приближения для более сложных квантовых систем.

Одномерное решение

Барьеры снаружи одномерного ящика имеют бесконечно большой потенциал, а внутри ящика — постоянный нулевой потенциал. Показана смещённая скважина с ${\textstyle x_{c}=L/2}$

Простейшая форма частицы в коробчатой ​​модели рассматривает одномерную систему. Здесь частица может двигаться только вперед и назад по прямой линии с непроницаемыми барьерами на обоих концах. Стенки одномерного ящика можно рассматривать как области пространства с бесконечно большой потенциальной энергией . И наоборот, внутренняя часть коробки имеет постоянную нулевую потенциальную энергию. Это означает, что на частицу внутри ящика не действуют никакие силы, и она может свободно перемещаться в этой области. Однако бесконечно большие силы отталкивают частицу, если она касается стенок ящика, не давая ей улететь. Потенциальная энергия в этой модели определяется как

$$V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},$$

где L — длина ящика, x _c — местоположение центра ящика, а x — положение частицы внутри ящика. Простые случаи включают центрированный блок ( x _c = 0) и смещенный блок ( x _c = L /2) (на рисунке).

Функция позиционной волны

В квантовой механике волновая функция дает наиболее фундаментальное описание поведения частицы; все измеримые свойства частицы (такие как ее положение, импульс и энергия) могут быть получены из волновой функции. Волновая функция $\psi (x,t)$ можно найти, решив уравнение Шрёдингера для системы

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),$$

где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка , $m$ - масса частицы, $i$ является мнимой единицей и $t$ это время.

Внутри ящика на частицу не действуют никакие силы, а это означает, что часть волновой функции внутри ящика колеблется в пространстве и времени с той же формой, что и свободная частица :

$$\psi (x,t)=\left[A\sin(kx)+B\cos(kx)\right]e^{-i\omega t},$$

( 1 )

где $A$ и $B$ являются произвольными комплексными числами . Частота колебаний в пространстве и времени определяется волновым числом $k$ и угловая частота $\omega$ соответственно. Оба они связаны с полной энергией частицы выражением

$$E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},$$

которое известно как дисперсионное соотношение для свободной частицы. Здесь надо заметить, что теперь, поскольку частица не совсем свободна, а находится под действием потенциала (описанного выше потенциала V ), приведенная выше энергия частицы не есть то же самое, что и ${\frac {p^{2}}{2m}}$ где p — импульс частицы, и, таким образом, волновое число k, приведенное выше, фактически описывает энергетические состояния частицы, а не состояния импульса (т. е. оказывается, что импульс частицы не определяется выражением $p=\hbar k$). В этом смысле довольно опасно называть число k волновым числом, поскольку оно не связано с импульсом, как обычно связано с «волновым числом». Обоснование того, чтобы назвать k волновым числом, заключается в том, что оно перечисляет количество гребней, которые волновая функция имеет внутри ящика, и в этом смысле это волновое число. Это несоответствие можно увидеть более наглядно ниже, когда мы обнаружим, что энергетический спектр частицы дискретен (допускаются только дискретные значения энергии), но спектр импульса непрерывен (импульс может изменяться непрерывно) и, в частности, соотношение $E={\frac {p^{2}}{2m}}$ ибо энергия и импульс частицы не соблюдаются. Как было сказано выше, причина, по которой эта связь между энергией и импульсом не выполняется, заключается в том, что частица не свободна, но в системе существует потенциал V , а энергия частицы равна $E=T+V$, где T — кинетическая, а V — потенциальная энергия.

Начальные волновые функции для первых четырех состояний одномерной частицы в ящике

Амплитуда волновой функции в данной позиции связана с вероятностью найти там частицу соотношением $P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$. Поэтому волновая функция должна исчезать всюду за краями ящика. Кроме того, амплитуда волновой функции не может резко «перескакивать» из одной точки в другую. Этим двум условиям удовлетворяют только волновые функции вида

$$\psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},$$

где

$$k_{n}={\frac {n\pi }{L}},$$

и

$$E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}},$$

где n — целое положительное число (1, 2, 3, 4, ...). Для сдвинутого ящика ( x _c = L /2) решение особенно простое. Самые простые решения, $k_{n}=0$ или $A=0$ оба дают тривиальную волновую функцию $\psi (x)=0$, который описывает частицу, не существующую нигде в системе. Отрицательные значения $n$ пренебрегают, так как они дают волновые функции, идентичные положительным $n$ решения, за исключением физически несущественной смены знака. только дискретный набор значений энергии и волновых чисел k Здесь видно, что для частицы разрешен . Обычно в квантовой механике требуется, чтобы производная волновой функции помимо самой волновой функции была непрерывной; здесь это требование привело бы к тому, что единственным решением стала бы постоянная нулевая функция, чего мы не хотим, поэтому мы отказываемся от этого требования (поскольку эту систему с бесконечным потенциалом можно рассматривать как нефизический абстрактный предельный случай, мы можем рассматривать его как такие и «нарушать правила»). Обратите внимание, что отказ от этого требования означает, что волновая функция не является дифференцируемой функцией на границе ящика, и, следовательно, можно сказать, что волновая функция не решает уравнение Шредингера в граничных точках. $x=0$ и $x=L$ (но решает это везде).

Наконец, неизвестная константа $A$ может быть найдена путем нормировки волновой функции так, чтобы полная плотность вероятности обнаружения частицы в системе была равна 1.

Математически,

$$\int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1$$

(Частица должна где-то быть ).

Отсюда следует, что

$$\left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}}.$$

Таким образом, A может быть любым комплексным числом с абсолютным значением √ 2/ L ; эти разные значения A приводят к одному и тому же физическому состоянию, поэтому A = √ 2/ L для упрощения можно выбрать .

Ожидается, что собственные значения , т. е. энергия $E_{n}$ коробки должна быть одинаковой независимо от ее положения в пространстве, но $\psi _{n}(x,t)$ изменения. Обратите внимание, что $x_{c}-{\tfrac {L}{2}}$ представляет собой фазовый сдвиг волновой функции. Этот фазовый сдвиг не влияет на решение уравнения Шредингера и, следовательно, не влияет на собственное значение .

Если мы установим начало координат в центр прямоугольника, мы можем кратко переписать пространственную часть волновой функции как:

$$\psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}$$

Волновая функция импульса

Волновая функция импульса пропорциональна преобразованию Фурье волновой функции положения. С $k=p/\hbar$ (обратите внимание, что параметр k, описывающий волновую функцию импульса ниже, не совсем тот специальный k _n , указанный выше, связанный с собственными значениями энергии), волновая функция импульса определяется выражением

$$\phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},$$

где sinc — кардинальная функция sinc , sinc( x ) = sin( x )/ x . Для центрированного прямоугольника ( x _c = 0 ) решение реально и особенно просто, поскольку фазовый коэффициент справа уменьшается до единицы. (С осторожностью ее можно записать как четную функцию от p .)

Видно, что спектр импульса в этом волновом пакете непрерывен, и можно заключить, что для энергетического состояния, описываемого волновым числом k _n , импульс при измерении может достигать и других значений , выходящих за рамки $p=\pm \hbar k_{n}$.

Следовательно, также оказывается, что, поскольку энергия ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ для n- го собственного состояния соотношение ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ строго не выполняется для измеренного импульса p ; собственное состояние энергии $\psi _{n}$ не является собственным состоянием импульса и, по сути, даже не является суперпозицией двух собственных состояний импульса, как можно было бы предположить из приведенного выше уравнения ( 1 ): странно, что оно не имеет четко определенного импульса до измерения!

вероятностей положения

В классической физике частицу можно обнаружить в любом месте ящика с равной вероятностью. Однако в квантовой механике плотность вероятности обнаружения частицы в заданном положении получается из волновой функции как $P(x)=|\psi (x)|^{2}.$ Для частицы в ящике плотность вероятности найти частицу в заданном положении зависит от ее состояния и определяется выражением

$$P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}$$

Таким образом, для любого значения n , большего единицы, внутри прямоугольника существуют области, для которых $P(x)=0$, что указывает на существование пространственных узлов , в которых частицу невозможно найти.

В квантовой механике среднее или математическое ожидание положения частицы определяется выражением

$$\langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.$$

Для стационарной частицы в ящике можно показать, что среднее положение всегда равно $\langle x\rangle =x_{c}$, независимо от состояния частицы. Для суперпозиции состояний математическое ожидание позиции будет меняться в зависимости от перекрестного члена, который пропорционален $\cos(\omega t)$.

Дисперсия положения является мерой неопределенности положения частицы:

$$\mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$$

Плотность вероятности обнаружения частицы с заданным импульсом определяется из волновой функции как $P(x)=|\phi (x)|^{2}$. Как и в случае с положением, плотность вероятности обнаружения частицы с заданным импульсом зависит от ее состояния и определяется выражением

$$P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)$$

где опять же $k=p/\hbar$. Затем математическое ожидание импульса рассчитывается равным нулю, а дисперсия импульса рассчитывается как:

$$\mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}$$

Неопределенности в положении и импульсе ( $\Delta x$ и $\Delta p$) определяются как равные квадратному корню их соответствующих дисперсий, так что:

$$\Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}$$

Это произведение увеличивается с увеличением n , имея минимум при n = 1. Значение этого произведения при n = 1 примерно равно 0,568. $\hbar$, который подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга , который гласит, что произведение будет больше или равно $\hbar /2$.

Другой мерой неопределенности положения является информационная энтропия распределения вероятностей H _x :

$$H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)$$

где x ₀ — произвольная эталонная длина.

Другой мерой неопределенности импульса является информационная энтропия распределения вероятностей H _p :

$$H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp$$

$$\lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)$$

где γ — постоянная Эйлера . Квантово-механический принцип энтропийной неопределенности гласит, что для $x_{0}\,p_{0}=\hbar$

$$H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...$$

( нац )

Для $x_{0}\,p_{0}=\hbar$, сумма энтропии положения и импульса дает:

$$H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...$$

где единицей измерения является nat и который удовлетворяет принципу квантовой энтропийной неопределенности.

Уровни энергии

Энергия частицы в ящике (черные кружки) и свободной частицы (серая линия) одинаково зависят от волнового числа. Однако частица в ящике может иметь только определенные дискретные уровни энергии.

Энергии, соответствующие каждому из разрешенных волновых чисел, можно записать как

$$E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.$$

Уровень энергии увеличивается с $n^{2}$Это означает, что высокие энергетические уровни отделены друг от друга на большее расстояние, чем низкие энергетические уровни. Наименьшая возможная энергия частицы (ее нулевая энергия ) находится в состоянии 1, которое определяется выражением

$$E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.$$

Следовательно, частица всегда имеет положительную энергию. Это контрастирует с классическими системами, где частица может иметь нулевую энергию, находясь в неподвижном состоянии. Это можно объяснить с точки зрения принципа неопределенности , который гласит, что произведение неопределенностей в положении и импульсе частицы ограничено

$$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$$

Можно показать, что неопределенность положения частицы пропорциональна ширине ящика. Таким образом, неопределенность импульса примерно обратно пропорциональна ширине ящика. Кинетическая энергия частицы определяется выражением $E=p^{2}/(2m)$, и, следовательно, минимальная кинетическая энергия частицы в ящике обратно пропорциональна массе и квадрату ширины ямы, что качественно согласуется с приведенным выше расчетом.

Ящики более высоких измерений

(Гипер-)прямоугольные стены

Волновая функция двумерной скважины с n _x =4 и n _y =4

Если частица заперта в двумерном ящике, она может свободно перемещаться в $x$ и $y$-направления, между барьерами, разделенными длинами $L_{x}$ и $L_{y}$ соответственно. Для центрированного прямоугольника волновую функцию положения можно записать, включая длину прямоугольника, как $\psi _{n}(x,t,L)$. Используя подход, аналогичный подходу к одномерному ящику, можно показать, что волновые функции и энергии для центрированного ящика задаются соответственно выражением

$$\psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),$$

$$E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},$$

где двумерный волновой вектор определяется выражением

$$\mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .$$

Для трехмерного ящика решения таковы:

$$\psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),$$

$$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},$$

где трехмерный волновой вектор определяется выражением:

$$\mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .$$

В общем случае для n -мерного ящика решения таковы:

$$\psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})$$

Волновые функции n -мерного импульса также могут быть представлены как $\phi _{n}(x,t,L_{x})$ и тогда волновая функция импульса для n -мерного центрированного ящика будет равна:

$$\phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})$$

Интересной особенностью вышеупомянутых решений является то, что когда две или более длины одинаковы (например, $L_{x}=L_{y}$), существует несколько волновых функций, соответствующих одной и той же полной энергии. Например, волновая функция с $n_{x}=2,n_{y}=1$ имеет ту же энергию, что и волновая функция с $n_{x}=1,n_{y}=2$. Эта ситуация называется вырождением , а в случае, когда ровно две вырожденные волновые функции имеют одинаковую энергию, уровень энергии называется дважды вырожденным . Вырождение является результатом симметрии системы. В приведенном выше случае две длины равны, поэтому система симметрична относительно поворота на 90 °.

Более сложные формы стен

Волновая функция квантово-механической частицы в ящике со стенками произвольной формы задается уравнением Гельмгольца с граничным условием, согласно которому волновая функция обращается в нуль на стенках. Эти системы изучаются в области квантового хаоса для форм стенок, соответствующие динамические бильярдные столы которых неинтегрируемы.

Приложения

Из-за своей математической простоты модель «частица в ящике» используется для поиска приближенных решений для более сложных физических систем, в которых частица заперта в узкой области низкого электрического потенциала между двумя барьерами с высоким потенциалом. Эти системы с квантовыми ямами особенно важны в оптоэлектронике и используются в таких устройствах, как лазер с квантовыми ямами , инфракрасный фотодетектор с квантовыми ямами и модулятор эффекта Штарка с квантовыми ограничениями . Он также используется для моделирования решетки в модели Кронига – Пенни и для конечного металла в приближении свободных электронов.

Конъюгированные полиены

β-каротин – конъюгированный полиен.

Системы сопряженных полиенов можно смоделировать с помощью частиц в ящике. Сопряженную систему электронов можно смоделировать как одномерный ящик длиной, равной общему расстоянию связи от одного конца полиена до другого. В этом случае каждая пара электронов в каждой π-связи соответствует своему энергетическому уровню. Разность энергий между двумя энергетическими уровнями n _f и n _i равна:

$$\Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}$$

Разница между энергией основного состояния n и первого возбужденного состояния n+1 соответствует энергии, необходимой для возбуждения системы. Эта энергия имеет определенную длину волны и, следовательно, цвет света, связанный следующим соотношением:

$$\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}$$

Типичным примером этого явления является β-каротин . β-каротин (C ₄₀ H ₅₆ ) представляет собой конъюгированный полиен оранжевого цвета с длиной молекулы около 3,8 нм (хотя длина его цепи составляет всего около 2,4 нм). β-каротина Из-за высокого уровня сопряжения электроны рассредоточены по всей длине молекулы, что позволяет моделировать ее как одномерную частицу в ящике. β-каротин имеет 11 углерод -углеродных двойных связей в сопряжении; каждая из этих двойных связей содержит два π-электрона, следовательно, β-каротин имеет 22 π-электрона. Имея два электрона на энергетическом уровне, β-каротин можно рассматривать как частицу в ящике на энергетическом уровне n = 11. Следовательно, минимальную энергию, необходимую для возбуждения электрона на следующий энергетический уровень, можно рассчитать, n = 12, следующим образом: (напоминая, что масса электрона равна 9,109 × 10 ⁻³¹ кг ):

$$\Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}$$

Используя предыдущее соотношение длины волны и энергии, вспомнив как постоянную Планка h , так и скорость света c :

$$\lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}=0.00000084{\text{ m}}=840{\text{ nm}}$$

Это указывает на то, что β-каротин в первую очередь поглощает свет в инфракрасном спектре, поэтому человеческому глазу он кажется белым. Однако наблюдаемая длина волны составляет 450 нм, что указывает на то, что частица в ящике не является идеальной моделью для этой системы.

Лазер на квантовых ямах

Модель «частица в ящике» может быть применена к лазерам с квантовыми ямами , которые представляют собой лазерные диоды, состоящие из одной полупроводниковой «ямы» материала, зажатой между двумя другими полупроводниковыми слоями из другого материала. Поскольку слои этого сэндвича очень тонкие (средний слой обычно имеет толщину около 100 Å), квантового ограничения . можно наблюдать эффекты Идея о том, что квантовые эффекты можно использовать для создания более совершенных лазерных диодов, возникла в 1970-х годах. Лазер с квантовыми ямами был запатентован в 1976 году Р. Динглом и Ч. Генри.

В частности, поведение квантовых ям может быть представлено частицей в модели с конечной ямой. Необходимо выбрать два граничных условия. Во-первых, волновая функция должна быть непрерывной. Часто в качестве второго граничного условия выбирают производную волновой функции, которая должна быть непрерывной по всей границе, но в случае квантовой ямы массы различны по обе стороны границы. Вместо этого второе граничное условие выбирается для сохранения потока частиц как $(1/m)d\phi /dz$, что согласуется с экспериментом. Решение для частицы с конечной ямой в ящике должно быть решено численно, что приводит к волновым функциям, которые являются синусоидальными функциями внутри квантовой ямы и экспоненциально затухающими функциями в барьерах. Такое квантование энергетических уровней электронов позволяет лазеру с квантовыми ямами излучать свет более эффективно, чем обычные полупроводниковые лазеры.

Из-за своего небольшого размера квантовые точки не демонстрируют объемные свойства указанного полупроводника, а скорее демонстрируют квантованные энергетические состояния. Этот эффект известен как квантовое ограничение и привел к многочисленным применениям квантовых точек, таких как лазер с квантовыми ямами.

Исследователи из Принстонского университета недавно создали лазер с квантовой ямой размером не больше рисового зернышка. Лазер питается от одного электрона, который проходит через две квантовые точки; двойная квантовая точка. Электрон переходит из состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой энергией, испуская фотоны в микроволновом диапазоне. Эти фотоны отражаются от зеркал, создавая луч света; лазер.

Лазер с квантовыми ямами в значительной степени основан на взаимодействии света и электронов. Это соотношение является ключевым компонентом квантово-механических теорий, которые включают в себя длину волны де Бройля и частицу в коробке. Двойная квантовая точка позволяет ученым получить полный контроль над движением электрона, что, в свою очередь, приводит к образованию лазерного луча.

Квантовые точки

Квантовые точки — это чрезвычайно маленькие полупроводники (в масштабе нанометров). Они демонстрируют квантовое ограничение в том смысле, что электроны не могут покинуть «точку», что позволяет использовать приближение «частица в ящике». Их поведение можно описать трехмерными уравнениями квантования энергии «частица в ящике».

Энергетическая щель квантовой точки — это энергетическая щель между ее валентной зоной и зоной проводимости . Этот энергетический разрыв $\Delta E(r)$ равен зазору сыпучего материала $E_{\text{gap}}$ плюс полученное уравнение энергии «частица в ящике», которое дает энергию для электронов и дырок . Это можно увидеть в следующем уравнении, где $m_{e}^{*}$ и $m_{h}^{*}$ – эффективные массы электрона и дырки, $r$ - радиус точки, а $h$ — постоянная Планка:

$$\Delta E(r)=E_{\text{gap}}+\left({\frac {h^{2}}{8r^{2}}}\right)\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{h}^{*}}}\right)$$

Следовательно, энергетическая щель квантовой точки обратно пропорциональна квадрату «длины ящика», то есть радиусу квантовой точки.

Манипулирование запрещенной зоной позволяет поглощать и излучать свет определенной длины, поскольку энергия обратно пропорциональна длине волны. Чем меньше квантовая точка, тем больше ширина запрещенной зоны и, следовательно, тем короче поглощаемая длина волны.

Различные полупроводниковые материалы используются для синтеза квантовых точек разного размера и, следовательно, излучают свет с разной длиной волны. Часто используются материалы, которые обычно излучают свет в видимой области, а их размеры точно настраиваются так, чтобы излучались определенные цвета. Типичными веществами, используемыми для синтеза квантовых точек, являются кадмий (Cd) и селен (Se). Например, когда электроны двухнанометровых квантовых точек CdSe расслабляются после возбуждения , излучается синий свет. Точно так же красный свет излучается четырехнанометровыми квантовыми точками CdSe.

Квантовые точки выполняют множество функций, включая, помимо прочего, флуоресцентные красители, транзисторы , светодиоды , солнечные элементы и медицинскую визуализацию с помощью оптических датчиков.

Одной из функций квантовых точек является их использование при картировании лимфатических узлов, что возможно благодаря их уникальной способности излучать свет в ближней инфракрасной (NIR) области. Картирование лимфатических узлов позволяет хирургам отслеживать, существуют ли раковые клетки и где они находятся.

Квантовые точки полезны для этих функций из-за их излучения более яркого света, возбуждения широким спектром длин волн и более высокой устойчивости к свету, чем другие вещества.

эффекты

Плотность вероятности не стремится к нулю в узлах, если релятивистские эффекты учитываются с помощью уравнения Дирака.

См. также

• История квантовой механики
• Конечная потенциальная яма
• Потенциал дельта-функции
• Газ в коробке
• Частица в кольце
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Квантовый гармонический осциллятор
• Полукруглая потенциальная скважина
• Конфигурационный интеграл (статистическая механика)
• Теорема Блоха

Библиография

• Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (2000). Квантовая механика (2-е изд.). Эссекс: Pearson Education. ISBN  978-0-582-35691-7 .
• Дэвис, Джон Х. (2006). Физика низкоразмерных полупроводников: Введение (6-е переиздание). Издательство Кембриджского университета.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN  978-0-13-111892-8 .

Внешние ссылки

• Интеграл конфигурации (статистическая механика) , 2008. Этот вики-сайт недоступен; эту статью смотрите в веб-архиве от 28 апреля 2012 года .