Квантовый эффект Штарка

Квантовый ( эффект Штарка QCSE ) описывает влияние внешнего электрического поля света на спектр поглощения или спектр излучения квантовой ямы (КЯ). В отсутствие внешнего электрического поля электроны и дырки внутри квантовой ямы могут занимать состояния только внутри дискретного набора энергетических подзон. Система может поглощать или излучать только дискретный набор частот света. При приложении внешнего электрического поля электронные состояния смещаются в сторону более низких энергий, а дырочные состояния — в сторону более высоких энергий. Это снижает допустимые частоты поглощения или излучения света. Кроме того, внешнее электрическое поле смещает электроны и дырки к противоположным сторонам ямы, уменьшая интеграл перекрытия, что, в свою очередь, снижает эффективность рекомбинации (т.е. квантовый выход флуоресценции ) системы. Пространственное разделение электронов и дырок ограничено наличием потенциальных барьеров вокруг квантовой ямы, а это означает, что экситоны способны существовать в системе даже под действием электрического поля. Квантовый эффект Штарка используется в оптических модуляторах QCSE , которые позволяют быстро включать и выключать сигналы оптической связи.

Даже если квантовые объекты (например, лунки, точки или диски) излучают и поглощают свет, как правило, с более высокими энергиями, чем ширина запрещенной зоны материала, QCSE может сместить энергию к значениям, меньшим, чем ширина запрещенной зоны. Недавно это было подтверждено при исследовании квантовых дисков, встроенных в нанопроволоку.

Теоретическое описание

Сдвиг линий поглощения можно рассчитать, сравнивая уровни энергии в несмещенных и смещенных квантовых ямах. Найти уровни энергии в несмещенной системе проще из-за ее симметрии. Если внешнее электрическое поле мало, его можно рассматривать как возмущение несмещенной системы, и его приблизительный эффект можно найти с помощью теории возмущений .

Беспристрастная система

Потенциал квантовой ямы можно записать как

$V(z)={\begin{cases}0;&|z|<L/2\\V_{0};&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$,

где $L$ ширина колодца и $V_{0}$ – высота потенциальных барьеров. Связанные состояния в яме лежат при наборе дискретных энергий: $E_{n}$ и соответствующие волновые функции могут быть записаны с использованием приближения огибающей функции следующим образом:

$\psi (\mathbf {r} )=\phi _{n}(z){\frac {1}{\sqrt {A}}}e^{i(k_{x}\cdot {x}+k_{y}\cdot {y})}u(\mathbf {r} ).$

В этом выражении $A$ - площадь поперечного сечения системы, перпендикулярная направлению квантования, $u(\mathbf {r} )$ — периодическая функция Блоха для края энергетической зоны в объемном полупроводнике и $\phi _{n}(z)$ — медленно меняющаяся огибающая системы.

Слева: волновые функции, соответствующие уровням n=1 и n=3 в квантовой яме без приложенного электрического поля ( ${\vec {F}}=0$). Справа: пертурбативный эффект приложенного электрического поля. ${\vec {F}}\neq 0$ изменяет волновые функции и уменьшает энергию $E$ перехода n=1.

Если квантовая яма очень глубокая, ее можно аппроксимировать моделью частицы в ящике , в которой $V_{0}\to \infty$. В рамках этой упрощенной модели существуют аналитические выражения для волновых функций связанного состояния в форме

$\phi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\times {\begin{cases}\cos \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{odd}}\\\sin \left({\frac {n\pi z}{L}}\right)&n\,{\text{even}}\end{cases}}.$

Энергии связанных состояний равны

$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}\pi ^{2}}{2m^{*}L^{2}}},$

где $m^{*}$ - эффективная масса электрона в данном полупроводнике.

Предвзятая система

Предположим, что электрическое поле смещено вдоль направления z:

$\mathbf {F} =F\mathbf {z} ,$

возмущающий член гамильтониана равен

$H'=eFz.$

Поправка первого порядка к уровням энергии равна нулю из-за симметрии.

$E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|eFz|n^{(0)}\rangle =0$.

Поправка второго порядка равна, например, n=1,

$E_{1}^{(2)}=\sum _{k\neq 1}{\frac {|\langle k^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}\approx {\frac {|\langle 2^{(0)}|eFz|1^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{1}^{(0)}-E_{2}^{(0)}}}=-24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{e}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}$

для электрона, где введено дополнительное приближение пренебрежения членами возмущения, обусловленными связанными состояниями с четным k и > 2. Для сравнения, члены возмущения из состояний с нечетным k равны нулю из-за симметрии.

Аналогичные расчеты можно применить к дыркам, заменив эффективную массу электрона $m_{e}^{*}$ с эффективной массой отверстия $m_{h}^{*}$. Вводя полную эффективную массу $m_{tot}^{*}=m_{e}^{*}+m_{h}^{*}$, энергетический сдвиг первого оптического перехода, вызванный QCSE, можно аппроксимировать следующим образом:

$\Delta E\approx -24\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{6}{\frac {e^{2}F^{2}m_{tot}^{*}L^{4}}{\hbar ^{2}}}.$

Сдвиг вниз уровня ограниченной энергии, обсуждаемый в приведенном выше уравнении, называется эффектом Франца-Келдыша.

Сделанные до сих пор приближения довольно грубы, тем не менее экспериментально сдвиг энергии показывает квадратичную зависимость от приложенного электрического поля: как и было предсказано.

Коэффициент поглощения

Экспериментальная демонстрация квантово-ограниченного эффекта Штарка в Ge/Si $_{0.18}$Ге $_{0.82}$ квантовые ямы.

Численное моделирование коэффициента поглощения Ge/Si $_{0.18}$Ге $_{0.82}$ квантовые ямы

Помимо красного смещения в сторону более низких энергий оптических переходов, электрическое поле постоянного тока также вызывает уменьшение величины коэффициента поглощения, поскольку оно уменьшает перекрывающиеся интегралы, связывающие волновые функции валентной зоны и зоны проводимости. Учитывая сделанные до сих пор приближения и отсутствие какого-либо приложенного электрического поля вдоль z, интеграл перекрытия для $n_{valence}=n_{conduction}$ переходы будут:

$\langle \phi _{c,n}|\phi _{v,n}\rangle =1$.

Чтобы вычислить, как этот интеграл изменяется квантовым эффектом Штарка, мы снова используем независимую от времени теорию возмущений .Поправка первого порядка для волновой функции равна

$\phi _{n}^{'}=\sum _{k\neq n}{\frac {\langle \phi _{n}|H'|\phi _{k}\rangle }{E_{n}-E_{k}}}|\phi _{k}\rangle$.

Еще раз мы посмотрим на $n=1$ уровне энергии и рассматривать только возмущение с уровня $n=2$ (заметим, что возмущение от $n=3$ было бы $=0$ из-за симметрии). Мы получаем

$\phi _{c,1}=\phi _{c,1}^{0}+\phi _{c,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)-\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{e}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)$

$\phi _{v,1}=\phi _{v,1}^{0}+\phi _{v,1}^{'}={\frac {1}{A}}\left(\cos \left({\frac {\pi z}{L}}\right)+\left({\frac {2}{3\pi }}\right)^{4}{\frac {2m_{h}^{*}eFL^{3}}{\hbar ^{2}}}\sin \left({\frac {\pi z}{L}}\right)\right)$

для зоны проводимости и валентной зоны соответственно, где $A$ был введен как нормировочная константа. Для любого приложенного электрического поля ${\vec {F}}\cdot {\hat {z}}\neq 0$ мы получаем

$\langle \phi _{c,1}|\phi _{v,1}\rangle <1$.

Таким образом, согласно золотому правилу Ферми , которое гласит, что вероятность перехода зависит от вышеуказанного интеграла перекрытия, сила оптического перехода ослабляется.

Экситоны

Описание квантово-размерного эффекта Штарка, данное теорией возмущений второго порядка, чрезвычайно просто и интуитивно понятно. роль экситонов Однако для правильного изображения ККСЭ необходимо учитывать . Экситоны - это квазичастицы, состоящие из связанного состояния электронно-дырочной пары, энергию связи которых в объемном материале можно смоделировать как энергию водородного атома.

$E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{\frac {R_{H}}{n^{2}}}$

где $R_{H}$ – постоянная Ридберга , $\mu$ – приведенная масса электронно-дырочной пары и $\varepsilon _{r}$ – относительная электрическая проницаемость.Энергия связи экситона должна быть включена в энергетический баланс процессов поглощения фотонов:

$h\nu >E_{g}-E_{X}$.

Таким образом, генерация экситонов смещает оптическую запрещенную зону в красную сторону в сторону более низких энергий.Если к объемному полупроводнику приложить электрическое поле, наблюдается дальнейшее красное смещение спектра поглощения из-за эффекта Франца-Келдыша . Благодаря противоположным электрическим зарядам электрон и дырка, составляющие экситон, будут раздвигаться под действием внешнего электрического поля. Если поле достаточно сильное

$-e{\vec {F}}\cdot {\vec {r_{X}}}>|E_{X}|$

тогда экситоны перестают существовать в объемном материале. Это несколько ограничивает применимость метода Франца-Келдыша для целей модуляции, поскольку красному смещению, индуцированному приложенным электрическим полем, противодействует сдвиг в сторону более высоких энергий из-за отсутствия генерации экситонов.

Эта проблема не существует в QCSE, поскольку электроны и дырки удерживаются в квантовых ямах. Пока глубина квантовой ямы сравнима с экситонным радиусом Бора , сильные экситонные эффекты будут присутствовать независимо от величины приложенного электрического поля. Более того, квантовые ямы ведут себя как двумерные системы, что сильно усиливает экситонные эффекты по отношению к объемному материалу. Фактически, решение уравнения Шредингера для кулоновского потенциала в двумерной системе дает экситонную энергию связи

$E_{X,n}={\frac {\mu }{m_{e}\varepsilon _{r}^{2}}}{\frac {R_{H}}{n^{2}-1/2}}$

что в четыре раза выше, чем в трехмерном случае для $1s$ решение.

Оптическая модуляция

Анимированное изображение, показывающее изменение спектра поглощения квантовых ям GaAs/AlGaAs под действием внешнего напряжения.

Наиболее многообещающее применение квантово-ограниченного эффекта Штарка заключается в его способности выполнять оптическую модуляцию в ближнем инфракрасном спектральном диапазоне, что представляет большой интерес для кремниевой фотоники и уменьшения масштаба оптических межсоединений . Модулятор электропоглощения на основе QCSE состоит из PIN- область которой структуры, внутренняя содержит несколько квантовых ям и действует как волновод для несущего сигнала . Электрическое поле можно индуцировать перпендикулярно квантовым ямам, применяя внешнее обратное смещение к PIN-диоду, вызывая QCSE. Этот механизм можно использовать для модуляции длин волн ниже запрещенной зоны несмещенной системы и в пределах красного смещения, индуцированного QCSE.

Хотя впервые было продемонстрировано в квантовых ямах GaAs / Al _x Ga _1-x As , QCSE начал вызывать интерес после его демонстрации в Ge / SiGe . В отличие от полупроводников III/V, стопки квантовых ям Ge/SiGe могут быть эпитаксиально выращены поверх кремниевой подложки при условии наличия некоторого буферного слоя между ними. Это решающее преимущество, поскольку оно позволяет интегрировать Ge/SiGe QCSE с CMOS. технологией и системы кремниевой фотоники.

Германий — полупроводник с непрямой запрещенной зоной , ширина запрещенной зоны которого составляет 0,66 эВ . Однако он также имеет относительный минимум в зоне проводимости. $\Gamma$ точка , с прямой запрещенной зоной 0,8 эВ, что соответствует длине волны 1550 нм . Таким образом, QCSE в квантовых ямах Ge/SiGe можно использовать для модуляции света с коэффициентом 1,55. $\mu m$, что имеет решающее значение для приложений кремниевой фотоники, поскольку 1,55 $\mu m$ Это окно прозрачности оптического волокна и наиболее широко используемая длина волны в телекоммуникациях.Путем точной настройки параметров материала, таких как глубина квантовой ямы, двухосная деформация и содержание кремния в яме, также можно настроить оптическую запрещенную зону системы квантовых ям Ge/SiGe для модуляции на длине волны 1310 нм. что также соответствует окну прозрачности для оптических волокон.Электрооптическая модуляция с помощью QCSE с использованием квантовых ям Ge/SiGe была продемонстрирована до 23 ГГц с энергией на бит всего 108 фДж. и интегрирован в конфигурацию волновода на волноводе SiGe

См. также

• Эффект Франца-Келдыша

Общие источники

• Марк Фокс, Оптические свойства твердых тел , Оксфорд, Нью-Йорк, 2001.
• Хартмут Хауг, Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников , World Scientific, 2004.
• https://web.archive.org/web/20100728030241/http://www.rle.mit.edu/sclaser/6.973%20lecture%20notes/Lecture%2013c.pdf
• Шунь Лиен Чуан, Физика фотонных устройств , Wiley, 2009.