Почти наверняка

В теории вероятностей , что событие говорят произойдет почти наверняка (иногда сокращается как ) , если оно происходит с вероятностью 1 (относительно меры вероятности). ^[1] Другими словами, набор исходов, при которых событие не происходит, имеет вероятность 0, даже если этот набор не может быть пустым. Это понятие аналогично понятию « почти везде » в теории меры . В вероятностных экспериментах на конечном выборочном пространстве с ненулевой вероятностью для каждого результата нет разницы между почти наверняка и наверняка (поскольку вероятность 1 влечет за собой включение всех точек выборки ); однако это различие становится важным, когда пространство выборки представляет собой бесконечное множество . ^[2] потому что бесконечное множество может иметь непустые подмножества с вероятностью 0.

Некоторые примеры использования этой концепции включают сильные и однородные версии закона больших чисел , непрерывность траекторий броуновского движения и теорему о бесконечной обезьяне . термины почти наверняка (ас) и почти всегда Также используются (аа). Почти никогда не описывает противоположность почти наверняка : событие, которое происходит с нулевой вероятностью, случается почти никогда . ^[3]

Формальное определение

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством . Событие $E\in {\mathcal {F}}$ произойдет почти наверняка, если $P(E)=1$ . Эквивалентно, $E$ произойдет почти наверняка, если вероятность $E$ не происходит, равно нулю : $P(E^{C})=0$ . В более общем смысле любой набор $E\subseteq \Omega$ (не обязательно в ${\mathcal {F}}$ ) произойдет почти наверняка, если $E^{C}$ содержится в нулевом наборе : подмножестве $N$ в ${\mathcal {F}}$ такой, что $P(N)=0$ . ^[4] Понятие почти наверняка зависит от вероятностной меры. $P$ . Если необходимо подчеркнуть эту зависимость, принято говорить, что событие $E$ происходит Р — почти наверняка или почти наверняка $\left(\!P\right)$ .

Наглядные примеры

В общем, событие может произойти «почти наверняка», даже если рассматриваемое вероятностное пространство включает результаты, которые не принадлежат событию, как иллюстрируют следующие примеры.

Бросок дротика

Представьте себе, что вы бросаете дротик в единичный квадрат (квадрат площадью 1 ) так, чтобы дротик всегда попадал в точную точку квадрата, таким образом, что каждая точка квадрата будет с одинаковой вероятностью поражена . Поскольку площадь квадрата равна 1, вероятность того, что дротик попадет в какую-либо конкретную часть квадрата, равна площади этой части. Например, вероятность того, что дротик попадет в правую половину квадрата, равна 0,5, поскольку площадь правой половины равна 0,5.

Далее рассмотрим случай, когда дротик попадает ровно в точку на диагоналях единичного квадрата. Поскольку площадь диагоналей квадрата равна 0, вероятность того, что дротик приземлится точно по диагонали, равна 0. То есть дротик почти никогда не приземлится по диагонали (т. е. почти наверняка он не приземлится по диагонали). ), хотя множество точек на диагоналях не пусто и точка на диагонали не менее возможна, чем любая другая точка.

Многократное подбрасывание монеты

Рассмотрим случай, когда подбрасывается монета (возможно, смещенная), что соответствует вероятностному пространству $(\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)$ , где событие $\{H\}$ происходит, если перевернуть голову, и $\{T\}$ если хвост подброшен. Для этой конкретной монеты предполагается, что вероятность выпадения орла равна $P(H)=p\in (0,1)$ , из чего следует, что дополнительное событие — подбрасывание хвоста — имеет вероятность $P(T)=1-p$ .

Теперь предположим, что был проведен эксперимент, в котором монету бросали несколько раз, и результаты $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ и предположение, что результат каждого подброса не зависит от всех остальных (т. е. они независимы и одинаково распределены ; iid ). Определите последовательность случайных величин в пространстве для подбрасывания монеты, $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ где $X_{i}(\omega )=\omega _{i}$ . то есть каждый $X_{i}$ фиксирует результат $i$ этот флип.

В этом случае возможным результатом эксперимента является любая бесконечная последовательность орлов и решек. Однако любая конкретная бесконечная последовательность орлов и решек имеет вероятность 0 быть точным результатом (бесконечного) эксперимента. Это связано с тем, что предположение iid подразумевает, что вероятность перевернуть все головы вверх $n$ сальто - это просто $P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}$ . Сдача в аренду $n\rightarrow \infty$ дает 0, так как $p\in (0,1)$ по предположению. Результат один и тот же, независимо от того, насколько сильно мы смещаем монету в сторону орла, пока мы ограничиваем $p$ быть строго между 0 и 1. Фактически, тот же результат верен даже в нестандартном анализе, где допускаются бесконечно малые вероятности. ^[5]

При этом событие «последовательность бросков содержит хотя бы один $T$ " тоже произойдет почти наверняка (т.е. с вероятностью 1).Но если вместо бесконечного числа бросков переворачивание прекращается через некоторое конечное время, скажем, 1 000 000 бросков, то вероятность получения последовательности, в которой выпадут все орлы, $p^{1,000,000}$ , больше не будет равна 0, а вероятность выпадения хотя бы одной решки, $1-p^{1,000,000}$ , больше не будет равно 1 (т. е. событие уже не почти наверняка).

Асимптотически почти наверняка

В асимптотическом анализе говорят, что свойство выполняется асимптотически почти наверняка (aas), если в последовательности множеств вероятность сходится к 1. Это эквивалентно сходимости по вероятности . Например, в теории чисел большое число асимптотически почти наверняка является составным согласно теореме о простых числах ; а в теории случайных графов утверждение « $G(n,p_{n})$ подключено » (где $G(n,p)$ обозначает графики на $n$ вершины с вероятностью ребра $p$ ) верно тогда, когда для некоторых $\varepsilon >0$

p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.

^[6]

В теории чисел это называется « почти все », то есть «почти все числа составные». Точно так же в теории графов это иногда называют «почти наверняка». ^[7]

См. также

Почти
Почти везде соответствующее понятие в теории меры
Сходимость случайных величин , для «почти уверенной сходимости».
С большой вероятностью
Правило Кромвеля , которое гласит, что вероятности почти никогда не следует принимать равными нулю или единице.
Вырожденное распределение для «почти наверняка постоянного»
Теорема о бесконечных обезьянах — теорема, использующая вышеупомянутые термины.
Список математического жаргона

Примечания

^ Вайсштейн, Эрик В. «Почти наверняка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 16 ноября 2019 г.
^ «Почти наверняка – Math Central» . mathcentral.uregin.ca . Проверено 16 ноября 2019 г.
^ Гредель, Эрих; Колайтис, Фокион Г.; Либкин Леонид ; Маркс, Мартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Ю.; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (2007). Теория конечных моделей и ее приложения . Спрингер. п. 232 . ISBN 978-3-540-00428-8 .
^ Жакод, Жан; Проттер (2004). Основы вероятности . Спрингер. п. 37 . ISBN 978-3-540-438717 .
^ Уильямсон, Тимоти (1 июля 2007 г.). «Насколько вероятно существование бесконечной последовательности голов?» . Анализ . 67 (3): 173–180. дои : 10.1093/анализ/67.3.173 . ISSN 0003-2638 .
^ Фридгут, Эхуд; Рёдль, Войтех; Ручинский, Анджей; Тетали, Прасад (январь 2006 г.). «Резкий порог для случайных графов с одноцветным треугольником в каждой раскраске ребер». Мемуары Американского математического общества . 179 (845). Книжный магазин АМС: 3–4. дои : 10.1090/memo/0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .
^ Спенсер, Джоэл Х. (2001). «0. Два стартовых примера» . Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Том. 22. Спрингер. п. 4. ISBN 978-3540416548 .

Ссылки

Роджерс, LCG; Уильямс, Дэвид (2000). Диффузии, марковские процессы и мартингалы . Том. 1: Фонды. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521775946 .
Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с Мартингалами . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521406055 .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Почти наверняка» . mathworld.wolfram.com . Проверено 16 ноября 2019 г.

[2] «Почти наверняка – Math Central» . mathcentral.uregin.ca . Проверено 16 ноября 2019 г.

[Gradel-3] Гредель, Эрих; Колайтис, Фокион Г.; Либкин Леонид ; Маркс, Мартен; Спенсер, Джоэл; Варди, Моше Ю.; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (2007). Теория конечных моделей и ее приложения . Спрингер. п. 232 . ISBN 978-3-540-00428-8 .

[Jacod-4] Жакод, Жан; Проттер (2004). Основы вероятности . Спрингер. п. 37 . ISBN 978-3-540-438717 .

[5] Уильямсон, Тимоти (1 июля 2007 г.). «Насколько вероятно существование бесконечной последовательности голов?» . Анализ . 67 (3): 173–180. дои : 10.1093/анализ/67.3.173 . ISSN 0003-2638 .

[RandGraph-6] Фридгут, Эхуд; Рёдль, Войтех; Ручинский, Анджей; Тетали, Прасад (январь 2006 г.). «Резкий порог для случайных графов с одноцветным треугольником в каждой раскраске ребер». Мемуары Американского математического общества . 179 (845). Книжный магазин АМС: 3–4. дои : 10.1090/memo/0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .

[Springer-7] Спенсер, Джоэл Х. (2001). «0. Два стартовых примера» . Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. Том. 22. Спрингер. п. 4. ISBN 978-3540416548 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]