Инициализированное дробное исчисление

В математическом анализе инициализация различных интегралов является темой дробного исчисления .

Правило композиции дифференциальных интегралов

Закон композиции дифференциально -интегрального оператора гласит, что хотя:

$\mathbb {D} ^{q}\mathbb {D} ^{-q}=\mathbb {I}$

где D ^{− q} левым обратным D является ^д , обратное не обязательно верно:

$\mathbb {D} ^{-q}\mathbb {D} ^{q}\neq \mathbb {I}$

Пример

целого порядка Рассмотрим элементарное исчисление . Ниже показано интегрирование и дифференцирование на примере функции. $3x^{2}+1$:

${\frac {d}{dx}}\left[\int (3x^{2}+1)dx\right]={\frac {d}{dx}}[x^{3}+x+C]=3x^{2}+1\,,$

Теперь об изменении порядка композиции:

$\int \left[{\frac {d}{dx}}(3x^{2}+1)\right]=\int 6x\,dx=3x^{2}+C\,,$

Где C — константа интегрирования . инициализированное условие ƒ '(0) = C , ƒ ''(0) = D Даже если это не было очевидным, можно было использовать и т. д. Если бы мы пренебрегли этими условиями инициализации, последнее уравнение показало бы состав интегрирования, а дифференцирование (и наоборот) не было бы выполнено.

Описание инициализации

Работа с правильно инициализированным дифференциальным интегралом является предметом инициализированного дробного исчисления. Если интеграл различия инициализирован правильно, то ожидаемый закон композиции выполняется. Проблема в том, что при дифференцировании информация теряется, как и в случае с C в первом уравнении.

Однако в дробном исчислении, учитывая, что оператор дроблен и, следовательно, непрерывен, целая дополнительная функция необходима . Это называется дополнительной функцией $\Psi$.

$\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{n-q-1}f(\tau )\,d\tau +\Psi (x)$

См. также

• Начальные условия
• Динамические системы

Ссылки

• Лоренцо, Карл Ф.; Хартли, Том Т. (2000), Инициализированное дробное исчисление (PDF) , НАСА (технический отчет).