Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее

В статистике авторегрессионные скользящего среднего дробно-интегрированные модели представляют собой модели временных рядов , которые обобщают модели ARIMA ( авторегрессионное интегрированное скользящее среднее ), допуская нецелые значения разностного параметра . Эти модели полезны при моделировании временных рядов с длинной памятью , то есть в которых отклонения от долгосрочного среднего затухают медленнее, чем экспоненциальное затухание. Часто используются аббревиатуры «ARFIMA» или «FARIMA», хотя также принято просто расширять обозначение «ARFIMA( p , d , q )» для моделей, просто позволяя порядку дифференцирования d принимать дробные значения. . Дробное дифференцирование и модель ARFIMA были представлены в начале 1980-х годов Клайвом Грейнджером , Розлин Джойе и Джонатаном Хоскингом.

Основы

В ARIMA модели интегрированная часть модели включает оператор разности (1 - B ) (где B — оператор обратного сдвига ), возведенный в целочисленную степень. Например,

$(1-B)^{2}=1-2B+B^{2}\,,$

где

$B^{2}X_{t}=X_{t-2}\,,$

так что

$(1-B)^{2}X_{t}=X_{t}-2X_{t-1}+X_{t-2}.$

В дробной модели степень может быть дробной, при этом значение термина определяется с помощью следующего формального в биномиальный ряд разложения .

${\begin{aligned}(1-B)^{d}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{d \choose k}\;(-B)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {\prod _{a=0}^{k-1}(d-a)\ (-B)^{k}}{k!}}\\&=1-dB+{\frac {d(d-1)}{2!}}B^{2}-\cdots \,.\end{aligned}}$

АРФИМА(0, d , 0)

Простейшая авторегрессионная дробно-интегрированная модель ARFIMA(0, d , 0) в стандартных обозначениях выглядит так:

$(1-B)^{d}X_{t}=\varepsilon _{t},$

где это имеет интерпретацию

$X_{t}-dX_{t-1}+{\frac {d(d-1)}{2!}}X_{t-2}-\cdots =\varepsilon _{t}.$

ARFIMA(0, d , 0) аналогичен дробному гауссовскому шуму (fGn): с d = H - 1 ⁄ 2 , их ковариации имеют одинаковое степенное затухание. Преимущество fGn перед ARFIMA(0, d , 0) заключается в том, что многие асимптотические соотношения выполняются для конечных выборок. Преимущество ARFIMA(0, d ,0) перед fGn состоит в том, что он имеет особенно простую спектральную плотность — $$f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left(2\sin \left({\frac {\lambda }{2}}\right)\right)^{-2d}$$

— и это частный случай ARFIMA( p , d , q ), который представляет собой универсальное семейство моделей.

Общая форма: ARFIMA( p , d , q )

Модель ARFIMA имеет ту же форму представления, что и процесс ARIMA ( p , d , q ), а именно:

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\right)\left(1-B\right)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}B^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.$

В отличие от обычного процесса ARIMA, «параметр разности» d может принимать нецелые значения.

Улучшение обычных моделей ARMA

Улучшения обычных моделей ARMA заключаются в следующем:

1. Возьмите исходный ряд данных и отфильтруйте его с помощью фракционной разности, достаточной для того, чтобы результат стал стационарным, и запомните порядок d этой дробной разницы, d обычно между 0 и 1... возможно, до 2+ в более крайних случаях. Дробная разность 2 — это 2-я производная или 2-я разность.
   • Примечание: применение дробного дифференцирования меняет единицы задачи. Если мы начали с цен, а затем взяли дробные разницы, мы больше не находимся в единицах цен.
   • определение порядка дифференцирования, чтобы сделать временной ряд стационарным, может быть итеративным исследовательским процессом.
2. Вычислите простые члены ARMA обычными методами, чтобы соответствовать этому стационарному временному набору данных, который находится в суррогатных единицах.
3. Прогнозируйте либо на основе существующих данных (статический прогноз), либо «наперед» (динамический прогноз, вперед во времени) с помощью этих условий ARMA.
4. Примените операцию обратного фильтра (дробное интегрирование до того же уровня d, что и на шаге 1) к прогнозируемому ряду, чтобы вернуть прогноз к исходным проблемным единицам (например, превратить эрзац-единицы обратно в цену).
   • Дробное дифференцирование и дробное интегрирование — это одна и та же операция с противоположными значениями d: например, дробная разность временного ряда до d = 0,5 может быть инвертирована (интегрирована), применив ту же операцию дробного дифференцирования (снова), но с дробью d = -0,5. . См. функцию GRETL fracdiff .

Цель предварительной фильтрации состоит в том, чтобы уменьшить низкие частоты в наборе данных, которые могут вызвать нестационарность в данных, с которой модели ARMA не могут справиться хорошо (или вообще)... но ровно настолько, чтобы сокращение могут быть восстановлены после построения модели.

Дробное дифференцирование и обратная операция дробного интегрирования (оба направления используются в процессе моделирования и прогнозирования ARFIMA) можно рассматривать как операции цифровой фильтрации и «нефильтрации». Таким образом, полезно изучить частотную характеристику таких фильтров, чтобы знать, какие частоты сохраняются, а какие ослабляются или отбрасываются.

Обратите внимание, что любая фильтрация, которая заменяет дробное дифференцирование и интегрирование в этой модели AR(FI)MA, должна быть так же обратима, как дифференцирование и интегрирование (суммирование), чтобы избежать потери информации. Например, фильтр верхних частот, который полностью отбрасывает многие низкие частоты (в отличие от фильтра верхних частот с дробной разницей, который полностью отбрасывает только частоту 0 [постоянное поведение во входном сигнале] и просто ослабляет другие низкие частоты, см. PDF-файл выше), может работать не так хорошо, потому что после подгонки условий ARMA к отфильтрованному ряду обратная операция по возврату прогноза ARMA к исходным единицам не сможет повторно повысить эти ослабленные низкие частоты, поскольку низкие частоты были обрезаны до нуля.

Такие исследования частотных характеристик могут предложить другие подобные семейства (обратимых) фильтров, которые могут быть полезной заменой «FI» части потока моделирования ARFIMA, например, хорошо известный, простой в реализации и с минимальными искажениями высокочастотный фильтр Баттерворта. или подобное.

См. также

• Дробное исчисление — дробное дифференцирование
• Differintegral — дробное интегрирование и дифференцирование.
• Дробное броуновское движение - стохастический процесс с непрерывным временем и аналогичной основой.
• Зависимость на дальнем расстоянии