Оператор задержки

При временных рядов анализе оператор задержки (L) или оператор обратного сдвига (B) воздействует на элемент временного ряда для создания предыдущего элемента. Например, учитывая некоторый временной ряд

X=\{X_{1},X_{2},\dots \}

затем

LX_{t}=X_{t-1}

для всех

t>1

или аналогично оператору обратного сдвига B : $BX_{t}=X_{t-1}$ для всех $t>1$ . Эквивалентно это определение можно представить как

X_{t}=LX_{t+1}

для всех

t\geq 1

Оператор задержки (а также оператор обратного сдвига) можно возвести в произвольную целочисленную степень, так что

L^{-1}X_{t}=X_{t+1}

и

L^{k}X_{t}=X_{t-k}.

Полиномы с запаздыванием

Можно использовать полиномы оператора запаздывания, и это обычное обозначение для моделей ARMA (авторегрессионное скользящее среднее). Например,

\varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}

задает модель AR( p ).

Полином полиномом операторов запаздывания называется запаздывания , поэтому, например, модель ARMA может быть кратко определена как

\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}

где $\varphi (L)$ и $\theta (L)$ соответственно представляют полиномы с запаздыванием

\varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}

и

\theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,

Полиномы операторов запаздывания следуют тем же правилам умножения и деления, что и числа и полиномы переменных. Например,

X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},

означает то же самое, что и

\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.

Как и в случае с полиномами переменных, полином в операторе лага можно разделить на другой с помощью полиномиального деления в длину . В общем случае деление одного такого полинома на другой, если каждый из них имеет конечный порядок (наивысший показатель степени), приводит к получению полинома бесконечного порядка.

Оператор аннулятора , обозначаемый $[\ ]_{+}$ , удаляет записи полинома отрицательной степени (будущие значения).

Обратите внимание, что $\varphi \left(1\right)$ обозначает сумму коэффициентов:

\varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}

Разностный оператор

В анализе временных рядов первый разностный оператор: $\Delta$

{\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}

Аналогично второй разностный оператор работает следующим образом:

{\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}

Вышеупомянутый подход обобщается на i -й разностный оператор $\Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .$

Условное ожидание

В случайных процессах обычно заботятся об ожидаемом значении переменной с учетом предыдущего набора информации. Позволять $\Omega _{t}$ быть всей информацией, которая является общеизвестной на момент времени t (это часто указывается под оператором ожидания); тогда ожидаемое значение реализации X , j временных шагов в будущем можно записать эквивалентно как:

E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].

Учитывая эти зависящие от времени условные ожидания, необходимо различать оператор обратного сдвига ( B ), который корректирует только дату прогнозируемой переменной, и оператор лага ( L ), который в равной степени корректирует дату прогнозируемой переменной и набора информации. :

L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],

B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].

См. также

Ссылки

Гамильтон, Джеймс Дуглас (1994). Анализ временных рядов . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-04289-6 .
Вербек, Марно (2008). Руководство по современной эконометрике . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-470-51769-7 .
Вайсштейн, Эрик. «Вольфрам Математический Мир» . WolframMathworld: Оператор разности . Вольфрам Исследования . Проверено 10 ноября 2017 г. .
Бокс, Джордж Э.П.; Дженкинс, Гвилим М.; Рейнзель, Грегори К.; Люнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-1-118-67502-1 .