Производные Грюнвальда – Летникова

В математике производная Грюнвальда-Летникова представляет собой базовое расширение производной в дробном исчислении , которое позволяет брать производную нецелое число раз. Его ввели Антон Карл Грюнвальд (1838–1920) из Праги в 1867 году и Алексей Васильевич Летников (1837–1888) в Москве в 1868 году.

Построение производной Грюнвальда–Летникова.

Формула

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

поскольку производную можно применять рекурсивно для получения производных более высокого порядка. Например, производная второго порядка будет иметь вид:

${\begin{aligned}f''(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}\\&=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2})-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f(x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}\end{aligned}}$

Предполагая, что h сходятся синхронно, это упрощается до:

$=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}$

что может быть строго обосновано теоремой о среднем значении . В общем имеем (см. биномиальный коэффициент ):

$f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum \limits _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+(n-m)h)}{h^{n}}}$

Сняв ограничение на то, что n должно быть положительным целым числом, разумно определить:

$\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).$

Это определяет производную Грюнвальда – Летникова.

Для упрощения обозначений положим:

$\Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).$

Таким образом, производную Грюнвальда – Летникова можно кратко записать как:

$\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q}}}.$

Альтернативное определение

В предыдущем разделе было выведено общее уравнение первых принципов для производных целого порядка. Можно показать, что уравнение также можно записать в виде

$f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(-1)^{n}}{h^{n}}}\sum _{0\leq m\leq n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+mh).$

или сняв ограничение, что n должно быть положительным целым числом:

$\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(-1)^{q}}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+mh).$

Это уравнение называется обратной производной Грюнвальда–Летникова. Если сделать замену h → − h , то полученное уравнение называется прямой производной Грюнвальда–Летникова:

$\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leq m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x-mh).$

Дальнейшее чтение

• Дробное исчисление , Олдхэм К.; и Спэньер, Дж. Твердый переплет: 234 страницы. Издательство: Академик Пресс, 1974. ISBN   0-12-525550-0