Закон Дарси

Закон Дарси — это уравнение, описывающее течение жидкости через пористую среду . Закон был сформулирован Генри Дарси на основе результатов экспериментов. о течении воды через пласты песка , составляющие основу гидрогеологии — раздела наук о Земле . Он аналогичен закону Ома в электростатике, линейно связывающему объемный расход жидкости с разницей гидравлического напора (которая часто просто пропорциональна разнице давлений) через гидравлическую проводимость . Фактически закон Дарси представляет собой частный случай уравнения Стокса для потока импульса , в свою очередь вытекающего из уравнения импульса Навье-Стокса .

Фон

Закон Дарси был впервые определен экспериментально Дарси, но с тех пор был выведен из уравнений Навье – Стокса с помощью методов гомогенизации . Он аналогичен закону Фурье в области теплопроводности , закону Ома в области электрических сетей и закону Фика в диффузии теории .

Одним из применений закона Дарси является анализ потока воды через водоносный горизонт ; Закон Дарси вместе с уравнением сохранения массы упрощается до уравнения потока подземных вод , одного из основных соотношений гидрогеологии .

Моррис Маскат первый усовершенствовал уравнение Дарси для однофазного потока, включив вязкость в однофазное уравнение Дарси. Понятно, что вязким жидкостям труднее проникать через пористую среду, чем менее вязким жидкостям. Это изменение сделало его подходящим для исследователей нефтяной промышленности. Основываясь на экспериментальных результатах своих коллег Вайкоффа и Ботсета, Маскат и Мерес также обобщили закон Дарси на многофазный поток воды, нефти и газа в пористой среде нефтяного пласта . Обобщенные уравнения многофазного потока, предложенные Маскатом и другими, обеспечивают аналитическую основу для разработки месторождений , которая существует и по сей день.

Описание

Схема, показывающая определения и направления закона Дарси. A – площадь поперечного сечения (м ² ) цилиндра. Q – расход (м ³ /s) жидкости, текущей через область A. Поток жидкости через A равен q = Q/A. L – длина цилиндра. Δp знак равно п _выход - п _вход знак равно п _б - п _а . $\nabla p$ = Δp/L = гидравлический градиент , приложенный между точками a и b.

В интегральной форме закон Дарси, уточненный Моррисом Маскатом , в отсутствие гравитационных сил и в однородно проницаемой среде дается простым соотношением пропорциональности между объемным расходом $Q$, и падение давления $\Delta p$ через пористую среду . Константа пропорциональности связана с проницаемостью $k$ среды, динамическая вязкость жидкости $\mu$, заданное расстояние $L$ по которому рассчитывается падение давления, и площадь поперечного сечения $A$, в форме: $$Q={\frac {kA}{\mu L}}\Delta p$$

Обратите внимание, что соотношение:

$$R={\frac {\mu L}{kA}}$$

по закону Дарси можно определить как гидравлическое сопротивление .

Закон Дарси можно обобщить до локальной формы:

Дарси Определяющее уравнение ( изотропные пористые среды )

$\mathbf {q} =-{\frac {k}{\mu }}\nabla p$

где $\nabla p$ гидравлический градиент и $\mathbf {q}$ - объемный поток , который здесь называется также поверхностной скоростью .Обратите внимание, что соотношение:

$$\sigma ={\frac {k}{\mu }}$$

Дарси можно рассматривать как закон гидравлической проводимости .

В (менее общей) интегральной форме объемный поток и градиент давления соответствуют соотношениям:

$q={\frac {Q}{A}}$

$\nabla p={\frac {\Delta p}{L}}$.

В случае анизотропной пористой среды проницаемость представляет собой тензор второго порядка и в тензорных обозначениях можно записать более общий закон:

Дарси Определяющее уравнение ( анизотропные пористые среды )

$q_{i}=-{\frac {k_{ij}}{\mu }}\partial _{j}p$

Обратите внимание, что количество $\mathbf {q}$, часто называемый потоком Дарси или скоростью Дарси, не является скоростью, с которой жидкость движется через поры. Скорость потока ( u ) связана с потоком ( q ) пористостью ( φ ) следующим уравнением:

$\mathbf {q} =\varphi \,\mathbf {u} .$

Определяющее уравнение Дарси для однофазного (жидкостного) потока является определяющим уравнением абсолютной проницаемости (однофазной проницаемости).

На диаграмме справа скорость потока указана в единицах СИ. $\mathrm {(m/s)}$, а поскольку пористость φ является безразмерным числом , поток Дарси $\mathbf {q}$, или расход на единицу площади, также определяется в единицах $\mathrm {(m/s)}$; проницаемость $k$ в единицах $\mathrm {(m^{2})}$, динамическая вязкость $\mu$ в единицах $\mathrm {(Pa\cdot s)}$ а гидравлический градиент – в единицах $\mathrm {(Pa/m)}$.

В интегральной форме полное падение давления $\Delta p=p_{b}-p_{a}$ находится в единицах $\mathrm {(Pa)}$, и $L$ длина образца в единицах $\mathrm {(m)}$, объемный расход Дарси $Q$, или расход, также определяется в единицах $\mathrm {(m^{3}/s)}$и площадь поперечного сечения $A$ в единицах $\mathrm {(m^{2})}$. Некоторые из этих параметров используются в альтернативных определениях ниже. Отрицательный знак используется в определении потока в соответствии со стандартным физическим соглашением, согласно которому жидкости текут из областей высокого давления в области низкого давления. Обратите внимание, что высоту подъема необходимо учитывать, если входное и выходное отверстия находятся на разной высоте. Если изменение давления отрицательное, то поток будет в положительном направлении x . Было несколько предложений относительно основного уравнения абсолютной проницаемости, и наиболее известным из них, вероятно, является уравнение Козени (также называемое уравнением Козени-Кармана ).

Учитывая соотношение статического давления жидкости ( закон Стевина ):

$$p=\rho gh$$можно склонить интегральную форму и к уравнению: $$Q={\frac {kAg}{\nu L}}\,{\Delta h}$$где ν — кинематическая вязкость . Следовательно, соответствующая гидравлическая проводимость равна:

$K={\frac {k\rho g}{\mu }}={\frac {kg}{\nu }}.$

Закон Дарси представляет собой простое математическое утверждение, которое аккуратно суммирует несколько известных свойств, которые проявляют подземные воды , текущие в водоносных горизонтах , в том числе:

• если градиента давления на расстоянии нет, течения не возникает (это гидростатические условия),
• если существует градиент давления, поток будет происходить от высокого давления к низкому (противоположному направлению увеличения градиента - отсюда отрицательный знак в законе Дарси),
• чем больше градиент давления (через тот же материал пласта), тем больше скорость разгрузки и
• Скорость истечения жидкости часто будет разной — через разные материалы пласта (или даже через один и тот же материал, в другом направлении) — даже если в обоих случаях существует одинаковый градиент давления.

Графической иллюстрацией использования уравнения установившегося потока грунтовых вод (основанного на законе Дарси и сохранении массы) является строительство водоводов для количественной оценки количества грунтовых вод , текущих под плотиной .

Закон Дарси справедлив только для медленного вязкого течения; однако большинство случаев течения подземных вод подпадают под эту категорию. Обычно любой поток с числом Рейнольдса меньше единицы явно является ламинарным, и было бы справедливо применить закон Дарси. Экспериментальные испытания показали, что режимы течения с числами Рейнольдса до 10 все же могут быть дарсовскими, как и в случае с потоком подземных вод. Число Рейнольдса (безразмерный параметр) для течения пористой среды обычно выражается как

$\mathrm {Re} ={\frac {ud}{\nu }}\,,$

где ν — кинематическая вязкость воды — удельный расход ( а , u не скорость пор — в единицах длины за время), d ₃₀ — репрезентативный диаметр зерна для пористой среды (стандартный выбор — d30, который равен 30 % проходного размера по результатам гранулометрического анализа с использованием сит — с единицами длины).

Вывод

Для стационарного, ползущего, несжимаемого течения, т.е. ⁠ D ( ρu _i ) / Dt ⁠ ≈ 0 , уравнение Навье – Стокса упрощается до уравнения Стокса , которое, пренебрегая объемным членом, имеет вид:

$\mu \nabla ^{2}u_{i}-\partial _{i}p=0\,,$

где µ — вязкость, ui _p — скорость в направлении i , а — давление. Предполагая, что вязкая сила сопротивления линейно зависит от скорости, мы можем написать:

$-\left(k^{-1}\right)_{ij}\mu \varphi u_{j}-\partial _{i}p=0\,,$

где φ – пористость , а kij _– тензор проницаемости второго порядка. Это дает скорость в направлении n ,

$k_{ni}\left(k^{-1}\right)_{ij}u_{j}=\delta _{nj}u_{j}=u_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\varphi \mu }}\partial _{i}p\,,$

что дает закон Дарси для объемной плотности потока в направлении n ,

$q_{n}=-{\frac {k_{ni}}{\mu }}\,\partial _{i}p\,.$

В изотропных пористых средах недиагональные элементы в тензоре проницаемости равны нулю, k _ij = 0 для i ≠ j , а диагональные элементы идентичны, k _ii = k , а общая форма получается, как показано ниже, что позволяет определить скорость потока жидкости путем решения системы уравнений в заданной области.

${\boldsymbol {q}}=-{\frac {k}{\mu }}\,{\boldsymbol {\nabla }}p\,.$

Приведенное выше уравнение является основным уравнением течения однофазной жидкости в пористой среде.

Использование в нефтяном машиностроении

Другой вывод закона Дарси широко используется в нефтяной инженерии для определения потока через проницаемые среды — самый простой из них относится к одномерному, однородному пласту горной породы с одной жидкой фазой и постоянной вязкостью жидкости .

Почти все нефтяные пласты имеют водную зону ниже нефтяного отрога, а некоторые имеют также газовую шапку над нефтяным отрогом. При падении пластового давления в связи с добычей нефти вода поступает в нефтяную зону снизу, а газ – в нефтяную зону сверху (при наличии газовой шапки), и мы получаем одновременное течение и несмешивающееся перемешивание всех флюидных фаз в нефтяная зона. Оператор нефтяного месторождения также может закачивать воду (и/или газ) для улучшения добычи нефти. Поэтому нефтяная промышленность использует обобщенное уравнение Дарси для многофазного потока, разработанное Маскатом и др. Поскольку имя Дарси настолько широко распространено и прочно связано с потоком в пористых средах, уравнение многофазного потока обозначается как закон Дарси для многофазного потока или обобщенное уравнение (или закон) Дарси, или просто уравнение (или закон) Дарси, или просто уравнение потока, если контекст говорит, что в тексте обсуждается многофазное уравнение Маската и других. Многофазный поток в нефтяных и газовых пластах — это обширная тема, и одна из многих статей на эту тему — Закон Дарси для многофазного потока .

Использование в заваривании кофе

В ряде статей закон Дарси использовался для моделирования физики заваривания кофе в кофеварке , в частности, того, как горячая вода просачивается через молотый кофе под давлением, начиная со статьи Варламова и Балестрино 2001 года: и продолжая статью Джанино 2007 года: статья Наварини и др., 2008 г., и статья У. Кинга 2008 года. В статьях либо для упрощения проницаемость кофе будет считаться постоянной, либо будут измеряться изменения в процессе заваривания.

Дополнительные формы

Дифференциальное выражение

Закон Дарси можно выразить в самом общем виде так:

$\mathbf {q} =-K\nabla h$

где q — вектор объемного потока жидкости в определенной точке среды, h — общий гидравлический напор , а K — гидравлической проводимости тензор в этой точке. Гидравлическую проводимость часто можно аппроксимировать скаляром . (Обратите внимание на аналогию с законом Ома в электростатике. Вектор потока аналогичен плотности тока, напор аналогичен напряжению, а гидравлическая проводимость аналогична электропроводности.)

Квадратичный закон

Для течений в пористой среде с числами Рейнольдса, превышающими примерно от 1 до 10, инерционные эффекты также могут стать значительными. Иногда инерционный к уравнению Дарси добавляют член, известный как член Форхгеймера . Этот термин способен объяснить нелинейное поведение разницы давления в зависимости от данных расхода.

$\nabla p=-{\frac {\mu }{k}}q-{\frac {\rho }{k_{1}}}q^{2}\,,$

где дополнительный член k ₁ известен как инерционная проницаемость, в единицах длины $\mathrm {(m)}$.

Поток в середине пласта из песчаника настолько медленный, что уравнение Форхгеймера обычно не требуется, но поток газа в газодобывающую скважину может быть достаточно высоким, чтобы оправдать использование уравнения Форхгеймера. В этом случае расчеты притока скважины, а не ячейки сетки 3D-модели, основаны на уравнении Форххаймера. В результате в формуле производительности притока появляется дополнительный скин, зависящий от скорости.

Некоторые карбонатные коллекторы имеют множество трещин, и уравнение Дарси для многофазного потока обобщается, чтобы управлять как потоком в трещинах, так и потоком в матрице (т.е. в традиционной пористой породе). Неровная поверхность стенок трещин и высокая скорость потока в трещинах могут оправдать использование уравнения Форхгеймера.

Поправка на газы в тонкодисперсных средах (диффузия Кнудсена или эффект Клинкенберга)

Для потока газа с малыми характерными размерами (например, очень мелкий песок, нанопористые структуры и т. д.) взаимодействия частиц со стенками становятся более частыми, что приводит к дополнительному трению о стенку (трению Кнудсена). Для течения в этой области, где присутствуют как вязкое трение , так и трение Кнудсена , необходимо использовать новую формулировку. Кнудсен представил полуэмпирическую модель течения в переходном режиме, основанную на его экспериментах на небольших капиллярах. Для пористой среды уравнение Кнудсена можно записать в виде

$N=-\left({\frac {k}{\mu }}{\frac {p_{a}+p_{b}}{2}}+D_{\mathrm {K} }^{\mathrm {eff} }\right){\frac {1}{R_{\mathrm {g} }T}}{\frac {p_{\mathrm {b} }-p_{\mathrm {a} }}{L}}\,,$

где N – молярный поток, R _g – газовая постоянная, T – температура, D ^эфф
_K — эффективный коэффициент диффузии Кнудсена пористой среды. Модель также может быть получена на основе модели бинарного трения (BFM), основанной на первых принципах. Дифференциальное уравнение переходного течения в пористых средах на основе МФМ имеет вид

${\frac {\partial p}{\partial x}}=-R_{\mathrm {g} }T\left({\frac {kp}{\mu }}+D_{\mathrm {K} }\right)^{-1}N\,.$

Это уравнение справедливо как для капилляров , так и для пористых сред. Терминология эффекта Кнудсена и коэффициента диффузии Кнудсена более распространена в машиностроении и химической технологии . В геологической и нефтехимической технике этот эффект известен как эффект Клинкенберга . Используя определение молярного потока, приведенное выше уравнение можно переписать как

${\frac {\partial p}{\partial x}}=-R_{\mathrm {g} }T\left({\frac {kp}{\mu }}+D_{\mathrm {K} }\right)^{-1}{\dfrac {p}{R_{\mathrm {g} }T}}q\,.$

Это уравнение можно преобразовать в следующее уравнение

$q=-{\frac {k}{\mu }}\left(1+{\frac {D_{\mathrm {K} }\mu }{k}}{\frac {1}{p}}\right){\frac {\partial p}{\partial x}}\,.$

Сравнивая это уравнение с традиционным законом Дарси, можно дать новую формулировку:

$q=-{\frac {k^{\mathrm {eff} }}{\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\,,$

где

$k^{\mathrm {eff} }=k\left(1+{\frac {D_{\mathrm {K} }\mu }{k}}{\frac {1}{p}}\right)\,.$

Это эквивалентно формулировке эффективной проницаемости, предложенной Клинкенбергом:

$k^{\mathrm {eff} }=k\left(1+{\frac {b}{p}}\right)\,.$

где b известен как параметр Клинкенберга, который зависит от структуры газа и пористой среды. Это вполне очевидно, если сравнить приведенные выше формулировки. Параметр Клинкенберга b зависит от проницаемости, коэффициента диффузии Кнудсена и вязкости (т.е. свойств как газа, так и пористой среды).

Закон Дарси для коротких временных масштабов

Для очень коротких временных масштабов к закону Дарси можно добавить производную потока по времени, что приводит к действительным решениям при очень малых временах (в теплопередаче это называется модифицированной формой закона Фурье ),

$\tau {\frac {\partial q}{\partial t}}+q=-k\nabla h\,,$

где τ — очень маленькая постоянная времени, которая приводит это уравнение к нормальной форме закона Дарси в «нормальные» времена (> наносекунд ). Основная причина этого заключается в том, что регулярное уравнение потока грунтовых вод ( уравнение диффузии ) приводит к сингулярностям на границах постоянного напора в очень короткие моменты времени. Эта форма является более строгой с математической точки зрения, но приводит к гиперболическому уравнению потока грунтовых вод, которое труднее решить и которое полезно только в очень короткие промежутки времени, обычно выходящее за рамки практического использования.

Форма Бринкмана закона Дарси.

Еще одним расширением традиционной формы закона Дарси является термин Бринкмана, который используется для учета переходного потока между границами (введенный Бринкманом в 1949 г.). ),

$-\beta \nabla ^{2}q+q=-{\frac {k}{\mu }}\nabla p\,,$

где β — коэффициент эффективной вязкости . Этот поправочный член учитывает течение через среду, где зерна среды сами по себе пористые, но их трудно использовать, и ими обычно пренебрегают.

Справедливость закона Дарси

Закон Дарси справедлив для ламинарного течения через отложения . В мелкозернистых отложениях размеры пустот невелики, поэтому течение ламинарное. Крупнозернистые отложения также ведут себя аналогичным образом, но в очень крупнозернистых отложениях поток может быть турбулентным . Следовательно, закон Дарси не всегда справедлив в таких отложениях.Для потока через коммерческие круглые трубы поток является ламинарным, когда число Рейнольдса меньше 2000, и турбулентным, когда оно больше 4000, но в некоторых отложениях было обнаружено, что поток является ламинарным, когда значение числа Рейнольдса меньше 1. .

См. также

• Дарси — единица проницаемости жидкости.
• Гидрогеология
• Уравнение потока подземных вод
• Математическая модель
• Уравнения мазута
• Закон Фика
• Уравнение Эргуна