Проточная сеть

Сеть стока — это графическое представление двумерного установившегося потока подземных вод через водоносные горизонты .

Построение проточной сети часто используется для решения проблем потока грунтовых вод, где геометрия делает аналитические решения непрактичными. Этот метод часто используется в гражданском строительстве , гидрогеологии или механике грунтов в качестве первой проверки проблем потока под гидротехническими сооружениями, такими как плотины или шпунтовые стены . Таким образом, сетка, полученная путем рисования ряда эквипотенциальных линий, называется сетью потоков. Сеть потока является важным инструментом при анализе двумерных задач безвихревого потока. Техника проточной сети представляет собой метод графического представления.

Основной метод

Метод заключается в заполнении площади течения линиями потока и эквипотенциальными линиями, которые всюду перпендикулярны друг другу, образуя криволинейную сетку . Обычно имеются две поверхности (границы), которые имеют постоянные значения потенциального или гидравлического напора (концы выше и ниже по течению), а другие поверхности являются границами отсутствия потока (т. е. непроницаемыми; например, нижняя часть плотины и верхняя часть плотины). непроницаемый слой коренных пород), которые определяют стороны крайних водотоков (стереотипный пример сети стоков см. на рисунке 1).

Математически процесс построения сети потоков состоит из контурирования двух гармонических или аналитических функций потенциала и функции тока . Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа , а контурные линии представляют собой линии постоянного напора (эквипотенциалы) и линии, касательные к путям потока (линии тока). Вместе потенциальная функция и функция тока образуют комплексный потенциал , где потенциал — это действительная часть, а функция тока — мнимая часть.

Построение сети потока обеспечивает приближенное решение проблемы потока, но оно может быть весьма эффективным даже для задач сложной геометрии, если следовать нескольким простым правилам (первоначально разработанным Филиппом Форххаймером около 1900 года, а затем формализованным Артуром Касагранде в 1937 году). ) и немного практики:

линии тока и эквипотенциалы встречаются под прямым углом (включая границы),
диагонали, проведенные между угловыми точками потоковой сети, встретятся друг с другом под прямым углом (полезно, когда вблизи сингулярностей),
трубки потока и падение эквипотенциала можно уменьшить пополам, и они все равно должны образовывать квадраты (полезно, когда квадраты становятся очень большими на концах),
Сети потоков часто имеют участки, состоящие из почти параллельных линий, образующих настоящие квадраты; начните с этих областей — работайте над областями со сложной геометрией,
многие задачи имеют некоторую симметрию (например, радиальный приток к скважине ); необходимо построить только часть проточной сети,
размеры квадратов должны меняться постепенно; переходы плавные, а изогнутые пути должны иметь примерно эллиптическую или параболическую форму.

Примеры сетей потоков

Первая изображенная здесь сеть стока (модифицированная из Craig, 1997) иллюстрирует и дает количественную оценку стока, происходящего под плотиной ( предполагается, что поток инвариантен вдоль оси плотины - действует около середины плотины); от бассейна за плотиной (справа) до нижнего бьефа от плотины (слева).

Существует 16 зеленых эквипотенциальных линий (15 равных перепадов гидравлического напора) между напором 5 м выше по течению и напором 1 м ниже по течению (4 м / 15 перепадов напора = перепад напора 0,267 м между каждой зеленой линией). Синие линии тока (равные изменения функции тока между двумя границами отсутствия потока) показывают путь потока воды при ее движении через систему; линии тока всюду касаются скорости потока.

Вторая сеть потока, изображенная здесь (модифицированная из Ferris, et al., 1962), показывает сеть потока, используемую для анализа потока на карте (инвариантная в вертикальном направлении), а не поперечное сечение. Обратите внимание, что эта задача симметрична, и нужно было решить только левую или правую ее часть. Чтобы создать сеть потока к точечному стоку (сингулярность), поблизости должна быть граница подпитки, чтобы обеспечить воду и позволить развиваться установившемуся полю потока.

Чистые результаты потока

Закон Дарси описывает поток воды через водосточную сеть. Поскольку капли головы имеют однородную конструкцию, градиент обратно пропорционален размеру блоков. Большие блоки означают низкий градиент и, следовательно, низкий расход (здесь предполагается, что гидравлическая проводимость постоянна).

Через каждую трубу потока проходит эквивалентное количество потока (обозначено двумя соседними синими линиями на диаграмме), поэтому узкие трубы потока расположены там, где поток больше. Наименьшие квадраты в сети потока расположены в точках, где поток концентрируется (на этой диаграмме они находятся возле кончика отсечной стенки, используемой для уменьшения подтопления плотины), а высокий поток на поверхности земли часто является тем, что инженер-строитель пытается избежать, беспокоясь о прорыве трубопровода или плотины .

Особенности

Неправильные точки (также называемые сингулярностями ) в поле потока возникают, когда линии тока имеют изломы ( производная не существует в точке). Это может произойти, когда изгиб направлен наружу (например, нижняя часть стенки отсекателя на рисунке выше), и в какой-то точке существует бесконечный поток, или когда изгиб направлен внутрь (например, угол чуть выше и слева от стенка отсечки на рисунке выше), где поток равен нулю.

Вторая сеть потока иллюстрирует скважину , которая обычно математически представляется как точечный источник (скважина сжимается до нулевого радиуса); это сингулярность, потому что поток сходится к точке, в которой уравнение Лапласа не выполняется.

Эти точки являются математическими артефактами уравнения, используемого для решения реальной проблемы, и на самом деле не означают, что поток в точках под поверхностью бесконечен или отсутствует. Эти типы точек часто затрудняют другие типы решений (особенно числовые) этих задач, в то время как простой графический метод хорошо с ними справляется.

Расширения стандартных потоковых сетей

Обычно сети потоков конструируются для однородных изотропных пористых сред , испытывающих насыщенный поток до известных границ. Существуют расширения базового метода, позволяющие решать некоторые из этих случаев:

неоднородный водоносный горизонт: условия согласования на границах между объектами недвижимости
анизотропный водоносный горизонт: рисование потоковой сети в преобразованной области, затем масштабирование результатов по-разному в основных направлениях гидравлической проводимости, чтобы вернуть решение
одна граница представляет собой поверхность просачивания: итеративное решение как граничного условия, так и решения во всей области.

Хотя этот метод обычно используется для решения подобных задач о потоке подземных вод, его можно использовать для любой задачи, описываемой уравнением Лапласа ( $\nabla ^{2}\phi =0$ ), например, электрический ток течет через землю.

Ссылки

Касагранде, А., 1937. Просачивание через плотины, Journal of New England Water Works , 51, 295–336 (также внесено в список: Английский паб Harvard Graduate School, 209).
Седергрен, Гарри Р. (1977), Просачивание, дренаж и проточные сети , Wiley. ISBN 0-471-14179-8
Шансон, Х. (2009). Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные течения жидкости . CRC Press, Taylor & Francisco Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц. ISBN 978-0-415-49271-3 .
Кнаппетт, Джонатан и РФ Крейг, 2012. Механика почвы Крейга, 8-е издание, Spon Press. ISBN 978-0-415-56126-6
Феррис Дж.Г., Д.Б. Ноулз, Р.Х. Браун и Р.В. Столлман, 1962. Теория испытаний водоносных горизонтов . Документ Геологической службы США по водоснабжению 1536-E. (доступно на веб-сайте Геологической службы США в формате pdf )
Харр, Мэн, 1962. Грунтовые воды и просачивание , Дувр. ISBN 0-486-66881-9 — математическая обработка двумерного потока подземных вод, классическая работа по сетям стока.

См. также

Потенциальный поток (сеть потока - это метод решения потенциальных проблем потока)
Аналитическая функция (потенциал и функция тока, построенные в сетях потоков, являются примерами аналитических функций)