Асимптотическая гомогенизация

В математике и физике уравнений в гомогенизация — это метод изучения частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами. ^[1]^[2]^[3] такой как

\nabla \cdot \left(A\left({\frac {\vec {x}}{\epsilon }}\right)\nabla u_{\epsilon }\right)=f

где $\epsilon$ это очень маленький параметр и $A\left({\vec {y}}\right)$ – 1-периодический коэффициент: $A\left({\vec {y}}+{\vec {e}}_{i}\right)=A\left({\vec {y}}\right)$ , $i=1,\dots ,n$ .

Оказывается, изучение этих уравнений имеет большое значение и в физике и технике, поскольку уравнения такого типа управляют физикой неоднородных или гетерогенных материалов. Конечно, вся материя неоднородна в каком-то масштабе, но часто удобно считать ее однородной. Хорошим примером является концепция континуума, которая используется в механике сплошных сред . Согласно этому предположению, такие материалы, как жидкости , твердые тела и т. д., можно рассматривать как однородные материалы, и с этими материалами связаны такие свойства материала, как модуль сдвига , модули упругости и т. д.

Часто неоднородные материалы (например, композиционные материалы ) обладают микроструктурой и поэтому подвергаются нагрузкам или воздействиям, которые варьируются в масштабе длины, который намного превышает характерный масштаб длины микроструктуры. В этой ситуации часто можно заменить приведенное выше уравнение уравнением вида

\nabla \cdot \left(A^{*}\nabla u\right)=f

где $A^{*}$ представляет собой постоянный тензорный коэффициент и известен как эффективное свойство, связанное с рассматриваемым материалом. Его можно явно вычислить как

A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n

из 1-периодических функций $w_{j}$ удовлетворительно:

\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\right)=-\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}}){\vec {e}}_{j}\right).

Этот процесс замены уравнения с сильно осциллирующим коэффициентом на уравнение с однородным (равномерным) коэффициентом известен как гомогенизация . этот предмет неразрывно связан с предметом микромеханики Именно по этой причине .

При гомогенизации одно уравнение заменяется другим, если $u_{\epsilon }\approx u$ для достаточно маленького $\epsilon$ , предоставил $u_{\epsilon }\to u$ в некоторой подходящей норме, как $\epsilon \to 0$ .

Таким образом, в результате вышеизложенного гомогенизацию можно рассматривать как распространение концепции континуума на материалы, обладающие микроструктурой. Аналог дифференциального элемента в концепции континуума (который содержит достаточно атомов или молекулярных структур, чтобы быть репрезентативным для этого материала) известен как « Репрезентативный элемент объема ». ^[4] в гомогенизации и микромеханике. Этот элемент содержит достаточно статистической информации о неоднородной среде, чтобы быть репрезентативным для материала. Поэтому усреднение по этому элементу дает такое эффективное свойство, как $A^{*}$ выше.

Классические результаты теории гомогенизации ^[1]^[2]^[3] получены для сред с периодической микроструктурой, моделируемой уравнениями в частных производных с периодическими коэффициентами. Эти результаты позже были обобщены на пространственно однородные случайные среды, моделируемые дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами, статистические свойства которых одинаковы в каждой точке пространства. ^[5]^[6] На практике многие приложения требуют более общего способа моделирования, который не является ни периодическим, ни статистически однородным. С этой целью методы теории усреднения были распространены на уравнения в частных производных, коэффициенты которых не являются ни периодическими, ни статистически однородными (так называемые сколь угодно грубые коэффициенты). ^[7]^[8]

Метод асимптотической гомогенизации [ править ]

Теория математической гомогенизации восходит к французской, русской и итальянской школам. ^[1]^[2]^[3]^[9] Метод асимптотической гомогенизации основан на введении быстрой переменной ${\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon$ и предполагая формальное расширение $\epsilon$ :

u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,

что порождает иерархию проблем. Получено гомогенизированное уравнение и определены эффективные коэффициенты путем решения так называемых «клеточных задач» для функции $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Санчес-Паленсия, Э. (1980). Неоднородные среды и теория вибрации . Конспект лекций по физике. Том. 127. Спрингер Верлаг. дои : 10.1007/3-540-10000-8 . ISBN 978-3-540-10000-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Бахвалов Н. ; Панасенко, Г. (1989). Гомогенизация: процессы усреднения в периодических средах . Математика и ее приложения. Дордрехт: Клювер. дои : 10.1007/978-94-009-2247-1 . ISBN 978-94-010-7506-0 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Бенсуссан, А.; Лайонс, JL ; Папаниколау, Г. (1978). Асимптотический анализ периодических структур . Исследования по математике и ее приложениям. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-85172-0 .
^ Остоя-Старжевски, М. (2007). Микроструктурная случайность и масштабирование в материалах . Современная механика и математика. Чепмен и Холл/CRC Press. ISBN 9781584884170 .
^ Козлов, С.М. (1979). «Усреднение случайных операторов». Мат. Сборник . 109 (151): 188–202. (англ. пер.: Матем. СССР, Сб. 37:2, 1980, стр. 167-180)
^ Папаниколау, Греция; Варадхан, СР (1981). «Краевые задачи с быстро осциллирующими коэффициентами» (PDF) . Серия Коллок. Математика. Общество Яноша Бойяи . 27 . Амстердам: 835–873.
^ Берлянд, Л. ; Охади, Х. (ноябрь 2010 г.). «Подход нормы потока к аппроксимациям конечномерного усреднения с неразделенными масштабами и высоким контрастом». Архив рациональной механики и анализа . 198 (2): 677–721. arXiv : 0901.1463 . Бибкод : 2010ArRMA.198..677B . дои : 10.1007/s00205-010-0302-1 . S2CID 1337370 .
^ Молквист, А.; Петерсейм, Д. (2014). «Локализация эллиптических многомасштабных задач» . Математика вычислений . 83 (290): 2583–2603. arXiv : 1110.0692 . дои : 10.1090/S0025-5718-2014-02868-8 .
^ Дал Масо, Г. (1993). Введение в Γ-сходимость . Прогресс в области нелинейных дифференциальных уравнений и их приложений. Биркгаузер. дои : 10.1007/978-1-4612-0327-8 . ISBN 9780817636791 .

Ссылки [ править ]

Козлов С.М.; Олейник, ОА ; Жиков, В.В. (1994), Усреднение дифференциальных операторов и интегральных функционалов , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 3-540-54809-2 , Збл 0838.35001
Олейник, ОА ; Шамаев А.С.; Йосифян, Г.А. (1991), Математические проблемы упругости и гомогенизации , Исследования по математике и ее приложениям, том. 26, Амстердам – Лондон – Нью-Йорк – Токио : Северная Голландия , ISBN 0-444-88441-6 , Збл 0768.73003
Хорнунг, Ульрих (ред.). (1997), Гомогенизация и пористые среды , Междисциплинарная прикладная математика, вып. 6, Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4612-1920-0 , ISBN. 978-1-4612-7339-4
Бахвалов Н.С. ; Панасенко Г.П. (1984), Усреднение процессов в периодических средах (английский перевод: Kluwer,1989) , Москва : Наука , Збл 0607.73009
Брейдес, А.; Дефранчески, А. (1998), Усреднение кратных интегралов , Оксфордская серия лекций по математике и ее приложениям, Оксфорд : Clarendon Press , ISBN 978-0-198-50246-3

[S-P-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Санчес-Паленсия, Э. (1980). Неоднородные среды и теория вибрации . Конспект лекций по физике. Том. 127. Спрингер Верлаг. дои : 10.1007/3-540-10000-8 . ISBN 978-3-540-10000-3 .

[B-P-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бахвалов Н. ; Панасенко, Г. (1989). Гомогенизация: процессы усреднения в периодических средах . Математика и ее приложения. Дордрехт: Клювер. дои : 10.1007/978-94-009-2247-1 . ISBN 978-94-010-7506-0 .

[BLP-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Бенсуссан, А.; Лайонс, JL ; Папаниколау, Г. (1978). Асимптотический анализ периодических структур . Исследования по математике и ее приложениям. Амстердам: Северная Голландия. ISBN 0-444-85172-0 .

[4] Остоя-Старжевски, М. (2007). Микроструктурная случайность и масштабирование в материалах . Современная механика и математика. Чепмен и Холл/CRC Press. ISBN 9781584884170 .

[5] Козлов, С.М. (1979). «Усреднение случайных операторов». Мат. Сборник . 109 (151): 188–202. (англ. пер.: Матем. СССР, Сб. 37:2, 1980, стр. 167-180)

[6] Папаниколау, Греция; Варадхан, СР (1981). «Краевые задачи с быстро осциллирующими коэффициентами» (PDF) . Серия Коллок. Математика. Общество Яноша Бойяи . 27 . Амстердам: 835–873.

[7] Берлянд, Л. ; Охади, Х. (ноябрь 2010 г.). «Подход нормы потока к аппроксимациям конечномерного усреднения с неразделенными масштабами и высоким контрастом». Архив рациональной механики и анализа . 198 (2): 677–721. arXiv : 0901.1463 . Бибкод : 2010ArRMA.198..677B . дои : 10.1007/s00205-010-0302-1 . S2CID 1337370 .

[8] Молквист, А.; Петерсейм, Д. (2014). «Локализация эллиптических многомасштабных задач» . Математика вычислений . 83 (290): 2583–2603. arXiv : 1110.0692 . дои : 10.1090/S0025-5718-2014-02868-8 .

[9] Дал Масо, Г. (1993). Введение в Γ-сходимость . Прогресс в области нелинейных дифференциальных уравнений и их приложений. Биркгаузер. дои : 10.1007/978-1-4612-0327-8 . ISBN 9780817636791 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]