Решением уравнений является скорость потока . Это векторное поле — каждой точке жидкости в любой момент интервала времени оно дает вектор, направление и величина которого совпадают со скоростью жидкости в этой точке пространства и в этот момент времени. Обычно его изучают в трех пространственных измерениях и одном временном измерении, хотя в качестве моделей часто используются двухмерные (пространственные) и стационарные случаи, а аналоги более высоких измерений изучаются как в чистой, так и в прикладной математике. После расчета поля скорости другие интересующие величины, такие как давление или температура, могут быть найдены с использованием динамических уравнений и соотношений. Это отличается от того, что обычно можно увидеть в классической механике , где решениями обычно являются траектории положения частицы или отклонения континуума . Изучение скорости, а не положения имеет больше смысла для жидкости, хотя для целей визуализации можно вычислять различные траектории . В частности, оптимизация векторного поля, интерпретируемого как скорость потока, — это пути, по которым могла бы двигаться безмассовая частица жидкости. Эти пути представляют собой интегральные кривые , производная которых в каждой точке равна векторному полю, и они могут визуально представлять поведение векторного поля в определенный момент времени.
Уравнение количества движения Навье – Стокса может быть получено как частная форма уравнения количества движения Коши , общая конвективная форма которого равна
В этой форме очевидно, что в предположении невязкой жидкости – отсутствия девиаторного напряжения – уравнения Коши сводятся к уравнениям Эйлера .
Предполагая сохранение массы , с известными свойствами дивергенции и градиента мы можем использовать уравнение неразрывности массы, которое представляет массу единицы объема однородной жидкости относительно пространства и времени (т.е. материальную производную ) любого конечного объема ( V ) для представления изменения скорости в жидких средах:
Левая часть уравнения описывает ускорение и может состоять из зависящих от времени и конвективных компонентов (а также эффектов неинерциальных координат, если они присутствуют). Правая часть уравнения фактически представляет собой сумму гидростатических эффектов, расхождения девиаторного напряжения и массовых сил (таких как гравитация).
Все нерелятивистские уравнения баланса, такие как уравнения Навье-Стокса, можно вывести, начав с уравнений Коши и задав тензор напряжений через определяющее соотношение . Выражая тензор девиаторного (сдвигового) напряжения через вязкость жидкости и градиент скорости и предполагая постоянную вязкость, приведенные выше уравнения Коши приведут к уравнениям Навье – Стокса, приведенным ниже.
Пример конвекции. Хотя поток может быть устойчивым (не зависящим от времени), жидкость замедляется по мере движения вниз по расширяющемуся каналу (при условии несжимаемого или дозвукового сжимаемого потока), следовательно, в определенном положении происходит ускорение.
Существенной особенностью уравнения Коши и, следовательно, всех других уравнений сплошной среды (включая Эйлера и Навье – Стокса) является наличие конвективного ускорения: эффекта ускорения потока относительно пространства. Хотя отдельные частицы жидкости действительно испытывают ускорение, зависящее от времени, конвективное ускорение поля потока представляет собой пространственный эффект, одним из примеров является ускорение жидкости в сопле.
Уравнение сжимаемого импульса Навье – Стокса является результатом следующих предположений о тензоре напряжений Коши: [5]
напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения — это тензорный градиент. скорости деформации или, проще говоря, тензор :
девиаторное напряжение линейно по этой переменной: , где не зависит от тензора скорости деформации, – тензор четвертого порядка, представляющий константу пропорциональности, называемую тензором вязкости или эластичности , и : – произведение двойных точек .
Определяющее уравнение линейного напряжения (выражение, используемое для жидкостей)
которое также можно представить в другой обычной форме: [7]
Обратите внимание, что в сжимаемом случае давление больше не пропорционально члену изотропного напряжения , поскольку существует дополнительный член объемной вязкости:
и девиаторный тензор напряжений по-прежнему совпадает с тензором касательных напряжений (т.е. девиаторное напряжение в ньютоновской жидкости не имеет нормальных компонентов напряжения), и в дополнение к несжимаемому случаю у него есть член сжимаемости, который пропорционален сдвиговой вязкости:
Обе объемные вязкости и динамическая вязкость не обязательно должны быть постоянными – как правило, они зависят от двух термодинамических переменных, если жидкость содержит один химический вид, скажем, например, давление и температуру. Любое уравнение, которое делает явным один из этих коэффициентов переноса в переменных сохранения, называется уравнением состояния . [8]
Наиболее общее из уравнений Навье – Стокса принимает вид
Уравнение количества движения Навье – Стокса ( конвективная форма )
в индексной записи уравнение можно записать как [9]
Уравнение импульса Навье – Стокса ( индексное обозначение )
Соответствующее уравнение в форме сохранения можно получить, если учесть, что для уравнения неразрывности массы левая часть эквивалентна:
Чтобы дать наконец:
Уравнение импульса Навье – Стокса (консервативная форма )
Помимо зависимости от давления и температуры, второй коэффициент вязкости также зависит от процесса, то есть второй коэффициент вязкости не является просто свойством материала. Пример: в случае звуковой волны с определенной частотой, которая попеременно сжимает и расширяет жидкий элемент, второй коэффициент вязкости зависит от частоты волны. Эта зависимость называется дисперсией . В некоторых случаях вторая вязкость можно считать постоянным, и в этом случае влияние объемной вязкости заключается в том, что механическое давление не эквивалентно термодинамическому давлению : [10] как показано ниже.
Однако в большинстве случаев этой разницей обычно пренебрегают (то есть всякий раз, когда мы не имеем дело с такими процессами, как поглощение звука и затухание ударных волн). [11] где становится важным второй коэффициент вязкости), явно предположив . Предположение о настройке называется гипотезой Стокса . [12] Справедливость гипотезы Стокса может быть продемонстрирована для одноатомного газа как экспериментально, так и на основе кинетической теории; [13] для других газов и жидкостей гипотеза Стокса в целом неверна. Согласно гипотезе Стокса уравнения Навье – Стокса принимают вид
Если динамический ц и объем предполагается, что вязкость однородна в пространстве, уравнения в конвективной форме можно еще больше упростить. Путем вычисления дивергенции тензора напряжений, поскольку дивергенция тензора является и расходимость тензора является , в конечном итоге приходим к уравнению импульса сжимаемой Навье – Стокса: [14]
Уравнение количества движения Навье – Стокса с равномерным сдвигом и объемной вязкостью ( конвективная форма )
где является материальной производной . - сдвиговая кинематическая вязкость и – объемная кинематическая вязкость. Левая часть меняет форму сохранения уравнения импульса Навье–Стокса.
Перенося оператор скорости потока на левую сторону, мы также имеем:
Уравнение количества движения Навье – Стокса с равномерным сдвигом и объемной вязкостью ( конвективная форма )
Член конвективного ускорения также можно записать как
Уравнение количества движения несжимаемой жидкости Навье – Стокса является результатом следующих предположений о тензоре напряжений Коши: [5]
напряжение является инвариантом Галилея : оно не зависит напрямую от скорости потока, а только от пространственных производных скорости потока. Таким образом, переменная напряжения — это тензорный градиент. .
жидкость предполагается изотропной , как газы и простые жидкости, и, следовательно, – изотропный тензор; кроме того, поскольку тензор девиаторных напряжений можно выразить через динамическую вязкость :
напряжения Стокса Определяющее уравнение (выражение, используемое для несжимаемых упругих тел)
где
скорости – тензор деформации . Таким образом, это разложение можно сделать явным как: [5]
Уравнение состояния напряжений Стокса (выражение, используемое для несжимаемых вязких жидкостей)
Дивергенция девиаторного напряжения в случае однородной вязкости определяется выражением:
потому что для несжимаемой жидкости.
Несжимаемость исключает волны плотности и давления, такие как звуковые или ударные волны , поэтому это упрощение бесполезно, если эти явления представляют интерес. Предположение о несжимаемом потоке обычно хорошо сохраняется для всех жидкостей при низких числах Маха (скажем, примерно до 0,3 Маха), например, для моделирования воздушного ветра при нормальных температурах. [16] уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости лучше всего визуализировать путем деления плотности: [17]
Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости с однородной вязкостью ( конвективная форма )
Член более высокого порядка, а именно касательного напряжения. дивергенция , просто свелся к Лапласа векторному члену . [18] Этот член Лапласа можно интерпретировать как разницу между скоростью в точке и средней скоростью в небольшом окружающем объеме. Это означает, что для ньютоновской жидкости вязкость действует как диффузия импульса , почти так же, как теплопроводность . Фактически, пренебрегая членом конвекции, уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости приводят к векторному уравнению диффузии (а именно уравнениям Стокса ), но в общем случае член конвекции присутствует, поэтому уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости относятся к классу уравнений конвекции-диффузии .
наконец, можно сжать весь источник в один член, придя к уравнению Навье – Стокса несжимаемой жидкости с консервативным внешним полем:
являются уравнения Навье – Стокса несжимаемой жидкости с однородной плотностью и вязкостью и консервативным внешним полем Фундаментальным уравнением гидравлики . Областью для этих уравнений обычно является трехмерное или менее мерное евклидово пространство , для которого обычно задается ортогональная система координат , чтобы описать систему скалярных дифференциальных уравнений в частных производных, которую необходимо решить. В трёхмерных ортогональных системах координат их 3: декартова , цилиндрическая и сферическая . Выражение векторного уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах довольно просто и не сильно зависит от количества измерений используемого евклидова пространства, и это справедливо также для членов первого порядка (таких как вариационные и конвекционные) также в недекартовы ортогональные системы координат. Но для членов более высокого порядка (двух, возникающих из-за расхождения девиаторного напряжения, которое отличает уравнения Навье – Стокса от уравнений Эйлера) требуется некоторое тензорное исчисление для вывода выражения в недекартовых ортогональных системах координат.
Частным случаем основного уравнения гидравлики является уравнение Уравнение Бернулли .
Уравнение несжимаемой жидкости Навье – Стокса является составным и представляет собой сумму двух ортогональных уравнений:
где и являются соленоидальными и безвихревыми операторами проектирования, удовлетворяющими , и и — это неконсервативная и консервативная части общей силы. Этот результат следует из теоремы Гельмгольца (также известной как фундаментальная теорема векторного исчисления). Первое уравнение представляет собой основное уравнение для скорости без давления, а второе уравнение для давления является функционалом скорости и связано с уравнением Пуассона для давления.
Явная функциональная форма оператора проектирования в 3D находится из теоремы Гельмгольца:
Эквивалентная слабая или вариационная форма уравнения, как доказано, дает то же решение по скорости, что и уравнение Навье – Стокса: [19] дан кем-то,
для бездивергентных тестовых функций удовлетворяющие соответствующим граничным условиям. Здесь проекции осуществляются за счет ортогональности пространств соленоидальных и безвихревых функций. Как мы увидим в следующем разделе, дискретная форма этого процесса в высшей степени подходит для расчета методом конечных элементов бездивергентного потока. Там можно будет ответить на вопрос: «Как определить проблемы, связанные с давлением (Пуазейля), с помощью определяющего уравнения без давления?».
Отсутствие сил давления в основном уравнении скорости показывает, что это уравнение не является динамическим, а скорее кинематическим уравнением, в котором условие бездивергентности играет роль уравнения сохранения. Все это, казалось бы, опровергает частые утверждения о том, что несжимаемое давление обеспечивает условие отсутствия дивергенций.
Слабая форма уравнений Навье – жидкости Стокса несжимаемой
скорость жидкости, давление жидкости, определенный срок принуждения, направленный наружу единичный вектор нормали к , и тензор вязкого напряжения, определяемый как: [20]
Функции и даны граничные данные Дирихле и Неймана, а это начальное состояние . Первое уравнение представляет собой уравнение баланса импульса, а второе представляет собой уравнение сохранения массы , а именно уравнение неразрывности .
Предполагая постоянную динамическую вязкость, используя векторное тождество
и используя сохранение массы, дивергенция тензора полного напряжения в уравнении количества движения также может быть выражена как: [20]
Кроме того, обратите внимание, что граничные условия Неймана можно переставить следующим образом: [20]
При разделении проблемной области и определении базисных функций в разделенной области дискретная форма основного уравнения имеет вид
Базисные функции желательно выбирать, отражающие существенное свойство несжимаемого течения – элементы должны быть бездивергентными. Хотя скорость является интересующей переменной, существование функции тока или векторного потенциала необходимо по теореме Гельмгольца. Далее, для определения расхода жидкости при отсутствии градиента давления можно задать разность значений функции тока по 2D-каналу или линейный интеграл от тангенциальной составляющей векторного потенциала вокруг канала в 3D, при этом поток задается по теореме Стокса . В дальнейшем обсуждение будет ограничено 2D.
Далее мы ограничиваем обсуждение непрерывными конечными элементами Эрмита, имеющими по крайней мере первые производные степени свободы. Благодаря этому можно почерпнуть большое количество потенциальных треугольных и прямоугольных элементов из литературы по гибке пластин . Эти элементы имеют производные как компоненты градиента. В 2D градиент и ротор скаляра явно ортогональны, что определяется выражениями:
Принятие непрерывных пластинчатых элементов, замена местами производных степеней свободы и изменение знака соответствующей степени дает множество семейств элементов функции тока.
Взятие ротора элементов скалярной функции тока дает бездивергентные элементы скорости. [21] [22] Требование непрерывности элементов функции тока обеспечивает непрерывность нормальной составляющей скорости на границах границ элементов, а это все, что необходимо для исчезновения дивергенции на этих границах.
Граничные условия просты в применении. Функция тока постоянна на поверхностях без потока, при условиях скорости прилипания на поверхностях.
Различия в функциях потока по открытым каналам определяют поток. На открытых границах не требуются граничные условия, хотя при некоторых проблемах можно использовать согласованные значения. Это все условия Дирихле.
Алгебраические уравнения, которые необходимо решить, просты в настройке, но, конечно, они нелинейны , что требует итерации линеаризованных уравнений.
Аналогичные соображения применимы к трехмерным измерениям, но расширение из 2D не происходит немедленно из-за векторной природы потенциала, и не существует простой связи между градиентом и ротором, как это было в 2D.
Восстановить давление из поля скоростей легко. Дискретное слабое уравнение для градиента давления:
где тестовые/весовые функции являются безвихревыми. Можно использовать любой соответствующий скалярный конечный элемент. Однако поле градиента давления также может представлять интерес. В этом случае для давления можно использовать скалярные элементы Эрмита. Для функций теста/веса можно было бы выбрать элементы безвихревого вектора, полученные из градиента элемента давления.
Вращающаяся система отсчета вводит в уравнения некоторые интересные псевдосилы через производную материала . Рассмотрим стационарную инерциальную систему отсчета. и неинерциальная система отсчета , который перемещается со скоростью и вращающийся с угловой скоростью относительно неподвижной рамки. Тогда уравнение Навье – Стокса, наблюдаемое в неинерциальной системе отсчета, принимает вид
Уравнение количества движения Навье – Стокса в неинерциальной системе отсчета
Здесь и измеряются в неинерциальной системе отсчета. Первое слагаемое в скобках представляет ускорение Кориолиса , второе слагаемое обусловлено центробежным ускорением , третье обусловлено линейным ускорением относительно а четвертый член обусловлен угловым ускорением относительно .
Уравнения Навье – Стокса представляют собой строгое утверждение баланса импульсов. Чтобы полностью описать поток жидкости, необходимо больше информации, насколько это зависит от сделанных допущений. Эта дополнительная информация может включать в себя граничные данные ( прилипание , капиллярная поверхность и т. д.), сохранение массы, баланс энергии и/или уравнение состояния .
утверждение о сохранении массы Независимо от допущений о потоке, обычно необходимо . Это достигается с помощью уравнения неразрывности массы , как обсуждалось выше в разделе «Общие уравнения сплошной среды» в этой статье, а именно:
Жидкая среда, для которой плотность ( ) постоянна, называется несжимаемой . Следовательно, скорость изменения плотности ( ) по времени и градиент плотности равны нулю . В этом случае общее уравнение непрерывности , сводится к: . Кроме того, полагая, что плотность ( ) — ненулевая константа означает, что правая часть уравнения делится на плотность ( ). Следовательно, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости сводится к следующему:
Функция потока для несжимаемой 2D-жидкости [ править ]
Учет ротора уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости приводит к устранению давления. Это особенно легко увидеть, если предположить двумерный декартов поток (как в вырожденном трехмерном случае с и никакой зависимости ни от чего ), где уравнения сводятся к:
Дифференцируя первое по , второй по отношению к и вычитание полученных уравнений устранит давление и любую консервативную силу .
Для несжимаемого потока определение функции потока через
приводит к безусловному удовлетворению непрерывности массы (при условии, что функция тока непрерывна), а затем несжимаемый ньютоновский 2D-импульс и сохранение массы конденсируются в одно уравнение:
Это единственное уравнение вместе с соответствующими граничными условиями описывает двумерное течение жидкости, принимая в качестве параметра только кинематическую вязкость. Обратите внимание, что уравнение для ползущего потока получается, когда левая часть принимается равной нулю.
В осесимметричном потоке другая формулировка функции тока, называемая функцией тока Стокса , может использоваться для описания компонентов скорости несжимаемого потока с помощью одной скалярной функции.
Уравнение Навье–Стокса несжимаемой жидкости представляет собой дифференциально-алгебраическое уравнение , имеющее ту неудобную особенность, что нет явного механизма продвижения давления во времени. Следовательно, было затрачено много усилий, чтобы устранить нагрузку со всего или части вычислительного процесса. Формулировка функции тока исключает давление, но только в двух измерениях и за счет введения высших производных и исключения скорости, которая является основной интересующей переменной.
Нелинейность обусловлена конвективным ускорением, которое представляет собой ускорение, связанное с изменением скорости в зависимости от положения. Следовательно, любой конвективный поток, турбулентный или нет, будет иметь нелинейность. Примером конвективного, но ламинарного (нетурбулентного) течения может служить прохождение вязкой жидкости (например, масла) через небольшое сужающееся сопло . Такие потоки, независимо от того, являются ли они точно решаемыми или нет, часто можно тщательно изучить и понять. [25]
Турбулентность — это зависящее от времени хаотическое поведение, наблюдаемое во многих потоках жидкости. Обычно полагают, что это связано с инерцией жидкости в целом: кульминацией нестационарного и конвективного ускорения; следовательно, потоки, в которых инерционные эффекты невелики, имеют тенденцию быть ламинарными ( число Рейнольдса количественно определяет, насколько на поток влияет инерция). Считается, хотя и не известно наверняка, что уравнения Навье – Стокса правильно описывают турбулентность. [26]
Численное решение уравнений Навье – Стокса для турбулентного потока чрезвычайно сложно, и из-за существенно разных масштабов длины смешивания, которые участвуют в турбулентном потоке, устойчивое решение этого уравнения требует такого мелкого разрешения сетки, что время расчета становится значительно меньшим. невозможно для расчета или прямого численного моделирования . Попытки решить турбулентный поток с использованием ламинарного решателя обычно приводят к нестационарному во времени решению, которое не может сходиться должным образом. усредненные по времени уравнения, такие как усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (CFD) при моделировании турбулентных потоков используются Чтобы противостоять этому, в практических приложениях вычислительной гидродинамики (RANS), дополненные моделями турбулентности . Некоторые модели включают модели Спаларта – Аллмараса , k – ω , k – ε и SST , которые добавляют множество дополнительных уравнений для замыкания уравнений RANS. Моделирование больших вихрей (LES) также можно использовать для численного решения этих уравнений. Этот подход требует больше вычислительных затрат (по времени и в памяти компьютера), чем RANS, но дает лучшие результаты, поскольку явно разрешает более крупные турбулентные масштабы.
Вместе с дополнительными уравнениями (например, сохранения массы) и хорошо сформулированными граничными условиями уравнения Навье – Стокса, похоже, точно моделируют движение жидкости; даже турбулентные потоки кажутся (в среднем) согласующимися с реальными наблюдениями.
Уравнения Навье-Стокса предполагают, что изучаемая жидкость представляет собой континуум (она бесконечно делима и не состоит из таких частиц, как атомы или молекулы) и не движется с релятивистскими скоростями . В очень малых масштабах или в экстремальных условиях реальные жидкости, состоящие из дискретных молекул, будут давать результаты, отличные от результатов непрерывных жидкостей, смоделированных уравнениями Навье – Стокса. Например, капиллярность внутренних слоев жидкости проявляется при течении с большими градиентами. [27] Для большого числа Кнудсена задачи уравнение Больцмана может быть подходящей заменой. [28]
В противном случае, возможно, придется прибегнуть к молекулярной динамике или различным гибридным методам. [29]
Другим ограничением является просто сложный характер уравнений. Для распространенных семейств жидкостей существуют проверенные временем формулировки, но применение уравнений Навье – Стокса к менее распространенным семействам имеет тенденцию приводить к очень сложным формулировкам и часто к открытию исследовательских проблем. По этой причине эти уравнения обычно пишут для ньютоновских жидкостей , где модель вязкости линейна ; по-настоящему общих моделей течения других видов жидкостей (например, крови) не существует. [30]
Уравнения Навье–Стокса, даже если они написаны явно для конкретных жидкостей, носят довольно общий характер, и их правильное применение к конкретным задачам может быть очень разнообразным. Частично это связано с тем, что существует огромное разнообразие проблем, которые можно моделировать: от таких простых, как распределение статического давления, до таких сложных, как многофазный поток , вызванный поверхностным натяжением .
Как правило, применение к конкретным проблемам начинается с некоторых предположений о потоке и формулировки начальных/граничных условий, за этим может последовать масштабный анализ для дальнейшего упрощения проблемы.
Визуализация (а) параллельного потока и (б) радиального потока.
Предположим, что устойчивый, параллельный, одномерный, неконвективный поток под давлением между параллельными пластинами, результирующая масштабированная (безразмерная) краевая задача :
Граничным условием является условие прилипания . Эта задача легко решается для поля течения:
С этого момента можно легко получить больше интересующих величин, таких как сила вязкого сопротивления или чистый расход.
Трудности могут возникнуть, когда задача немного усложнится. На вид скромным изменением параллельного потока, описанного выше, может быть радиальный поток между параллельными пластинами; это включает в себя конвекцию и, следовательно, нелинейность. Поле скорости может быть представлено функцией f ( z ) , которая должна удовлетворять:
Это обыкновенное дифференциальное уравнение получается при написании уравнений Навье – Стокса и применении допущений о потоке (кроме того, для него решается градиент давления). Нелинейный решение , длинное неявное член делает эту проблему очень сложной для аналитического решения ( можно найти которое включает эллиптические интегралы и корни кубических многочленов ). Проблемы с реальным существованием решений возникают для (приблизительно; это не √ 2 ), параметр является числом Рейнольдса с соответствующим образом выбранными масштабами. [31] Это пример того, как предположения о потоке теряют свою применимость, и пример сложности потоков с «высоким» числом Рейнольдса. [31]
Типом естественной конвекции, которую можно описать уравнением Навье-Стокса, является конвекция Рэлея-Бенара . Это одно из наиболее часто изучаемых явлений конвекции из-за его аналитической и экспериментальной доступности.
При дополнительных допущениях составные части могут быть разделены. [35]
Двумерный пример
For example, in the case of an unbounded planar domain with two-dimensional — incompressible and stationary — flow in polar coordinates(r,φ), the velocity components (ur,uφ) and pressure p are:[36]
where A and B are arbitrary constants. This solution is valid in the domain r ≥ 1 and for A < −2ν.
In Cartesian coordinates, when the viscosity is zero (ν = 0), this is:
Трехмерный пример
For example, in the case of an unbounded Euclidean domain with three-dimensional — incompressible, stationary and with zero viscosity (ν = 0) — radial flow in Cartesian coordinates(x,y,z), the velocity vector v and pressure p are:[citation needed]
Стационарный пример без особенностей получается при рассмотрении потока вдоль линий расслоения Хопфа . Позволять быть постоянным радиусом внутренней катушки. Один набор решений дается следующим образом: [37]
для произвольных констант и . Это решение в невязком газе (сжимаемой жидкости), плотность, скорость и давление которого вдали от начала координат обращаются к нулю. (Обратите внимание, что это не решение проблемы Клэя Миллениума, поскольку она относится к несжимаемым жидкостям, где является константой и не имеет отношения к единственности уравнений Навье – Стокса относительно каких-либо свойств турбулентности .) Также стоит отметить, что компоненты вектора скорости в точности соответствуют компонентам пифагорейской четверной параметризации. При том же поле скоростей возможны и другие варианты плотности и давления:
Другие варианты плотности и давления
Another choice of pressure and density with the same velocity vector above is one where the pressure and density fall to zero at the origin and are highest in the central loop at z = 0, x2 + y2 = r2:
In fact in general there are simple solutions for any polynomial function f where the density is:
Вязкие трехмерные периодические решения [ править ]
Два примера периодических полностью трехмерных вязких растворов описаны в . [38]
Эти решения определены на трехмерном торе и характеризуются соответственно положительной и отрицательной спиральностью .
Решение с положительной спиральностью имеет вид:
где — волновое число, а компоненты скорости нормированы так, что средняя кинетическая энергия на единицу массы равна в .
Поле давления получается из поля скорости как (где и являются эталонными значениями для полей давления и плотности соответственно).
Поскольку оба решения принадлежат классу течения Бельтрами , поле завихренности параллельно скорости и для случая положительной спиральности имеет вид .
Эти решения можно рассматривать как трехмерное обобщение классического двумерного вихря Тейлора-Грина .
Обратите внимание, что в формулах этого раздела используются однострочные обозначения частных производных, где, например, означает частную производную относительно , и означает частную производную второго порядка от относительно .
В статье 2022 года представлено менее затратное, динамичное и рекуррентное решение уравнения Навье-Стокса для трехмерных турбулентных потоков жидкости. На достаточно коротких временных масштабах динамика турбулентности является детерминированной. [40]
Из общего вида уравнения Навье–Стокса с вектором скорости, расширенным как , иногда соответственно называемые , , , мы можем написать векторное уравнение явно:
Заметим, что гравитация учитывалась как массовая сила, а значения , , будет зависеть от ориентации силы тяжести относительно выбранного набора координат.
Уравнение непрерывности гласит:
Когда поток несжимаем, не меняется ни для одной частицы жидкости, а ее материальная производная обращается в нуль: . Уравнение неразрывности сводится к:
Таким образом, для несжимаемой версии уравнения Навье–Стокса вторая часть вязких членов отпадает (см. Несжимаемое течение ).
Эта система четырех уравнений представляет собой наиболее часто используемую и изучаемую форму. Хотя это представление сравнительно более компактно, чем другие представления, оно все же представляет собой нелинейную систему уравнений в частных производных , решения для которой трудно получить.
Замена переменных в декартовых уравнениях даст [16] следующие уравнения импульса для , , и [41]
Компоненты гравитации, как правило, не являются постоянными, однако для большинства применений либо координаты выбираются так, чтобы компоненты гравитации были постоянными, либо предполагается, что гравитации противодействует поле давления (например, поток в горизонтальной трубе рассматривается как обычно без силы тяжести и без вертикального градиента давления). Уравнение непрерывности:
Это цилиндрическое представление уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости является вторым наиболее часто встречающимся (первое из них является декартовым, указанным выше). Цилиндрические координаты выбраны с учетом преимуществ симметрии, чтобы компонент скорости мог исчезнуть. Очень распространенным случаем является осесимметричное течение с предположением об отсутствии тангенциальной скорости ( ), а остальные величины не зависят от :
В сферических координатах , , и уравнения импульса [16] (обратите внимание на используемое соглашение: это полярный угол, или широта , [42] ):
Массовая преемственность будет звучать так:
Эти уравнения можно (слегка) уплотнить, например, факторингом из вязких условий. Однако это нежелательно изменило бы структуру лапласиана и других величин.
Уравнения Навье – Стокса широко используются в видеоиграх для моделирования широкого спектра природных явлений. Моделирование небольших газообразных жидкостей, таких как огонь и дым, часто основано на оригинальной статье «Гидридная динамика в реальном времени для игр». [43] Джоса Стама , который развивает один из методов, предложенных в более ранней, более известной статье Стэма «Стабильные жидкости». [44] с 1999 года. Стэм предлагает моделирование стабильной жидкости с использованием метода решения Навье – Стокса с 1968 года в сочетании с безусловно устойчивой полулагранжевой схемой адвекции , впервые предложенной в 1992 году.
^ Маклин, Дуг (2012). «Механика сплошной жидкости и уравнения Навье-Стокса» . Понимание аэродинамики: аргументы из реальной физики . Джон Уайли и сыновья. стр. 13–78. ISBN 9781119967514 . Основными соотношениями, составляющими уравнения НС, являются основные законы сохранения массы, импульса и энергии. Чтобы получить полный набор уравнений, нам также необходимо уравнение состояния, связывающее температуру, давление и плотность...
^ Перейти обратно: а б Ландау, Лев Давидович и Евгений Михайлович Лифшиц. Механика жидкости: Ландау и Лифшиц: Курс теоретической физики, Том 6. Том. 6. Эльзевир, 2013.
^
Этье, Чехия; Штайнман, Д.А. (1994), «Точные полностью трехмерные решения Навье-Стокса для сравнительного анализа», Международный журнал численных методов в жидкостях , 19 (5): 369–375, Бибкод : 1994IJNMF..19..369E , doi : 10.1002/ флд.1650190502
В. Жиро и П. А. Равиар. Методы конечных элементов для уравнений Навье – Стокса: теория и алгоритмы . Ряд Спрингера по вычислительной математике. Спрингер-Верлаг, 1986.
Полянин А.Д.; Кутепов А.М.; Вязьмин А.В.; Казенин Д.А. (2002), Гидродинамика, массо- и теплоперенос в химической технологии , Тейлор и Фрэнсис, Лондон, ISBN 978-0-415-27237-7
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: F1549B136FD78B6A3F0AB3C7F8656DD3__1718337420 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equation Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Navier–Stokes equations - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)