Обезразмеривание и масштабирование уравнений Навье – Стокса.

В механике жидкости обезразмеривание уравнений Навье-Стокса представляет собой преобразование уравнения Навье-Стокса к безразмерной форме . Этот метод может облегчить анализ рассматриваемой проблемы и уменьшить количество свободных параметров . Малые или большие размеры тех или иных безразмерных параметров указывают на важность тех или иных членов в уравнениях изучаемого течения. Это может дать возможность пренебречь членами в (определенных областях) рассматриваемого потока. Кроме того, безразмерные уравнения Навье – Стокса могут быть полезны, если перед вами стоят схожие физические ситуации, то есть проблемы, в которых единственные изменения касаются изменений основных размеров системы.

Масштабирование уравнения Навье-Стокса относится к процессу выбора подходящих пространственных масштабов - для определенного типа потока - которые будут использоваться при обезразмеривании уравнения. Поскольку полученные уравнения должны быть безразмерными, необходимо найти подходящую комбинацию параметров и констант уравнений и характеристик потока (области). В результате такой комбинации количество анализируемых параметров сокращается, и результаты могут быть получены в терминах масштабированных переменных .

Необходимость обезразмеривания и масштабирования

Помимо уменьшения количества параметров, обезразмеренное уравнение помогает лучше понять относительный размер различных членов, присутствующих в уравнении. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} После соответствующего выбора масштабов для процесса обезразмеривания это приводит к идентификации малых членов в уравнении. Пренебрежение меньшими членами по сравнению с большими позволяет упростить ситуацию. В случае потока без теплопередачи безразмерное уравнение Навье – Стокса зависит только от числа Рейнольдса , и, следовательно, все физические реализации соответствующего эксперимента будут иметь одинаковое значение безразмерных переменных для одного и того же числа Рейнольдса. ^{[ 3 ]}

Масштабирование помогает лучше понять физическую ситуацию с изменением размеров параметров, участвующих в уравнении. Это позволяет проводить эксперименты на прототипах меньшего масштаба при условии, что любые физические эффекты, не включенные в безразмерное уравнение, не важны.

Безразмерное уравнение Навье – Стокса.

Уравнение количества движения несжимаемой жидкости Навье – Стокса записывается как:

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {g} .

^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

где ρ — плотность , p — давление , ν — кинематическая вязкость , u — скорость потока , g — поле ускорения тела.

Приведенное выше уравнение можно обезразмерить путем выбора соответствующих масштабов следующим образом:

Шкала	безразмерная переменная
Длина L	$\mathbf {r} ^{}\ ={\frac {\mathbf {r} }{L}}$ и $\nabla ^{}\ =L\nabla$
Скорость потока U	$\mathbf {u} ^{*}\ ={\frac {\mathbf {u} }{U}}\,$
Время Л / У	$t^{*}\ ={\frac {t}{L/U}}\,$
Давление : естественный отбор шкалы давления отсутствует.	Там, где преобладают динамические эффекты, т.е. высокоскоростные потоки. $p^{}={\frac {p}{\rho U^{2}}}$ Там, где преобладают вязкие эффекты, т.е. ползущие потоки. $p^{}={\frac {pL}{\mu U}}$

Подставляя масштабы, получаем безразмерное уравнение:

{\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}+{\frac {1}{Re}}\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} +{\frac {1}{Fr^{2}}}{\hat {g}}.

^{[ 4 ]}

( 1 )

где $Fr$ – число Фруда и $Re$ это число Рейнольдса ( $Re=UL/\nu$ ).

Потоки с большой вязкостью

Для потоков, в которых силы вязкости преобладают шкала вязкого давления μ U / L. , т. е. медленных потоков с большой вязкостью, используется В случае отсутствия свободной поверхности полученное уравнение имеет вид

Re\left({\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \right)\ =-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .

( 2 )

режим Стокса

Масштабирование уравнения ( 1 ) можно выполнить в потоке, где член инерции меньше члена вязкости, т.е. когда Re → 0, членами инерции можно пренебречь, оставив уравнение ползущего движения .

Re{\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t^{*}}}=-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} .

Такие течения имеют тенденцию оказывать влияние вязкого взаимодействия на больших расстояниях от объекта. ^{[ нужна ссылка ]} При малых числах Рейнольдса то же уравнение сводится к уравнению диффузии , называемому уравнением Стокса.

-\nabla ^{*}p^{*}+\nabla ^{*2}\mathbf {u^{*}} =\mathbf {0} .

режим Эйлера

Аналогично, если Re → ∞, т.е. когда преобладают силы инерции, вкладом вязкости можно пренебречь. Безразмерное уравнение Эйлера для невязкого течения имеет вид

{\frac {\partial \mathbf {u^{*}} }{\partial t}}+(\mathbf {u^{*}} \cdot \nabla ^{*})\mathbf {u^{*}} \ =-\nabla ^{*}p^{*}.

^{[ 6 ]}

Когда плотность меняется как в зависимости от концентрации, так и в зависимости от температуры

Изменение плотности из-за концентрации и температуры является важной областью исследований двойной диффузионной конвекции . Если принять во внимание изменения плотности из-за температуры и солености, то к Z-компоненту импульса добавляются еще несколько членов, а именно: ^{[ 7 ]} ^{[ 8 ]}

{\frac {\partial W}{\partial t}}+U{\frac {\partial W}{\partial X}}+W{\frac {\partial W}{\partial Z}}\ =-{\frac {1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z}}+v\left({\frac {\partial ^{2}W}{\partial X^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial Z^{2}}}\right)\ -g\left(\beta _{s}\nabla {S}-\beta _{T}\nabla {T}\right)

Где S — соленость жидкости, β _T — коэффициент теплового расширения при постоянном давлении, а β _S — коэффициент расширения соли при постоянном давлении и температуре.

Без простановки размеров с использованием шкалы:

S^{*}={\frac {S-S_{B}}{S_{T}-S_{B}}}

и

T^{*}={\frac {T-T_{B}}{T_{T}-T_{B}}}

мы получаем

{\frac {\partial W^{*}}{\partial t^{*}}}+U^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial X^{*}}}+W^{*}{\frac {\partial W^{*}}{\partial Z^{*}}}\ =-{\frac {\partial p_{d}}{\partial Z^{*}}}+Pr\left({\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial X^{*2}}}+{\frac {\partial ^{2}W^{*}}{\partial Z^{*2}}}\right)\ -{Ra_{s}Pr_{s}S}+{Ra_{T}Pr_{T}T}

где S _T , TT _{обозначают} соленость и температуру в верхнем слое, SB _B , T _число обозначают соленость и температуру в нижнем слое, Ra — число Рэлея , а Pr — Прандтля . Знак Ra _S и Ra _T будет меняться в зависимости от того, стабилизирует или дестабилизирует систему система.

Ссылки

Сноски

^ Верстег Х.К., Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечного объема, 2007, Прентис-холл, 9780131274983
^ Патанкар Сухас В., Численная теплопередача и поток жидкости, 1980, Тейлор и Фрэнсис, 9780891165224
^ Сальви Родольфо, Теория уравнений Навье-Стокса и численные методы, 2002, М. Деккер, 9780824706722
^ Перейти обратно: ^а ^б Фокс, Роберт В.; Алан Т. Макдональд; Филип Дж. Причард (2006). Введение в механику жидкости (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 213 –215. ISBN 9780471735588 .
^ Триттон, диджей (1988). Физическая гидродинамика (2-е изд.). Оксфорд [Англия]: Clarendon Press. стр. 55–58. ISBN 0198544898 .
^ Уайт, Фрэнк М. (2003). Механика жидкости (5-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. стр. 188–189 . ISBN 9780072402179 .
^ О взаимосвязи между шириной пальца, скоростью и потоками при термохалинной конвекции, 2009, К.Р. Шринивас, О.П. Сингх и Дж. Шринивасан, Phys. Жидкости (Американский институт физики) 21 (2), стр. 026601.
^ Аппроксимация гидростатической системы Навье – Стокса для стратифицированных по плотности течений многослойной моделью. Кинетическая интерпретация и численная проверка, Э. Одусс, М.-О. Бристо, М. Пеланти, Ж. Сент-Мари, Парижский университет 13, Институт Галилеи, авеню Жан-Батист Клеман, 99, 93430 Вильтанёз, Франция. INRIA Rocquencourt, BP 105, 78153 Ле Шене Седекс, Франция. Лаборатория Сен-Венана, набережная Ватье, 6, 78400 Шату, Франция.

Другой

«Обезразмеривание Навье – Стокса» . CFD онлайн . Проверено 11 октября 2012 г.
Т. Себечи Дж. Р. Шао, Ф. Кафиеке Э. Лорендо, Вычислительная гидродинамика для инженеров, Springer, 2005 г.
К. Позрикидис, Теория гидродинамики, вычисления и численное моделирование, KLUWER ACADEMIC PUBLISHERS, 2001.

Ю. Сенгель и Дж. Цимбала, МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ: Основы и приложения, 4-е издание, McGraw-Hill Education, 2018 (см. стр. 521, раздел 10.2. Безразмерные уравнения движения).

Дальнейшее чтение

Деринг, Чехия ; Гиббон, JD (1995). Прикладной анализ уравнений Навье–Стокса . Кембриджские тексты по прикладной математике. Том. 12. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521445689 .
Триттон, диджей (1988). «Глава 7 – Динамическое сходство». Физическая гидродинамика (2-е изд.). Оксфорд [Англия]: Clarendon Press. ISBN 0198544898 .
Маттей, РММ; Риенстра, Юго-Запад; тен Тидже Бунккамп, JHM (2005). «§7.4 – Масштабирование и сокращение уравнений Навье – Стокса». Уравнения в частных производных: моделирование, анализ, расчет . СИАМ. стр. 148–155. ISBN 9780898715941 .
Гребель, Уильям (2007). «§6.2 – Уравнения пограничного слоя». Расширенная механика жидкости . Академическая пресса. стр. 171–174 . ISBN 9780123708854 .
Лил, Л. Гэри (2007). Расширенные явления переноса: механика жидкости и процессы конвективного переноса . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521849104 .
Эта книга содержит несколько примеров различных обезразмеривания и масштабирования уравнений Навье – Стокса, см. стр. 430.
Кранц, Уильям Б. (2007). Масштабный анализ при моделировании процессов переноса и реакций: систематический подход к построению моделей и искусство аппроксимации . Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471772613 .
Зейтунян, Радьядур Х. (2002). Асимптотическое моделирование явлений течения жидкости . Механика жидкости и ее приложения. Том. 64. Академическое издательство Клувер. ISBN 978-1-4020-0432-2 .

[1] Верстег Х.К., Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечного объема, 2007, Прентис-холл, 9780131274983

[2] Патанкар Сухас В., Численная теплопередача и поток жидкости, 1980, Тейлор и Фрэнсис, 9780891165224

[3] Сальви Родольфо, Теория уравнений Навье-Стокса и численные методы, 2002, М. Деккер, 9780824706722

[Robert-4] Перейти обратно: ^а ^б Фокс, Роберт В.; Алан Т. Макдональд; Филип Дж. Причард (2006). Введение в механику жидкости (6-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 213 –215. ISBN 9780471735588 .

[5] Триттон, диджей (1988). Физическая гидродинамика (2-е изд.). Оксфорд [Англия]: Clarendon Press. стр. 55–58. ISBN 0198544898 .

[6] Уайт, Фрэнк М. (2003). Механика жидкости (5-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. стр. 188–189 . ISBN 9780072402179 .

[7] О взаимосвязи между шириной пальца, скоростью и потоками при термохалинной конвекции, 2009, К.Р. Шринивас, О.П. Сингх и Дж. Шринивасан, Phys. Жидкости (Американский институт физики) 21 (2), стр. 026601.

[8] Аппроксимация гидростатической системы Навье – Стокса для стратифицированных по плотности течений многослойной моделью. Кинетическая интерпретация и численная проверка, Э. Одусс, М.-О. Бристо, М. Пеланти, Ж. Сент-Мари, Парижский университет 13, Институт Галилеи, авеню Жан-Батист Клеман, 99, 93430 Вильтанёз, Франция. INRIA Rocquencourt, BP 105, 78153 Ле Шене Седекс, Франция. Лаборатория Сен-Венана, набережная Ватье, 6, 78400 Шату, Франция.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]