Число Прандтля

Число Прандтля ( Pr ) или группа Прандтля — безразмерное число , названное в честь немецкого физика Людвига Прандтля , определяемое как отношение коэффициента диффузии импульса к коэффициенту температуропроводности . ^[1] Число Прандтля определяется как:

$\mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {\mbox{momentum diffusivity}}{\mbox{thermal diffusivity}}}={\frac {\mu /\rho }{k/(c_{p}\rho )}}={\frac {c_{p}\mu }{k}}$

где:

$\nu$ : коэффициент диффузии импульса ( кинематическая вязкость ), $\nu =\mu /\rho$ , ( Единицы СИ : м ²/с)
$\alpha$ : температуропроводность , $\alpha =k/(\rho c_{p})$ , (единицы СИ: м ²/с)
$\mu$ : динамическая вязкость , (единицы СИ: Па·с = Н·с/м ²)
$k$ : теплопроводность , (единицы СИ: Вт/(м·К))
$c_{p}$ : удельная теплоемкость , (единицы СИ: Дж/(кг·К))
$\rho$ : плотность , (единицы СИ: кг/м ³).

Обратите внимание, что в то время как число Рейнольдса и число Грасгофа имеют индексы масштабной переменной, число Прандтля не содержит такого масштаба длины и зависит только от жидкости и ее состояния. Число Прандтля часто встречается в таблицах свойств наряду с другими свойствами, такими как вязкость и теплопроводность .

Массопереносным аналогом числа Прандтля является число Шмидта , а отношением числа Прандтля и числа Шмидта является число Льюиса .

Экспериментальные значения

Типичные значения

Для большинства газов в широком диапазоне температур и давлений $Pr$ примерно постоянен. Поэтому его можно использовать для определения теплопроводности газов при высоких температурах, где ее затруднительно измерить экспериментально из-за образования конвекционных потоков. ^[1]

Типичные значения $Pr$ :

0,003 для расплавленного калия при 975 К ^[1]
около 0,015 для ртути
0,065 для расплавленного лития при 975 К ^[1]
около 0,16–0,7 для смесей благородных газов или благородных газов с водородом.
0,63 для кислорода ^[1]
около 0,71 для воздуха и многих других газов
1,38 для газообразного аммиака ^[1]
от 4 до 5 для хладагента R-12
около 7,56 для воды (при 18 °C )
13,4 и 7,2 для морской воды (при 0 °C и 20 °C соответственно)
50 для н -бутанола ^[1]
от 100 до 40 000 за моторное масло
1000 для глицерина ^[1]
10 000 для расплавов полимеров ^[1]
около 1 × 10 ²⁵ для Земли мантии .

Формула расчета числа Прандтля для воздуха и воды

Для воздуха с давлением 1 бар числа Прандтля в диапазоне температур от −100 °C до +500 °C можно рассчитать по формуле, приведенной ниже. ^[2] Температуру следует использовать в градусах Цельсия. Отклонения составляют максимум 0,1% от литературных значений.

$\mathrm {Pr} _{\text{air}}={\frac {10^{9}}{1.1\cdot \vartheta ^{3}-1200\cdot \vartheta ^{2}+322000\cdot \vartheta +1.393\cdot 10^{9}}}$

Числа Прандтля для воды (1 бар) можно определить в диапазоне температур от 0 °C до 90 °C по формуле, приведенной ниже. ^[2] Температуру следует использовать в градусах Цельсия. Отклонения составляют максимум 1% от литературных значений.

$\mathrm {Pr} _{\text{water}}={\frac {50000}{\vartheta ^{2}+155\cdot \vartheta +3700}}$

Физическая интерпретация

Малые значения числа Прандтля $Pr ≪ 1$ означают доминирование температуропроводности. В то время как при больших значениях $Pr ≫ 1$ , в поведении доминирует коэффициент диффузии импульса.Например, указанное значение для жидкой ртути указывает на то, что теплопроводность более значительна по сравнению с конвекцией , поэтому температуропроводность является доминирующей.Однако моторное масло, обладающее высокой вязкостью и низкой теплопроводностью, имеет более высокий коэффициент температуропроводности по сравнению с температуропроводностью. ^[3]

Числа Прандтля газов составляют около 1, что указывает на то, что и импульс , и тепло рассеиваются через жидкость примерно с одинаковой скоростью. Тепло распространяется очень быстро в жидких металлах ( $Pr ≪ 1$ ) и очень медленно в маслах ( $Pr ≫ 1$ ) относительно импульса. Следовательно, тепловой пограничный слой намного толще для жидких металлов и намного тоньше для масел по сравнению с пограничным слоем скорости .

В задачах теплопередачи число Прандтля контролирует относительную толщину импульсного и теплового пограничных слоев . Когда $Pr$ мало, это означает, что тепло распространяется быстрее по сравнению со скоростью (импульсом). Это означает, что для жидких металлов тепловой пограничный слой намного толще скоростного пограничного слоя.

В ламинарных пограничных слоях отношение толщины пограничного слоя к тепловой и импульсной по плоской пластине хорошо аппроксимируется выражением ^[4]

{\frac {\delta _{t}}{\delta }}=\mathrm {Pr} ^{-{\frac {1}{3}}},\quad 0.6\leq \mathrm {Pr} \leq 50,

где $\delta _{t}$ – толщина теплового пограничного слоя и $\delta$ – толщина импульсного пограничного слоя.

Для несжимаемого течения над плоской пластиной две корреляции числа Нуссельта асимптотически верны: ^[4]

\mathrm {Nu} _{x}=0.339\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{3}},\quad \mathrm {Pr} \to \infty ,

\mathrm {Nu} _{x}=0.565\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{2}},\quad \mathrm {Pr} \to 0,

где $\mathrm {Re}$ это число Рейнольдса . Эти два асимптотических решения можно объединить, используя концепцию Нормы (математика) : ^[4]

\mathrm {Nu} _{x}={\frac {0.3387\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{3}}}{\left(1+\left({\frac {0.0468}{\mathrm {Pr} }}\right)^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{4}}}},\quad \mathrm {Re} \mathrm {Pr} >100.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Коулсон, Дж. М.; Ричардсон, Дж. Ф. (1999). Химическая инженерия, Том 1 (6-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-7506-4444-0 .
^ Jump up to: ^а ^б техническая наука (10 мая 2020 г.). «Число Прандтля» . техническая наука . Проверено 25 июня 2020 г.
^ Ченгель, Юнус А. (2003). Теплопередача: практический подход (2-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 0072458933 . OCLC 50192222 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Линхард IV, Джон Генри; Линхард В., Джон Генри (2017). Учебник по теплопередаче (4-е изд.). Кембридж, Массачусетс: Phlogiston Press.

Дальнейшее чтение

Белый, FM (2006). Течение вязкой жидкости (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-240231-8 .

[C&R-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Коулсон, Дж. М.; Ричардсон, Дж. Ф. (1999). Химическая инженерия, Том 1 (6-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-7506-4444-0 .

[tec-science-2] Jump up to: ^а ^б техническая наука (10 мая 2020 г.). «Число Прандтля» . техническая наука . Проверено 25 июня 2020 г.

[3] Ченгель, Юнус А. (2003). Теплопередача: практический подход (2-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 0072458933 . OCLC 50192222 .

[A_Heat_Transfer_Textbook-4] Jump up to: ^а ^б ^с Линхард IV, Джон Генри; Линхард В., Джон Генри (2017). Учебник по теплопередаче (4-е изд.). Кембридж, Массачусетс: Phlogiston Press.

[1]

[2]

[3]

[4]