Номер Биота

Число Био ( Bi ) — безразмерная величина , используемая в расчетах теплопередачи , названная в честь французского физика восемнадцатого века Жана-Батиста Био (1774–1862). Число Био — это отношение термического сопротивления проводимости внутри тела к сопротивлению конвекции на поверхности тела. Это соотношение показывает, значительно ли меняется температура внутри тела в пространстве, когда тело нагревается или охлаждается с течением времени тепловым потоком на его поверхности.

В целом задачи, связанные с малыми числами Био (намного меньшими 1), аналитически просты из-за почти однородных температурных полей внутри тела. Числа Био первого порядка и выше указывают на более сложные проблемы с неоднородными температурными полями внутри тела.

Число Био появляется в ряде задач теплопередачи , включая расчеты переходной теплопроводности и ребер теплопередачи .

Определение

Число Био определяется как:

\mathrm {Bi} ={\frac {h}{k}}L

где:

${k}$ — теплопроводность тела [Вт/(м·К)]
${h}$ – коэффициент конвективной теплопередачи [Вт/(м ²·К)]
${L}$ — характерная длина [м] рассматриваемой геометрии.

(Число Био не следует путать с числом Нуссельта , которое учитывает теплопроводность жидкости , а не тела.)

Характерной длиной в большинстве актуальных задач становится тепловая характеристика, т. е. отношение объема тела к нагретой (или охлаждаемой) поверхности тела: $L={\frac {V}{A_{\mathrm {Q} }}}$ Здесь индекс Q для тепла используется для обозначения того, что рассматриваемая поверхность представляет собой лишь часть общей поверхности, через которую проходит тепло.

Физическое значение числа Био можно понять, представив себе тепловой поток от небольшого горячего металлического шара, внезапно погруженного в ванну, в окружающую жидкость. Тепловой поток испытывает два сопротивления: первое из-за проводимости внутри твердого металла (на которое влияют как размер, так и состав сферы), а второе - из-за конвекции на поверхности сферы. Если тепловое сопротивление границы раздела жидкость/сфера превышает тепловое сопротивление внутренней части металлической сферы, число Био будет меньше единицы. Для систем, где она намного меньше единицы, можно считать, что внутренняя часть сферы имеет однородную температуру, хотя эта температура может меняться со временем по мере того, как тепло переходит в сферу с поверхности. Уравнение, описывающее это изменение (относительно однородной) температуры внутри объекта, представляет собой простое экспоненциальное уравнение, описываемое законом охлаждения Ньютона .

Напротив, металлическая сфера может быть большой, так что характерная длина велика, а число Био больше единицы. Теперь температурные градиенты внутри сферы становятся важными, хотя материал сферы является хорошим проводником. Аналогичным образом, если сфера сделана из плохо проводящего (теплоизолирующего) материала, такого как дерево или пенополистирол, внутреннее сопротивление тепловому потоку будет превышать сопротивление конвекции на границе жидкость/сфера, даже для гораздо меньшей сферы. В этом случае число Био опять же будет больше единицы.

Приложения

Значение числа Био может указывать на применимость (или неприменимость) тех или иных методов решения нестационарных задач теплопередачи. Например, число Био меньше примерно 0,1 означает, что теплопроводность внутри тела обеспечивает гораздо меньшее тепловое сопротивление, чем тепловая конвекция на поверхности, поэтому температурные градиенты внутри тела незначительны (такие тела иногда называют «термически тонкими»). ). В этой ситуации простую модель сосредоточенной емкости для оценки изменения переходной температуры тела можно использовать . Верно и обратное: число Био, превышающее примерно 0,1, указывает на то, что тепловое сопротивление внутри тела немаловажно и необходимы более сложные методы анализа теплопередачи к телу или от него (такие тела иногда называют «термически толстыми»). .

Теплопроводность для конечного числа Био

Когда число Био больше 0,1 или около того, необходимо решить уравнение теплопроводности , чтобы определить изменяющееся во времени и пространственно-неоднородное температурное поле внутри тела. Аналитические методы решения этих задач, которые могут существовать для простых геометрических форм и однородной теплопроводности материала , описаны в статье об уравнении теплопроводности . Доступны примеры проверенных аналитических решений вместе с точными численными значениями. ^[1]^[2]Часто такие задачи слишком сложны, чтобы их можно было решить иначе, как численно, с использованием компьютерной модели теплопередачи.

Теплопроводность для Bi ≪ 1

Как уже отмечалось, число Био меньше примерно 0,1 показывает, что сопротивление проводимости внутри тела намного меньше, чем тепловая конвекция на поверхности, поэтому температурные градиенты внутри тела незначительны. В этом случае с сосредоточенной емкостью можно использовать модель нестационарной теплопередачи . (Число Био менее 0,1 обычно указывает на то, что при использовании модели сосредоточенной емкости ошибка будет менее 3%. ^[3])

Самый простой тип решения с сосредоточенной емкостью для ступенчатого изменения температуры жидкости показывает, что температура тела экспоненциально спадает во времени («ньютоновское» охлаждение или нагрев), поскольку внутренняя энергия тела прямо пропорциональна температуре тела. а разница между температурой тела и температурой жидкости линейно пропорциональна скорости передачи тепла в тело или из него. Объединение этих соотношений с Первым законом термодинамики приводит к простому линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Соответствующее решение с сосредоточенной мощностью можно записать

{\frac {T-T_{\infty }}{T_{0}-T_{\infty }}}=e^{-t/\tau }

в котором $\tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{Q}}}$ – тепловая постоянная времени тела, $\rho$ - массовая плотность (кг/м ³), и $c_{p}$ – удельная теплоемкость (Дж/кг-К).

Исследование теплопередачи в микроинкапсулированных суспензиях с фазовым переходом — это область применения, в которой полезно число Био. Для дисперсной фазы микроинкапсулированной суспензии с фазовым переходом, самого микроинкапсулированного материала с фазовым переходом, число Био, по расчетам, составляет менее 0,1, и поэтому можно предположить, что температурные градиенты внутри дисперсной фазы незначительны. ^[4]

Массообменный аналог

Аналогичная версия числа Био (обычно называемая «числом Био массообмена», или $\mathrm {Bi} _{m}$ ) также используется в процессах массовой диффузии:

\mathrm {Bi} _{m}={\frac {k_{c}}{D}}L

где:

${k_{c}}$ : коэффициент конвективной массопередачи (аналог h в задаче теплопередачи)
$D$ : коэффициент диффузии массы (аналог k задачи теплопередачи)
${L}$ : характерная длина

См. также

Ссылки

^ "ТОЧНЫЙ" . Набор инструментов для точной аналитической проводимости . Университет Небраски. Январь 2013 года . Проверено 24 января 2015 г.
^ Коул, Кевин Д.; Бек, Джеймс В.; Вудбери, Кейт А.; де Монте, Филиппо (2014). «Внутренняя проверка и база данных теплопроводности». Международный журнал тепловых наук . 78 : 36–47. doi : 10.1016/j.ijthermalsci.2013.11.002 . ISSN 1290-0729 .
^ Осторгорский, Алекс Г. (январь 2009 г.). «Простые явные уравнения нестационарной теплопроводности в конечных твердых телах». Журнал теплопередачи . 131 (1): 011303. дои : 10.1115/1.2977540 .
^ Дельгадо, Моника; Лазаро, Ана; Мазо, Хавьер; Зальба, Белен (январь 2012 г.). «Обзор эмульсий материалов с фазовым переходом и микроинкапсулированных суспензий материалов с фазовым переходом: материалы, исследования теплопередачи и применение». Обзоры возобновляемой и устойчивой энергетики . 16 (1): 253–273. дои : 10.1016/j.rser.2011.07.152 . ISSN 1364-0321 .

[1] "ТОЧНЫЙ" . Набор инструментов для точной аналитической проводимости . Университет Небраски. Январь 2013 года . Проверено 24 января 2015 г.

[ColeBeck2014-2] Коул, Кевин Д.; Бек, Джеймс В.; Вудбери, Кейт А.; де Монте, Филиппо (2014). «Внутренняя проверка и база данных теплопроводности». Международный журнал тепловых наук . 78 : 36–47. doi : 10.1016/j.ijthermalsci.2013.11.002 . ISSN 1290-0729 .

[3] Осторгорский, Алекс Г. (январь 2009 г.). «Простые явные уравнения нестационарной теплопроводности в конечных твердых телах». Журнал теплопередачи . 131 (1): 011303. дои : 10.1115/1.2977540 .

[4] Дельгадо, Моника; Лазаро, Ана; Мазо, Хавьер; Зальба, Белен (январь 2012 г.). «Обзор эмульсий материалов с фазовым переходом и микроинкапсулированных суспензий материалов с фазовым переходом: материалы, исследования теплопередачи и применение». Обзоры возобновляемой и устойчивой энергетики . 16 (1): 253–273. дои : 10.1016/j.rser.2011.07.152 . ISSN 1364-0321 .

[1]

[2]

[3]

[4]