число Вебера

Число Вебера ( We ) — это безразмерное число в механике жидкости , которое часто бывает полезно при анализе потоков жидкости, где существует граница раздела двух разных жидкостей, особенно для многофазных потоков с сильно искривленными поверхностями. ^[1] Он назван в честь Морица Вебера (1871–1951). ^[2] жидкости Ее можно рассматривать как меру относительной важности инерции по сравнению с ее поверхностным натяжением . Эта величина полезна при анализе потоков тонких пленок и образования капель и пузырьков.

Математическое выражение

Число Вебера можно записать как:

\mathrm {We} ={\frac {\mbox{Drag Force}}{\mbox{Cohesion Force}}}=\left({\frac {8}{C_{\mathrm {D} }}}\right){\frac {\left({\frac {\rho \,v^{2}}{2}}\,C_{\mathrm {D} }\pi {\frac {l^{2}}{4}}\right)}{\left(\pi \,l\,\sigma \right)}}={\frac {\rho \,v^{2}\,l}{\sigma }}

где

$C_{\mathrm {D} }$ – коэффициент аэродинамического сопротивления поперечного сечения кузова.
$\rho$ – плотность жидкости ( кг / м ³).
$v$ - его скорость (м/ с ).
$l$ — его характерная длина , обычно диаметр капли (м).
$\sigma$ – поверхностное натяжение ( Н /м).

Модифицированное число Вебера,

\mathrm {We} ^{*}={\frac {\mathrm {We} }{12}}

равен отношению кинетической энергии при ударе к поверхностной энергии,

\mathrm {We} ^{*}={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{\mathrm {surf} }}}

,

где

E_{\mathrm {kin} }={\frac {\pi \rho l^{3}v^{2}}{12}}

и

E_{\mathrm {surf} }=\pi l^{2}\sigma

.

Появление в уравнениях Навье-Стокса

Число Вебера появляется в уравнениях Навье-Стокса несжимаемой жидкости через граничное условие свободной поверхности . ^[3]

Для жидкости постоянной плотности $\rho$ и динамическая вязкость $\mu$ , на границе раздела свободной поверхности существует баланс между нормальным напряжением и силой кривизны , связанной с поверхностным натяжением:

{\widehat {\bf {n}}}\cdot \mathbb {T} \cdot {\widehat {\bf {n}}}=\sigma \left(\nabla \cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)

Где ${\widehat {\bf {n}}}$ - единичный вектор нормали к поверхности, $\mathbb {T}$ – тензор напряжений Коши , $\nabla \cdot$ — оператор дивергенции . Тензор напряжений Коши для несжимаемой жидкости имеет вид:

\mathbb {T} =-pI+\mu \left[\nabla {\bf {v}}+(\nabla {\bf {v}})^{T}\right]

Представляем динамическое давление $p_{d}=p-\rho {\bf {g}}\cdot {\bf {x}}$ и, предполагая высокий поток чисел Рейнольдса , можно обезразмерить переменные с помощью масштабирования:

p_{d}=\rho V^{2}p_{d}',\quad \nabla =L^{-1}\nabla ',\quad {\bf {g}}=g{\bf {g}}',\quad {\bf {x}}=L{\bf {x}}',\quad {\bf {v}}=V{\bf {v}}'

Тогда граничное условие свободной поверхности в безразмерных переменных будет следующим:

-p_{d}'+{1 \over {{\text{Fr}}^{2}}}z'+{1 \over {\text{Re}}}{\widehat {\bf {n}}}\cdot \left[\nabla '{\bf {v}}'+(\nabla '{\bf {v}}')^{T}\right]\cdot {\widehat {\bf {n}}}={1 \over {\text{We}}}\left(\nabla '\cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)

Где ${\text{Fr}}$ — число Фруда , ${\text{Re}}$ - число Рейнольдса, а ${\text{We}}$ — число Вебера. Затем можно количественно оценить влияние числа Вебера относительно гравитационных и вязких сил.

Приложения

Одним из применений числа Вебера является исследование тепловых трубок. Когда поток импульса в паровом сердечнике тепловой трубы высок, существует вероятность того, что напряжение сдвига, оказываемое на жидкость в фитиле, может быть достаточно большим, чтобы увлечь капли в поток пара. Число Вебера — это безразмерный параметр, определяющий возникновение этого явления, называемого пределом увлечения (число Вебера больше или равно 1). В этом случае число Вебера определяется как отношение импульса в слое пара к силе поверхностного натяжения, удерживающей жидкость, где характерной длиной является размер поверхностных пор.

Ссылки

^ Арнольд Фрон; Норберт Рот (27 марта 2000 г.). Динамика капель . Springer Science & Business Media. стр. 15–. ISBN 978-3-540-65887-0 .
^ Филип Дэй; Андреас Манц; Юнхао Чжан (28 июля 2012 г.). Микрокапельная технология: принципы и новые применения в биологии и химии . Springer Science & Business Media. стр. 9–. ISBN 978-1-4614-3265-4 .
^ Буш, Джон В.М. «Модуль поверхностного натяжения» (PDF) . Департамент математики Массачусетского технологического института .

Дальнейшее чтение

Уэст, Р. Лиде, Д. Астл, М. Бейер, В. (1989–1990). CRC Справочник по химии и физике. 70-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, Inc.. F-373 376.

[FrohnRoth2000-1] Арнольд Фрон; Норберт Рот (27 марта 2000 г.). Динамика капель . Springer Science & Business Media. стр. 15–. ISBN 978-3-540-65887-0 .

[DayManz2012-2] Филип Дэй; Андреас Манц; Юнхао Чжан (28 июля 2012 г.). Микрокапельная технология: принципы и новые применения в биологии и химии . Springer Science & Business Media. стр. 9–. ISBN 978-1-4614-3265-4 .

[3] Буш, Джон В.М. «Модуль поверхностного натяжения» (PDF) . Департамент математики Массачусетского технологического института .

[1]

[2]

[3]