Число Уомерсли

Число Уомерсли ( $\alpha$ или ${\text{Wo}}$ ) — безразмерное число в механике биожидкостей и динамике биожидкостей . Это безразмерное выражение пульсирующего потока частоты по отношению к вязким эффектам . Он назван в честь Джона Р. Уомерсли (1907–1958) за его исследования кровотока в артериях . ^[1] Число Уомерсли важно для сохранения динамического сходства при масштабировании эксперимента. Примером этого является масштабирование сосудистой системы для экспериментального изучения. Число Уомерсли также важно при определении толщины пограничного слоя , чтобы увидеть, можно ли игнорировать входные эффекты.

Квадратный корень из этого числа также называют числом Стокса . ${\text{Stk}}={\sqrt {\text{Wo}}}$ , благодаря новаторской работе сэра Джорджа Стокса над второй задачей Стокса .

Вывод

Число Уомерсли, обычно обозначаемое $\alpha$ , определяется соотношением $\alpha ^{2}={\frac {\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,$ где $L$ — соответствующий масштаб длины (например, радиус трубы), $\omega$ – угловая частота колебаний, $\nu$ , $\rho$ , $\mu$ – кинематическая вязкость , плотность и динамическая вязкость жидкости соответственно. ^[2] Число Уомерсли обычно записывается в бесстепенной форме. $\alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.$

В сердечно-сосудистой системе частота пульсации, плотность и динамическая вязкость постоянны, однако характеристическая длина , которой в случае кровотока является диаметр сосуда, между аортой и тонкими капиллярами изменяется на три порядка (ОоМ). Таким образом, число Уомерсли изменяется из-за различий в размерах сосудов в сосудистой системе. Число Уомерсли кровотока человека можно оценить следующим образом: $\alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.$

Ниже приведен список предполагаемых чисел Уомерсли в различных кровеносных сосудах человека:

Судно	Диаметр (м)	$\alpha$
Аорта	0.025	13.83
Артерия	0.004	2.21
Артериола	3 × 10 ⁻⁵	0.0166
капиллярный	8 × 10 ⁻⁶	4.43 × 10 ⁻³
Венула	2 × 10 ⁻⁵	0.011
Вены	0.005	2.77
Полая вена	0.03	16.6

Его также можно записать через безразмерное число Рейнольдса (Re) и число Струхаля (St): $\alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.$

Число Уомерсли возникает при решении линеаризованных уравнений Навье – Стокса для колебательного течения (считающегося ламинарным и несжимаемым) в трубе. Он выражает отношение переходной или колебательной силы инерции к силе сдвига. Когда $\alpha$ мал (1 или меньше), это означает, что частота пульсаций достаточно мала, чтобы параболический профиль скорости успевал развиться в течение каждого цикла, и поток будет почти синфазен по фазе с градиентом давления и будет подчиняться хорошее приближение по закону Пуазейля с использованием мгновенного градиента давления. Когда $\alpha$ велик (10 и более), это означает, что частота пульсаций достаточно велика, что профиль скорости относительно плоский или пробкообразный, а средний поток отстает от градиента давления примерно на 90 градусов. Наряду с числом Рейнольдса число Уомерсли определяет динамическое подобие. ^[3]

Толщина пограничного слоя $\delta$ которое связано с переходным ускорением, обратно пропорционально числу Уомерсли. В этом можно убедиться, если принять число Стокса как квадратный корень из числа Уомерсли. ^[4] $\delta =\left(L/\alpha \right)=\left({\frac {L}{\sqrt {\mathrm {Wo} }}}\right),$ где $L$ – характерная длина.

Механика биожидкостей

В сети распределения потока, которая развивается от большой трубки ко множеству маленьких трубок (например, сети кровеносных сосудов), частота, плотность и динамическая вязкость (обычно) одинаковы по всей сети, но радиусы трубок изменяются. Поэтому число Уомерсли велико в крупных сосудах и мало в мелких. Поскольку диаметр сосуда уменьшается с каждым делением, число Уомерсли вскоре становится совсем небольшим. Числа Уомерсли стремятся к 1 на уровне конечных артерий. В артериолах, капиллярах и венулах числа Уомерсли меньше единицы. В этих областях сила инерции становится менее значимой и течение определяется балансом вязких напряжений и градиентом давления. Это называется микроциркуляцией . ^[4]

Некоторые типичные значения числа Уомерсли в сердечно-сосудистой системе у собаки с частотой сердечных сокращений 2 Гц: ^[4]

Восходящая аорта – 13,2.
Нисходящая аорта – 11,5.
Брюшная аорта – 8
Бедренная артерия – 3,5
Сонная артерия – 4,4
Артериолы – 0,04
Капилляры – 0,005
Венулы – 0,035
Нижняя полая вена – 8,8
Главная легочная артерия – 15

Утверждалось, что универсальные биологические законы масштабирования (степенные зависимости, описывающие изменение таких величин, как скорость метаболизма, продолжительность жизни, длина и т. д., в зависимости от массы тела) являются следствием необходимости минимизации энергии, фрактальной природы сосудистых сети и переход от высокого числа Уомерсли к низкому потоку по мере перехода от больших сосудов к малым. ^[5]

Ссылки

^ Уомерсли, младший (март 1955 г.). «Метод расчета скорости, скорости кровотока и вязкого сопротивления в артериях при известном градиенте давления» . Дж. Физиол . 127 (3): 553–563. дои : 10.1113/jphysicalol.1955.sp005276 . ПМЦ 1365740 . ПМИД 14368548 .
^ Фунг, ЮК (1990). Биомеханика – Движение, поток, стресс и рост . Нью-Йорк (США): Springer-Verlag. п. 569. ИСБН 978-0-387-97124-7 .
^ Николс, WW; О'Рурк, МФ (2005). Кровоток Макдональда в артериях (5-е изд.). Лондон (Англия): Ходдер-Арнольд. ISBN 978-0-340-80941-9 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Фунг, ЮК (1996). Биомеханика кровообращения . Спрингер Верлаг. п. 571. ИСБН 978-0-387-94384-8 .
^ Вест ГБ, Браун Дж.Х., Энквист Б.Дж. (4 апреля 1997 г.). «Общая модель происхождения аллометрических законов масштабирования в биологии» . Наука . 276 (5309): 122–6. дои : 10.1126/science.276.5309.122 . ПМИД 9082983 . S2CID 3140271 .

[1] Уомерсли, младший (март 1955 г.). «Метод расчета скорости, скорости кровотока и вязкого сопротивления в артериях при известном градиенте давления» . Дж. Физиол . 127 (3): 553–563. дои : 10.1113/jphysicalol.1955.sp005276 . ПМЦ 1365740 . ПМИД 14368548 .

[2] Фунг, ЮК (1990). Биомеханика – Движение, поток, стресс и рост . Нью-Йорк (США): Springer-Verlag. п. 569. ИСБН 978-0-387-97124-7 .

[3] Николс, WW; О'Рурк, МФ (2005). Кровоток Макдональда в артериях (5-е изд.). Лондон (Англия): Ходдер-Арнольд. ISBN 978-0-340-80941-9 .

[BiomechanicsCirculation-4] Jump up to: ^а ^б ^с Фунг, ЮК (1996). Биомеханика кровообращения . Спрингер Верлаг. п. 571. ИСБН 978-0-387-94384-8 .

[5] Вест ГБ, Браун Дж.Х., Энквист Б.Дж. (4 апреля 1997 г.). «Общая модель происхождения аллометрических законов масштабирования в биологии» . Наука . 276 (5309): 122–6. дои : 10.1126/science.276.5309.122 . ПМИД 9082983 . S2CID 3140271 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]