Пульсирующий поток

В гидродинамике поток с периодическими изменениями известен как пульсирующий поток или поток Уомерсли . Профили кровотока были впервые получены Джоном Р. Уомерсли (1907–1958) в его работе с кровотоком в артериях . Сердечно -сосудистая система хордовых животных является очень хорошим примером, где обнаруживается пульсирующий поток, но пульсирующий поток также наблюдается в двигателях и гидравлических системах в результате вращающихся механизмов , перекачивающих жидкость.

Уравнение

Показаны четыре профиля пульсирующего потока в прямой трубе. Первый график (синий) показывает градиент давления как функцию косинуса, а остальные графики (красный) показывают безразмерные профили скорости для различных чисел Уомерсли.

Пульсирующий профиль потока в прямой трубе определяется выражением

$u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,,$

где:

в	- продольная скорость потока ,
р	— радиальная координата ,
т	это время ,
а	– безразмерное число Уомерсли ,
ой	– угловая частота первой гармоники ряда Фурье колебательного градиента давления ,
н	являются натуральными числами ,
П'н ​	— величина градиента давления для частоты nω ,
р	жидкости плотность ,
м	– динамическая вязкость ,
Р	трубы радиус ,
Дж 0 (·)	– функция Бесселя первого рода нулевого порядка,
я	– мнимое число , а
Ре{· }	это действительная часть комплексного числа .

Характеристики

Число Уомерсли

Профиль пульсирующего течения меняет свою форму в зависимости от числа Уомерсли.

$\alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{1/2}\,.$

Для $\alpha \lesssim 2$, вязкие силы доминируют в потоке, и импульс считается квазистатическим с параболическим профилем. Для $\alpha \gtrsim 2$, силы инерции преобладают в центральном ядре, тогда как силы вязкости доминируют вблизи пограничного слоя. Таким образом, профиль скорости уплощается, а фаза между волнами давления и скорости смещается в сторону ядра.

Функциональные ограничения

Нижний предел

Функция Бесселя на нижнем пределе становится

$\lim _{z\to \infty }J_{0}(z)=1-{\frac {z^{2}}{4}}\,,$

который сходится к профилю потока Хагена-Пуазейля для установившегося течения для

$\lim _{n\to 0}u(r,t)=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,,$

или квазистатическому импульсу параболического профиля, когда

$\lim _{\alpha \to 0}u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {P'_{n}}{4\mu }}(R^{2}-r^{2})\,\cos(n\omega t)\,.$

В этом случае функция действительная, поскольку волны давления и скорости находятся в фазе.

Верхний предел

Функция Бесселя в своем верхнем пределе становится

$\lim _{z\to \infty }J_{0}(z\,i)={\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi \,z}}}\,,$

который сходится к

$\lim _{z\to \infty }u(r,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=0}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\,i^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]e^{in\omega t}\right\}=-\sum _{n=0}^{N}{\frac {\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-e^{\alpha \,n^{1/2}\left({\frac {r}{R}}-1\right)}\right]\sin(n\,\omega \,t)\,.$

Это очень напоминает слой Стокса на колеблющейся плоской пластине или проникновение переменного магнитного поля на глубину скин-слоя в электрический проводник. На поверхности $u(r=R,t)=0$, но экспоненциальный член становится пренебрежимо малым, как только $\alpha (1-r/R)$ становится большим, профиль скорости становится практически постоянным и не зависит от вязкости. Таким образом, поток просто колеблется во времени как профиль пробки в соответствии с градиентом давления:

$\rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\sum _{n=0}^{N}P'_{n}\,.$

Однако вблизи стенок, в слое толщиной ${\mathcal {O}}(\alpha ^{-1})$, скорость быстро приближается к нулю. Более того, фаза временных колебаний быстро меняется в зависимости от положения в слое. Экспоненциальное затухание более высоких частот происходит быстрее.

Вывод

Для получения аналитического решения этого нестационарного профиля скорости потока принимаются следующие допущения:

• Жидкость однородна , несжимаема и ньютонова ;
• Стенка трубки жесткая и круглая ;
• Движение ламинарное , осесимметричное и параллельное оси трубки;
• Граничными условиями являются: осесимметрия в центре и условие прилипания на стенке;
• Градиент давления — это периодическая функция , которая управляет жидкостью;
• Гравитация не оказывает никакого влияния на жидкость.

Таким образом, уравнение Навье-Стокса и уравнение неразрывности упрощаются до вида

$\rho {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)\,$

и

${\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,,$

соответственно. Градиент давления, вызывающий пульсирующий поток, разлагается в ряд Фурье :

${\frac {\partial p}{\partial x}}(t)=\sum _{n=0}^{N}P'_{n}e^{in\omega t}\,,$

где $i$ это мнимое число , $\omega$ – угловая частота первой гармоники (т.е. $n=1$), и $P'_{n}$ амплитуды гармоники каждой $n$. Обратите внимание, что, $P'_{0}$ (обозначает $n=0$) — это установившийся градиент давления, знак которого противоположен установившейся скорости (т. е. отрицательный градиент давления приводит к положительному потоку). Аналогично профиль скорости также разлагается в ряд Фурье по фазе с градиентом давления, поскольку жидкость несжимаема:

$u(r,t)=\sum _{n=0}^{N}U_{n}e^{in\omega t}\,,$

где $U_{n}$ – амплитуды каждой гармоники периодической функции, а также установившаяся составляющая ( $n=0$) — это просто поток Пуазейля

$U_{0}=-{\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)\,.$

Таким образом, уравнение Навье-Стокса для каждой гармоники имеет вид

$i\rho n\omega U_{n}=-P'_{n}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}U_{n}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U_{n}}{\partial r}}\right)\,.$

При выполнении граничных условий общее решение этого обыкновенного дифференциального уравнения для колебательной части ( $n\geq 1$) является

$U_{n}(r)=A_{n}\,J_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+B_{n}\,Y_{0}\left(\alpha \,{\frac {r}{R}}n^{1/2}\,i^{3/2}\right)+{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\,,$

где $J_{0}(\cdot )$ – функция Бесселя первого рода нулевого порядка, $Y_{0}(\cdot )$ – функция Бесселя второго рода нулевого порядка, $A_{n}$ и $B_{n}$ являются произвольными константами, а $\alpha =R\surd (\omega \rho /\mu )$ — безразмерное число Уомерсли . Осесимметричное граничное условие ( $\partial U_{n}/\partial r|_{r=0}=0$) применяется, чтобы показать, что $B_{n}=0$ чтобы производная приведенного выше уравнения была действительной, поскольку производные $J_{0}'$ и $Y_{0}'$ приближаться к бесконечности. Далее, граничное условие нескользкости стены ( $U_{n}(R)=0$) дает $A_{n}=-{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}{\frac {1}{J_{0}\left(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\right)}}$. Следовательно, амплитуды профиля скорости гармоники $n$ становится

$U_{n}(r)={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2})}}\right]={\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\,,$

где $\Lambda _{n}=\alpha \,n^{1/2}\,i^{3/2}$ используется для упрощения. Сам профиль скорости получается путем взятия действительной части комплексной функции, полученной в результате суммирования всех гармоник импульса:

$u(r,t)={\frac {P'_{0}}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.$

Скорость потока

Скорость потока получается путем интегрирования поля скорости по поперечному сечению. С,

${\frac {d}{dx}}\left[x^{p}J_{p}(a\,x)\right]=a\,x^{p}J_{p-1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dx}}\left[x\,J_{1}(a\,x)\right]=a\,xJ_{0}(a\,x)\,,$

затем

$Q(t)=\iint u(r,t)\,dA=\mathrm {Re} \left\{\pi \,R^{2}\,\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[1-{\frac {2}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}\,.$

Профиль скорости

Масштабированные профили скорости пульсирующего потока сравниваются по числу Уомерсли.

Для сравнения формы профиля скорости можно предположить, что

$u(r,t)=f(r)\,{\frac {Q(t)}{A}}\,,$

где

$f(r)={\frac {u(r,t)}{\frac {Q(t)}{A}}}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}\left[{\frac {\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n}\,{\frac {r}{R}})}{\Lambda _{n}\,J_{0}(\Lambda _{n})-2\,J_{1}(\Lambda _{n})}}\right]\right\}$

– это функция формы. Важно отметить, что эта формулировка не учитывает инерционные эффекты. Профиль скорости аппроксимирует параболический профиль или профиль пробки для низких или высоких чисел Уомерсли соответственно.

Напряжение сдвига стены

Для прямых труб напряжение сдвига стенки составляет

$\tau _{w}=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}\,.$

Производная функции Бесселя равна

${\frac {\partial }{\partial x}}\left[x^{-p}J_{-p}(a\,x)\right]=a\,x^{-p}J_{p+1}(a\,x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial }{\partial x}}\left[J_{0}(a\,x)\right]=-a\,J_{1}(a\,x)\,.$

Следовательно,

$\tau _{w}=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}P'_{n}{\frac {R}{\Lambda _{n}}}{\frac {J_{1}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}e^{in\omega t}\right\}\,.$

Скорость центральной линии

Если градиент давления $P'_{n}$ не измеряется, его все равно можно получить, измеряя скорость на центральной линии. Измеренная скорость имеет только действительную часть полного выражения в виде

${\tilde {u}}(t)=\mathrm {Re} (u(0,t))\equiv \sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\,\cos(n\,\omega \,t)\,.$

отмечая, что $J_{0}(0)=1$, полное физическое выражение становится

$u(0,t)=\mathrm {Re} \left\{\sum _{n=1}^{N}{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]e^{in\omega t}\right\}$

на центральной линии. Измеренная скорость сравнивается с полным выражением путем применения некоторых свойств комплексного числа. Для любого произведения комплексных чисел ( $C=AB$), амплитуда и фаза имеют соотношения $|C|=|A||B|$ и $\phi _{C}=\phi _{A}+\phi _{B}$, соответственно. Следовательно,

${\tilde {U}}_{n}=\left|{\frac {i\,P'_{n}}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})-1}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\quad \Rightarrow \quad P'_{n}={\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|$

и

${\tilde {\phi }}=0=\phi _{P'_{n}}+\phi _{U_{n}}\quad \Rightarrow \quad \phi _{P'_{n}}=\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\,,$

которые в конечном итоге дают

${\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\sum _{n=1}^{N}{\tilde {U}}_{n}\left|i\,\rho \,n\,\omega \left[{\frac {J_{0}(\Lambda _{n})}{1-J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right|\,\cos \left\{n\,\omega \,t+\operatorname {phase} \left({\frac {i}{\rho \,n\,\omega }}\left[{\frac {1-J_{0}(\Lambda _{n})}{J_{0}(\Lambda _{n})}}\right]\right)\right\}\,.$

См. также

• Сердечно-сосудистая система
• Гемодинамика
• Число Уомерсли
• Гидравлический молот