Номер декана

Число Дина ( De ) — безразмерная группа в механике жидкости , которая встречается при изучении течения в изогнутых трубах и каналах . Он назван в честь британского учёного У. Р. Дина , который первым предложил теоретическое решение проблемы жидкости.движение по изогнутым трубам для ламинарного течения с использованием процедуры возмущения от течения Пуазейля в прямой трубе к течению в трубе с очень малой кривизной.

Физический контекст

Схема пары вихрей Дина, образующихся в изогнутых трубах.

Если жидкость движется по прямой трубе, которая в какой-то точке становится искривленной, то поток, попадающий на изогнутый участок, развивает центробежную силу в асимметричной геометрии. Такая асимметричность влияет на параболический профиль скорости и вызывает смещение места максимальной скорости по сравнению с прямой трубой. Поэтому максимальная скорость смещается от центральной линии к вогнутой внешней стенке и образует асимметричный профиль скорости. При увеличении давления из-за кривизны будет возникать неблагоприятный градиент давления, поэтому скорость будет уменьшаться вблизи выпуклой стенки, и наоборот - по направлению к вогнутой внешней стенке трубы. Это приводит к вторичному движению, наложенному на основной поток, при этом жидкость в центре трубы выносится к внешней стороне изгиба, а жидкость возле стенки трубы возвращается внутрь изгиба. Ожидается, что это вторичное движение будет выглядеть как пара ячеек, вращающихся в противоположных направлениях, которые называются вихрями Дина .

Определение

Число Дина обычно обозначается De (или Dn ). Для потока в трубе или трубке он определяется как:

${\mathit {De}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,({\text{inertial forces}})({\text{centrifugal forces}})}}{\text{viscous forces}}}={\frac {\sqrt {{\frac {1}{2}}\,(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{D}})(\rho \,D^{2}\,R_{c}\,{\frac {v^{2}}{R_{c}}})}}{\mu {\frac {v}{D}}D\,R_{c}}}={\frac {\rho \,D\,v}{\mu }}{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}={\textit {Re}}\,{\sqrt {\frac {D}{2\,R_{c}}}}$

где

• $\rho$ плотность жидкости
• $\mu$ динамическая вязкость
• $v$ это масштаб осевой скорости
• $D$ — диаметр (для некруглой геометрии используется эквивалентный диаметр; см. число Рейнольдса )
• $R_{c}$ – радиус кривизны траектории канала.
• ${\textit {Re}}$ это число Рейнольдса .

Таким образом, число Дина является произведением числа Рейнольдса (основанного на осевом потоке). $v$ через трубу диаметром $D$) и квадратный корень из коэффициента кривизны.

Турбулентный переход

Поток полностью однонаправленный при низких числах Дина (De < 40–60). Когда число Дина увеличивается с 40–60 до 64–75, в поперечном сечении можно наблюдать некоторые волнистые возмущения, что свидетельствует о некотором вторичном течении. При более высоких числах Дина (De > 64~75) пара вихрей Дина становится стабильной, что указывает на первичную динамическую неустойчивость. Вторичная неустойчивость появляется при De > 75~200, когда вихри представляют собой волнистость, закручивание и, в конечном итоге, слияние и расщепление пар. Полностью турбулентное течение формируется при De > 400. Переход от ламинарного течения к турбулентному также рассматривался в ряде исследований, хотя универсального решения не существует, поскольку параметр сильно зависит от коэффициента кривизны. Несколько неожиданно ламинарный поток может поддерживаться при больших числах Рейнольдса (даже в два раза для самых высоких изученных коэффициентов кривизны), чем для прямых труб, хотя известно, что кривизна вызывает нестабильность.

Уравнения Дина

Число Дина появляется в так называемых уравнениях Дина . Это приближение к полным уравнениям Навье – Стокса для стационарного аксиально-однородного течения ньютоновской жидкости в тороидальной трубе, полученное путем сохранения только эффектов кривизны главного порядка (т.е. уравнений главного порядка для $a/r\ll 1$).

Используем ортогональные координаты $(x,y,z)$ с соответствующими единичными векторами $({\hat {\boldsymbol {x}}},{\hat {\boldsymbol {y}}},{\hat {\boldsymbol {z}}})$ в каждой точке совмещено с осевой линией трубы. Осевое направление ${\hat {\boldsymbol {z}}}$, с ${\hat {\boldsymbol {x}}}$ является нормалью в плоскости центральной линии, и ${\hat {\boldsymbol {y}}}$ бинормальное ​ . Для осевого потока, вызванного градиентом давления $G$, осевая скорость $u_{z}$ масштабируется с $U=Ga^{2}/\mu$. Поперечные скорости $u_{x},u_{y}$ масштабируются с $(a/R)^{1/2}U$, и поперечное давление с $\rho aU^{2}/L$. Длина масштабируется с учетом радиуса трубы. $a$.

В терминах этих безразмерных переменных и координат уравнения Дина тогда имеют вид

$De\left({\frac {\mathrm {D} u_{x}}{\mathrm {D} t}}-u_{z}^{2}\right)=-De{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nabla ^{2}u_{x}$

$De{\frac {\mathrm {D} u_{y}}{\mathrm {D} t}}=-De{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nabla ^{2}u_{y}$

$De{\frac {\mathrm {D} u_{z}}{\mathrm {D} t}}=1+\nabla ^{2}u_{z}$

${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=0$

где

${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}=u_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}$

является конвективной производной .

Число Дина De — единственный параметр, оставшийся в системе, и он отражает эффекты кривизны ведущего порядка . Приближения более высокого порядка будут включать дополнительные параметры.

Для слабых эффектов кривизны (малого De ) уравнения Дина можно решить как разложение в ряд по De . Первой поправкой к аксиальному течению Пуазейля ведущего порядка является пара вихрей в поперечном сечении, несущих поток изнутри наружу изгиба через центр и обратно по краям. Это решение устойчиво вплоть до критического числа Дина. $De_{c}\approx 956$. Для больших De существует несколько решений, многие из которых нестабильны.

Дальнейшее чтение

• Бергер, ЮАР; Талбот, Л.; Яо, Л.С. (1983). «Течение в изогнутых трубах». Анну. Преподобный Fluid Mech . 15 : 461–512. Бибкод : 1983AnRFM..15..461B . дои : 10.1146/annurev.fl.15.010183.002333 .