число Фурье

При изучении теплопроводности число Фурье — это отношение времени, $t$ , к характерному временному масштабу диффузии тепла, $t_{d}$ . Эта безразмерная группа названа в честь Ж. Б. Фурье , сформулировавшего современное понимание теплопроводности. ^[1] Временной масштаб диффузии характеризует время, необходимое для распространения тепла на расстояние, $L$ . среды с температуропроводностью Для $\alpha$ , этот временной масштаб $t_{d}=L^{2}/\alpha$ , так что число Фурье равно $t/t_{d}=\alpha t/L^{2}$ . Число Фурье часто обозначается как $\mathrm {Fo}$ или $\mathrm {Fo} _{L}$ . ^[2]

Число Фурье можно также использовать при изучении диффузии масс , при которой температуропроводность заменяется коэффициентом диффузии масс .

Число Фурье используется при анализе явлений переноса, зависящих от времени , обычно в сочетании с числом Био, если конвекция присутствует . Число Фурье естественным образом возникает при обезразмеривании уравнения теплопроводности .

Определение

Общее определение числа Фурье $Fo$ следующее: ^[3]

\mathrm {Fo} ={\frac {\text{time}}{\text{time scale for diffusion}}}={\frac {t}{t_{d}}}

Для диффузии тепла с характерным масштабом длины $L$ в среде температуропроводности $\alpha$ , масштаб времени диффузии $t_{d}=L^{2}/\alpha$ , так что

\mathrm {Fo} _{L}={\frac {\alpha t}{L^{2}}}

где:

$\alpha$ – температуропроводность ( m ²/ с )
$t$ это время (а)
$L$ - характерная длина, через которую происходит проводимость (м)

Интерпретация числа Фурье

Рассмотрим переходную теплопроводность в плите толщиной $L$ изначально имеет однородную температуру, $T_{0}$ . Одна сторона плиты нагревается до более высокой температуры, $T_{h}>T_{0}$ , во время $t=0$ . Другая сторона адиабатическая. Время, необходимое для того, чтобы на другой стороне объекта произошло значительное изменение температуры, называется временем диффузии. $t_{d}$ .

Когда $\mathrm {Fo} \ll 1$ , прошло недостаточно времени, чтобы другая сторона изменила температуру. В этом случае существенное изменение температуры происходит только вблизи нагретой стороны, а большая часть сляба остается при температуре $T_{0}$ .

Когда $\mathrm {Fo} \cong 1$ , значительное изменение температуры происходит по всей толщине $L$ . Ни одна плита не остается при температуре $T_{0}$ .

Когда $\mathrm {Fo} \gg 1$ , прошло достаточно времени, чтобы плита достигла устойчивого состояния. Вся плита приближается к температуре $T_{h}$ .

Вывод и использование

Число Фурье можно получить путем обезразмеривания уравнения диффузии, зависящего от времени . В качестве примера рассмотрим стержень длиной $L$ который нагревается от начальной температуры $T_{0}$ путем наложения источника тепла температуры $T_{L}>T_{0}$ во время $t=0$ и позиция $x=L$ (с $x$ вдоль оси стержня). Уравнение теплопроводности в одном пространственном измерении, $x$ , можно применить

{\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}

где $T$ это температура для $0<x<L$ и $t>0$ . Дифференциальное уравнение можно преобразовать в безразмерную форму. Безразмерную температуру можно определить как $\Theta =(T-T_{L})/(T_{0}-T_{L})$ , и уравнение можно разделить на $\alpha /L^{2}$ :

{\frac {\partial \Theta }{\partial (\alpha t/L^{2})}}={\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial (x/L)^{2}}}

Полученная безразмерная переменная времени представляет собой число Фурье, $\mathrm {Fo} _{L}=\alpha t/L^{2}$ . Характерный масштаб времени диффузии $t_{d}=L^{2}/\alpha$ , происходит непосредственно из этого масштабирования уравнения теплопроводности.

Число Фурье часто используется как безразмерное время при изучении переходной теплопроводности в твердых телах. Второй параметр, число Био, возникает при обезразмеривании, когда конвективные граничные условия . к уравнению теплопроводности применяются ^[2] Вместе число Фурье и число Био определяют температурную реакцию твердого тела, подвергающегося конвективному нагреву или охлаждению.

Заявление на массовый перевод

Аналогичное число Фурье можно получить путем обезразмеривания второго закона диффузии Фика . Результатом является число Фурье для массового переноса: $\mathrm {Fo} _{m}$ определяется как: ^[4]

\mathrm {Fo} _{m}={\frac {Dt}{L^{2}}}

где:

$\mathrm {Fo} _{m}$ это число Фурье для массового транспорта
$D$ – коэффициент диффузии массы (м ²/с)
$t$ это время (а)
$L$ представляет собой интересующий масштаб длины (м)

Число Фурье массопереноса можно применять для изучения некоторых проблем диффузии массы, зависящих от времени.

См. также

Ссылки

^ Фурье, Жан Батист Жозеф (1822). Аналитическая теория теплоты . Париж: Фирмен Дидо, Отец и сын.
^ Jump up to: ^а ^б Линхард, Джон Х. IV; Линхард, Джон Х., В. (2019). «Глава 5: Переходная и многомерная теплопроводность». Учебник по теплопередаче (5-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 9780486837352 . Проверено 2 января 2023 г. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Гликсман, Леон Р.; Линхард, Джон Х. (2016). «Раздел 3.2.4». Моделирование и аппроксимация теплопередачи . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 67. ИСБН 978-1-107-01217-2 .
^ Острогорский, Алекс Г.; Гликсман, Мартин Э. (2015). «Глава 25: Сегрегация и распределение компонентов». В Рудольфе, Питере (ред.). Справочник по выращиванию кристаллов (второе изд.). Эльзевир. п. 999. ИСБН 9780444633033 .

[1] Фурье, Жан Батист Жозеф (1822). Аналитическая теория теплоты . Париж: Фирмен Дидо, Отец и сын.

[lienhard-2] Jump up to: ^а ^б Линхард, Джон Х. IV; Линхард, Джон Х., В. (2019). «Глава 5: Переходная и многомерная теплопроводность». Учебник по теплопередаче (5-е изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 9780486837352 . Проверено 2 января 2023 г. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[3] Гликсман, Леон Р.; Линхард, Джон Х. (2016). «Раздел 3.2.4». Моделирование и аппроксимация теплопередачи . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 67. ИСБН 978-1-107-01217-2 .

[4] Острогорский, Алекс Г.; Гликсман, Мартин Э. (2015). «Глава 25: Сегрегация и распределение компонентов». В Рудольфе, Питере (ред.). Справочник по выращиванию кристаллов (второе изд.). Эльзевир. п. 999. ИСБН 9780444633033 .

[1]

[2]

[3]

[4]