Поток Джеффри – Гамеля

В гидродинамике поток Джеффри-Гамеля представляет собой поток, создаваемый сходящимся или расширяющимся каналом с источником или стоком объема жидкости в точке пересечения двух плоских стенок. Он назван в честь Джорджа Баркера Джеффри (1915). и Георг Гамель (1917), но впоследствии его изучали многие крупные ученые, такие как фон Карман и Леви-Чивита . Уолтер Толлмиен , Ф. Нётер , ВР Дин , Розенхед , Ландау , ГК Бэтчелор и т. д. Полный набор решений был описан Эдвардом Френкелем в 1962 году.

Описание потока

Рассмотрим две неподвижные плоские стенки с постоянным объемным расходом. $Q$ впрыскивается/всасывается в точке пересечения плоских стенок, и пусть угол, образованный двумя стенками, равен $2\alpha$. Возьмите цилиндрическую координату $(r,\theta ,z)$ система с $r=0$ представляющий точку пересечения и $\theta =0$ центральная линия и $(u,v,w)$ – соответствующие компоненты скорости. Результирующее течение является двумерным, если пластины имеют бесконечную длину в осевом направлении. $z$ направлении, или пластины длиннее, но конечны, если пренебречь краевыми эффектами и по той же причине поток можно считать полностью радиальным, т. е. $u=u(r,\theta ),v=0,w=0$.

Тогда уравнение неразрывности и уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости сводятся к

${\begin{aligned}{\frac {\partial (ru)}{\partial r}}&=0,\\[6pt]u{\frac {\partial u}{\partial r}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}+\nu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {u}{r^{2}}}\right]\\[6pt]0&=-{\frac {1}{\rho r}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {2\nu }{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}\end{aligned}}$

Граничными условиями являются условия прилипания на обеих стенках, а третье условие вытекает из того факта, что объемный поток, впрыскиваемый/всасываемый в точке пересечения, постоянен по всей поверхности любого радиуса.

$u(\pm \alpha )=0,\quad Q=\int _{-\alpha }^{\alpha }ur\,d\theta$

Формулировка

Первое уравнение говорит, что $ru$ это всего лишь функция $\theta$, функция определяется как

$F(\theta )={\frac {ru}{\nu }}.$

Разные авторы определяют функцию по-разному, например, Ландау определяет функцию с множителем $6$. Но, следуя за Уиземом , Розенхед тот $\theta$ уравнение количества движения становится

${\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}={\frac {2\nu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {dF}{d\theta }}$

Теперь позволяю

${\frac {p-p_{\infty }}{\rho }}={\frac {\nu ^{2}}{r^{2}}}P(\theta ),$

тот $r$ и $\theta$ уравнения импульса сводятся к

$P=-{\frac {1}{2}}(F^{2}+F'')$

$P'=2F',\quad \Rightarrow \quad P=2F+C$

и подстановка этого в предыдущее уравнение (чтобы устранить давление) приводит к

$F''+F^{2}+4F+2C=0$

Умножение на $F'$ и интегрируя один раз,

${\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}F^{3}+2F^{2}+2CF=D,$

${\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F^{3}+6F^{2}+6CF-3D)=0$

где $C,D$ — константы, определяемые из граничных условий. Приведенное выше уравнение можно удобно переписать с тремя другими константами. $a,b,c$ как корни кубического многочлена, причем только две константы являются произвольными, третья константа всегда получается из двух других, поскольку сумма корней равна $a+b+c=-6$.

${\frac {1}{2}}F'^{2}+{\frac {1}{3}}(F-a)(F-b)(F-c)=0,$

${\frac {1}{2}}F'^{2}-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)=0.$

Граничные условия сводятся к

$F(\pm \alpha )=0,\quad {\frac {Q}{\nu }}=\int _{-\alpha }^{\alpha }F\,d\theta$

где $Re=Q/\nu$ — соответствующее число Рейнольдса . Решение можно выразить через эллиптические функции . Для сходящегося потока $Q<0$, решение существует для всех $Re$, но для расходящегося потока $Q>0$, решение существует только для определенного диапазона $Re$.

Динамическая интерпретация

Уравнение принимает ту же форму, что и для незатухающего нелинейного осциллятора (с кубическим потенциалом), можно сделать вид, что $\theta$ это время , $F$ это перемещение и $F'$ — скорость частицы с единичной массой, тогда уравнение представляет собой уравнение энергии( $K.E.+P.E.=0$, где $K.E.={\frac {1}{2}}F'^{2}$ и $P.E.=V(F)$ ) с нулевой полной энергией, то легко видеть, что потенциальная энергия равна

$V(F)=-{\frac {1}{3}}(a-F)(F-b)(F-c)$

где $V\leq 0$ в движении. Поскольку частица начинается с $F=0$ для $\theta =-\alpha$ и заканчивается в $F=0$ для $\theta =\alpha$, необходимо рассмотреть два случая.

• Первый случай $b,c$ являются комплексно-сопряженными и $a>0$. Частица начинается с $F=0$ с конечной положительной скоростью и достигает $F=a$ где его скорость $F'=0$ и ускорение $F''=-dV/dF<0$ и возвращается в $F=0$ в последний раз . Движение частицы $0<F<a$ представляет собой чистое движение оттока, потому что $F>0$ а также оно симметрично относительно $\theta =0$.
• Второй случай $c<b<0<a$, все константы действительны. Движение от $F=0$ к $F=a$ к $F=0$ представляет собой чистый симметричный истечение, как и в предыдущем случае. И движение $F=0$ к $F=b$ к $F=0$ с $F<0$ на все времена( $-\alpha \leq \theta \leq \alpha$) представляет собой чистый симметричный приток. Но также частица может колебаться между $b\leq F\leq a$, представляющие как области притока, так и оттока, и поток больше не должен быть симметричным относительно $\theta =0$.

Богатую структуру этой динамической интерпретации можно найти у Розенхеда (1940).

Чистый отток

Для чистого оттока, поскольку $F=a$ в $\theta =0$, интегрирование основного уравнения дает

$\theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{F}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}$

и граничные условия становятся

$\alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\alpha }{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.$

Уравнения можно упростить с помощью стандартных преобразований, приведенных, например, в Jeffreys .

• Первый случай $b,c$ являются комплексно-сопряженными и $a>0$ приводит к

$F(\theta )=a-{\frac {3M^{2}}{2}}{\frac {1-\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}{1+\operatorname {cn} (M\theta ,\kappa )}}$

$M^{2}={\frac {2}{3}}{\sqrt {(a-b)(a-c)}},\quad \kappa ^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {a+2}{2M^{2}}}$

где $\operatorname {sn} ,\operatorname {cn}$ — эллиптические функции Якоби .

• Второй случай $c<b<0<a$ приводит к

$F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(m\theta ,k)$

$m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}.$

Ограничивающая форма

Предельное условие получается, если отметить, что чистый истечение невозможно, когда $F'(\pm \alpha )=0$, что подразумевает $b=0$ из определяющего уравнения. Таким образом, за пределами этих критических условий решения не существует. Критический угол $\alpha _{c}$ дается

${\begin{aligned}\alpha _{c}&={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{0}^{a}{\frac {dF}{\sqrt {F(a-F)(F+a+6))}}},\\&={\sqrt {\frac {3}{2a}}}\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)\{1+(1+6/a)t\}}}},\\&={\frac {K(k^{2})}{m^{2}}}\end{aligned}}$

где

$m^{2}={\frac {3+a}{3}},\quad k^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{3+a}}\right)$

где $K(k^{2})$ — полный эллиптический интеграл первого рода . Для больших значений $a$, критический угол становится $\alpha _{c}={\sqrt {\frac {3}{a}}}K\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {3.211}{\sqrt {a}}}$.

Соответствующее критическое число Рейнольдса или объемный поток определяется выражением

${\begin{aligned}Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}&=2\int _{0}^{\alpha _{c}}(a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}m\theta )\,d\theta ,\\&={\frac {12k^{2}}{\sqrt {1-2k^{2}}}}\int _{0}^{K}\operatorname {cn} ^{2}tdt,\\&={\frac {12}{\sqrt {1-2k^{2}}}}[E(k^{2})-(1-k^{2})K(k^{2})]\end{aligned}}$

где $E(k^{2})$ – полный эллиптический интеграл второго рода . Для больших значений $a,\left(\ k^{2}\sim {\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2a}}\right)$, критическое число Рейнольдса или объемный поток становится $Re_{c}={\frac {Q_{c}}{\nu }}=12{\sqrt {\frac {a}{3}}}\left[E\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}K\left({\frac {1}{2}}\right)\right]=2.934{\sqrt {a}}$.

Чистый приток

Для чистого притока неявное решение имеет вид

$\theta ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{F}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}$

и граничные условия становятся

$\alpha ={\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{b}^{0}{\frac {dF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}},\quad Re=2{\sqrt {\frac {3}{2}}}\int _{\alpha }^{0}{\frac {FdF}{\sqrt {(a-F)(F-b)(F-c))}}}.$

Чистый приток возможен только тогда, когда все константы действительны. $c<b<0<a$ и решение дается выражением

$F(\theta )=a-6k^{2}m^{2}\operatorname {sn} ^{2}(K-m\theta ,k)=b+6k^{2}m^{2}\operatorname {cn} ^{2}(K-m\theta ,k)$

$m^{2}={\frac {1}{6}}(a-c),\quad k^{2}={\frac {a-b}{a-c}}$

где $K(k^{2})$ — полный эллиптический интеграл первого рода .

Ограничивающая форма

По мере увеличения числа Рейнольдса ( $-b$ становится больше), поток стремится стать однородным (приближаясь таким образом к потенциальному решению), за исключением пограничных слоев вблизи стенок. С $m$ большой и $\alpha$ задано, то из решения ясно, что $K$ должно быть большим, поэтому $k\sim 1$. Но когда $k\approx 1$, $\operatorname {sn} t\approx \tanh t,\ c\approx b,\ a\approx -2b$, решение становится

$F(\theta )=b\left\{3\tanh ^{2}\left[{\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}(\alpha -\theta )+\tanh ^{-1}{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right]-2\right\}.$

Ясно, что $F\approx b$ везде, кроме пограничного слоя толщиной $O\left({\sqrt {-{\frac {b}{2}}}}\right)$. Объемный поток $Q/\nu \approx 2\alpha b$ так что $|Re|=O(|b|)$ а пограничные слои имеют классическую толщину $O\left(|Re|^{1/2}\right)$.