Вектор ягненка

В гидродинамике вектор Лэмба представляет собой произведение вектора завихренности векторное и вектора скорости поля потока, названного в честь физика Горация Лэмба . Вектор Лэмба определяется как

$\mathbf {l} =\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}$

где $\mathbf {u}$ – поле скоростей и ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u}$ – поле завихренности потока. Он появляется в уравнениях Навье – Стокса через член производной материала , в частности, через член конвективного ускорения:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2}-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2}-\mathbf {l}$

В безвихревых потоках вектор Лэмба равен нулю, как и в потоках Бельтрами . Понятие вектора Лэмба широко используется в турбулентных потоках. Вектор Лэмба аналогичен электрическому полю , когда уравнение Навье – Стокса сравнивается с уравнениями Максвелла .

Уравнение Громеки – Лэмба

Уравнения Эйлера, записанные в терминах вектора Лэмба, называются уравнением Громеки – Лэмба, названным в честь Ипполита С. Громеки и Горация Лэмба. Это дано

$\nabla H=\mathbf {l} .$

Свойства вектора Лэмба

Дивергенция вектора Лэмба может быть получена из векторных тождеств:

$\nabla \cdot \mathbf {l} =\mathbf {u} \cdot \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}-{\boldsymbol {\omega }}\cdot H.$

В то же время дивергенцию можно получить и из уравнения Навье–Стокса, взяв его дивергенцию. В частности, для несжимаемого течения, где $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$, с массовыми силами, определяемыми выражением $-\nabla U$, дивергенция вектора Лэмба сводится к

$\nabla \cdot \mathbf {l} =-\nabla ^{2}H,$

где

$H={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {u} ^{2}+U.$

В регионах, где $\nabla \cdot \mathbf {l} \geq 0$, существует тенденция к $\Phi$ накапливаться там и наоборот.