Поток Бельтрами

В гидродинамике течения Бельтрами — это течения, в которых вектор завихренности ${\boldsymbol {\omega }}$ и вектор скорости $\mathbf {v}$ параллельны друг другу. Другими словами, поток Бельтрами — это поток, в котором вектор Лэмба равен нулю. Оно названо в честь итальянского математика Эудженио Бельтрами в связи с выводом им векторного поля Бельтрами , а первоначальные разработки в области гидродинамики были сделаны русским учёным Ипполитом С. Громекой в ​​1881 году.

Описание

Поскольку вектор завихренности ${\boldsymbol {\omega }}$ и вектор скорости $\mathbf {v}$ параллельны друг другу, можно написать

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} =0,\quad {\boldsymbol {\omega }}=\alpha (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} ,$

где $\alpha (\mathbf {x} ,t)$ — некоторая скалярная функция. Одним из непосредственных последствий течения Бельтрами является то, что он никогда не может быть плоским или осесимметричным потоком, поскольку в этих потоках завихренность всегда перпендикулярна полю скорости. Другое важное следствие можно понять, рассмотрев уравнение завихренности несжимаемой жидкости.

${\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f,$

где $\mathbf {f}$ - это внешние массовые силы, такие как гравитационное поле, электрическое поле и т. д., и $\nu$ – кинематическая вязкость. С ${\boldsymbol {\omega }}$ и $\mathbf {v}$ параллельны, нелинейные члены в приведенном выше уравнении тождественно равны нулю. $(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =0$. Таким образом, потоки Бельтрами удовлетворяют линейному уравнению

${\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f.$

Когда $\mathbf {f} =0$компоненты завихренности удовлетворяют простому уравнению теплопроводности .

Тркальский поток

Виктор Тркаль в 1919 году считал течения Бельтрами без каких-либо внешних сил. для скалярной функции $\alpha (\mathbf {x} ,t)=c={\text{constant}}$, то есть,

${\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }},\quad {\boldsymbol {\omega }}=c\mathbf {v} .$

Введем следующее разделение переменных

$\mathbf {v} =e^{-c^{2}\nu t}\mathbf {g} (\mathbf {x} ),$

тогда уравнение, которому удовлетворяет $\mathbf {g} (\mathbf {x} )$ становится

$\nabla \times \mathbf {g} =c\mathbf {g} .$

Этому уравнению удовлетворяют функции Чандрасекара – Кендалла .

Обобщенный поток Бельтрами

Обобщенный поток Бельтрами удовлетворяет условию

$\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0$

которое является менее ограничительным, чем условие Бельтрами $\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=0$. В отличие от нормального течения Бельтрами, обобщенное течение Бельтрами можно изучать для плоских и осесимметричных течений.

Стационарные плоские течения

Для устойчивого обобщенного потока Бельтрами имеем $\nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0,\ \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0$ и поскольку он также плоский, мы имеем $\mathbf {v} =(u,v,0),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,0,\zeta )$. Представляем функцию потока

$u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\psi =-\zeta .$

Интеграция $\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0$ дает $\zeta =-f(\psi )$. Итак, полное решение возможно, если оно удовлетворяет всем следующим трем уравнениям:

$\nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =-f(\psi ).$

Рассмотрен частный случай, когда поле течения имеет равномерную завихренность. $f(\psi )=C={\text{constant}}$. Ван (1991) дал обобщенное решение как

$\zeta =\psi +A(x,y),\quad A(x,y)=ax+by$

предполагая линейную функцию для $A(x,y)$. Подставив это в уравнение завихренности и введя разделение переменных $\psi (x,y)=X(x)Y(y)$ с разделяющей константой $\lambda ^{2}$ приводит к

${\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+{\frac {b}{\nu }}{\frac {dX}{dx}}-\lambda ^{2}X=0,\quad {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}-{\frac {a}{\nu }}{\frac {dY}{dy}}+\lambda ^{2}Y=0.$

Решение, полученное при различных вариантах выбора $a,\ b,\ \lambda$ можно интерпретировать по-разному, например, $a=0,\ b=-U,\lambda ^{2}>0$ представляет собой поток после равномерной сетки, $a=-U,\ b=0,\lambda ^{2}=0$ представляет собой поток, создаваемый растягивающейся пластиной, $a=-U,\ b=U,\lambda ^{2}=0$ представляет поток в угол, $a=-V,\ b=-U,\lambda ^{2}=0$ представляет собой асимптотический профиль всасывания и т. д.

Нестационарные плоские течения

Здесь,

$\nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=\nabla ^{2}\zeta ,\quad \zeta =-f(\psi ,t)$.

Затухающие вихри Тейлора

Г.И. Тейлор дал решение для особого случая, когда $\zeta =K\psi$, где $K$ является константой в 1923 году. Он показал, что разделение $\psi =e^{-\nu \lambda t}\Psi (x,y)$ удовлетворяет уравнению, а также

$\nabla ^{2}\Psi =-\lambda \Psi .$

Тейлор также рассмотрел пример затухающей системы вихрей, вращающихся попеременно в противоположных направлениях и расположенных в виде прямоугольной решетки.

$\Psi =A\cos {\frac {\pi x}{d}}\cos {\frac {\pi y}{d}}$

которое удовлетворяет приведенному выше уравнению с $\lambda =2\pi ^{2}/d^{2}$, где $d$ — длина квадрата, образованного вихрем. Следовательно, эта система вихрей затухает по мере

$\psi =A\cos \left({\frac {\pi x}{d}}\right)\cos \left({\frac {\pi y}{d}}\right)e^{-{\frac {2\pi ^{2}}{d^{2}}}\nu t}.$

О. Уолш обобщил вихревое решение Тейлора в 1992 году. Решение Уолша имеет вид $\mathbf {v} =e^{-\nu \lambda t}\mathbf {u} (x,y)$, где $\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\lambda \mathbf {u}$ и $\nabla \cdot \mathbf {u} =0.$

Стационарные осесимметричные течения

Здесь у нас есть $\mathbf {v} =\left(u_{r},0,u_{z}\right),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,\zeta ,0)$. Интеграция $\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0$ дает $\zeta =rf(\psi )$ и три уравнения

${\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =rf(\psi )$

Первое уравнение — это уравнение Хикса . Маррис и Асуани (1977) показал, что единственным возможным решением является $f(\psi )=C={\text{constant}}$ а остальные уравнения сводятся к

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+Cr^{2}=0$

Простой набор решений приведенного выше уравнения:

$\psi (r,z)=c_{1}r^{4}+c_{2}r^{2}z^{2}+c_{3}r^{2}+c_{4}r^{2}z+c_{5}\left(r^{6}-12r^{4}z^{2}+8r^{2}z^{4}\right),\quad C=-\left(8c_{1}+2c_{2}\right)$

$c_{1},c_{4}\neq 0,\ c_{2},c_{3},c_{5}=0$ представляет собой поток за счет двух встречно вращающихся потоков по параболической поверхности, $c_{2}\neq 0,c_{1},c_{3},c_{4},c_{5}=0$ представляет собой вращательное течение на плоской стенке, $c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0,\ c_{4},c_{5}=0$ представляет собой эллипсоидальный вихрь потока (частный случай – сферический вихрь Хилла), $c_{1},c_{3},c_{5}\neq 0,\ c_{2},c_{4}=0$ представляет собой тип тороидального вихря и т. д.

Гомогенное решение для $C=0$ как показал Беркер

$\psi =r\left[A_{k}J_{1}(kr)+B_{k}Y_{1}(kr)\right]\left(C_{k}e^{kz}+D_{k}e^{-kz}\right)$

где $J_{1}(kr),Y_{1}(kr)$ – функция Бесселя первого рода и функция Бесселя второго рода соответственно. Частным случаем указанного решения является течение Пуазейля для цилиндрической геометрии со скоростями испарения на стенках. Чиа-Шун Йи нашел решение проблемы стекания Пуазейля в раковину в 1958 году, когда $C=2,\,c_{1}=-1/4,\,c_{3}=1/2,\,c_{2}=c_{4}=c_{5}=B_{k}=C_{k}=0$.

Течение Бельтрами в механике жидкости.

Основная статья: Векторное поле Бельтрами § Поля Бельтрами и механика жидкости

Поля Бельтрами представляют собой классическое устойчивое решение уравнения Эйлера . Поля Бельтрами играют важную роль в механике (идеальной) жидкости в равновесии, поскольку сложность ожидается только от этих полей.

См. также

• Поток Громеки-Арнольда-Бельтрами-Чилдресса (ГАБК)