Уравнение Хикса

В гидродинамике , представляет собой уравнение в частных производных , уравнение Хикса , иногда также называемое уравнением Брэгга-Хоторна или уравнением Сквайра-Лонга которое описывает распределение функции тока для осесимметричной невязкой жидкости, названное в честь Уильяма Митчинсона Хикса , который первым вывел его в 1898 году. . Уравнение было также повторно выведено Стивеном Брэггом и Уильямом Хоторном в 1950 году, Робертом Р. Лонгом в 1953 году и Гербертом Сквайром в 1956 году. Уравнение Хикса без завихрения было впервые введено Джорджем Габриэлем Стоксом в 1842 году. Уравнение Грэда–Шафранова, встречающееся в физике плазмы, также принимает тот же вид, что и уравнение Хикса.

Представляя $(r,\theta ,z)$ как координаты в смысле цилиндрической системы координат с соответствующими компонентами скорости потока, обозначенными через $(v_{r},v_{\theta },v_{z})$, функция потока $\psi$ определяющее меридиональное движение, можно определить как

$rv_{r}=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad rv_{z}={\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

которое автоматически удовлетворяет уравнению неразрывности для осесимметричных потоков. Уравнение Хикса тогда имеет вид

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}$

где

$H(\psi )={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}),\quad \Gamma (\psi )=rv_{\theta }$

где $H(\psi )$ является общей головой, см. Принцип Бернулли . и $2\pi \Gamma$ — это циркуляция , причем обе они сохраняются вдоль линий тока. Здесь, $p$ это давление и $\rho$ это плотность жидкости. Функции $H(\psi )$ и $\Gamma (\psi )$ – известные функции, обычно заданные на одной из границ; см. пример ниже. Если внутри области жидкости, скажем, в области рециркуляции, имеются замкнутые линии тока, то функции $H(\psi )$ и $\Gamma (\psi )$ обычно неизвестны, и поэтому в этих регионах уравнение Хикса бесполезно; Теорема Прандтля – Бэтчелора дает подробную информацию о замкнутых областях линий тока.

Вывод

Рассмотрим осесимметричное течение в цилиндрической системе координат $(r,\theta ,z)$ с компонентами скорости $(v_{r},v_{\theta },v_{z})$ и компоненты завихренности $(\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})$. С $\partial /\partial \theta =0$ в осесимметричных течениях компоненты завихренности

$\omega _{r}=-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\theta })}{\partial r}}$.

Уравнение неразрывности позволяет определить функцию тока. $\psi (r,z)$ такой, что

$v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad v_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

(Заметим, что компоненты завихренности $\omega _{r}$ и $\omega _{z}$ связаны с $rv_{\theta }$ точно так же, как $v_{r}$ и $v_{z}$ связаны с $\psi$). Поэтому азимутальная составляющая завихренности становится

$\omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right).$

Уравнения невязкого импульса $\partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}=-\nabla H$, где $H={\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho }}$ – постоянная Бернулли, $p$ давление жидкости и $\rho$ плотность жидкости, записанная для осесимметричного поля течения, становится

${\begin{aligned}v_{\theta }\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta }-{\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial r}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta }-v_{\theta }\omega _{r}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial z}}\end{aligned}}$

в котором второе уравнение также можно записать как $D(rv_{\theta })/Dt=0$, где $D/Dt$ является материальной производной . Это означает, что циркуляция $2\pi rv_{\theta }$ вокруг кривой материала в форме круга с центром $z$- ось постоянна.

Если движение жидкости стационарное, то частица жидкости движется вдоль линии тока, иными словами, она движется по поверхности, заданной уравнением $\psi =$постоянный. Отсюда следует, что $H=H(\psi )$ и $\Gamma =\Gamma (\psi )$, где $\Gamma =rv_{\theta }$. Поэтому радиальная и азимутальная составляющие завихренности равны

$\omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}$.

Компоненты ${\boldsymbol {v}}$ и ${\boldsymbol {\omega }}$ локально параллельны. Приведенные выше выражения можно подставить либо в уравнения радиального, либо в осевого момента (после удаления члена производной по времени), чтобы решить уравнение $\omega _{\theta }$. Например, заменив приведенное выше выражение на $\omega _{r}$ в уравнение осевого момента приводит к

${\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}}+{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{aligned}}$

Но $\omega _{\theta }$ может быть выражено через $\psi$ как показано в начале этого вывода. Когда $\omega _{\theta }$ выражается в терминах $\psi$, мы получаем

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.$

На этом требуемый вывод завершен.

Пример: жидкость с равномерной осевой скоростью и вращением твердого тела далеко вверх по потоку.

Рассмотрим задачу, в которой жидкость в дальнем потоке имеет однородную осевую скорость. $U$ и вращается с угловой скоростью $\Omega$. Это движение вверх по течению соответствует

$\psi ={\frac {1}{2}}Ur^{2},\quad \Gamma =\Omega r^{2},\quad H={\frac {1}{2}}U^{2}+\Omega ^{2}r^{2}.$

Из них мы получаем

$H(\psi )={\frac {1}{2}}U^{2}+{\frac {2\Omega ^{2}}{U}}\psi ,\qquad \Gamma (\psi )={\frac {2\Omega }{U}}\psi$

указывая на то, что в данном случае $H$ и $\Gamma$ являются простыми линейными функциями $\psi$. Само уравнение Хикса становится

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {2\Omega ^{2}}{U}}r^{2}-{\frac {4\Omega ^{2}}{U^{2}}}\psi$

который после введения $\psi (r,z)=Ur^{2}/2+rf(r,z)$ становится

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}+\left(k^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\right)f=0$

где $k=2\Omega /U$.

Найдите уравнение

Для несжимаемого потока $D\rho /Dt=0$, но с переменной плотностью, Цзя-Шунь И вывел необходимое уравнение. Поле скоростей сначала преобразуется с помощью преобразования Йиха.

$(v_{r}',v_{\theta }',v_{z}')={\sqrt {\frac {\rho }{\rho _{0}}}}(v_{r},v_{\theta },v_{z})$

где $\rho _{0}$ - некоторая эталонная плотность с соответствующей функцией тока Стокса $\psi '$ определено так, что

$rv_{r}'=-{\frac {\partial \psi '}{\partial z}},\quad rv_{z}'={\frac {\partial \psi '}{\partial r}}.$

Включим гравитационную силу, действующую в отрицательном направлении. $z$ направление. Тогда уравнение Йиха имеет вид

${\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi '}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi '}}-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \psi '}}{\frac {g}{\rho _{0}}}z-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi '}}$

где

$H(\psi ')={\frac {p}{\rho _{0}}}+{\frac {\rho }{2\rho _{0}}}(v_{r}'^{2}+v_{\theta }'^{2}+v_{z}'^{2})+{\frac {\rho }{\rho _{0}}}gz,\quad \Gamma (\psi ')=rv_{\theta }'$