Уравнение Града – Шафранова

Уравнение Града –Шафранова ( Х. Град и Х. Рубин (1958); Виталий Дмитриевич Шафранов (1966)) — уравнение равновесия в идеальной магнитогидродинамике (МГД) для двумерной плазмы , например осесимметричной тороидальной плазмы в токамаке . Это уравнение принимает ту же форму, что и уравнение Хикса из гидродинамики. Это уравнение представляет собой двумерное нелинейное осесимметрии (случай , эллиптическое уравнение в частных производных, полученное в результате сведения идеальных уравнений МГД к двум измерениям, часто для случая тороидальной актуальный для токамака). принимая $(r,\theta ,z)$ в качестве цилиндрических координат функция потока $\psi$ определяется уравнением,

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\mu _{0}r^{2}{\frac {dp}{d\psi }}-{\frac {1}{2}}{\frac {dF^{2}}{d\psi }},$

где $\mu _{0}$ магнитная проницаемость , $p(\psi )$ это давление , $F(\psi )=rB_{\theta }$ а магнитное поле и ток соответственно имеют вид $${\begin{aligned}\mathbf {B} &={\frac {1}{r}}\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }+{\frac {F}{r}}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta },\\\mu _{0}\mathbf {J} &={\frac {1}{r}}{\frac {dF}{d\psi }}\nabla \psi \times {\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }-\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }.\end{aligned}}$$

Характер равновесия, будь то токамак , пинч с обращенным полем и т. д., во многом определяется выбором двух функций $F(\psi )$ и $p(\psi )$ а также граничные условия.

Вывод (в декартовых координатах)

Далее предполагается, что система двумерна с $z$ как инвариантная ось, т.е. ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$ производит 0 для любого количества. Тогда магнитное поле можно записать в декартовых координатах как $$\mathbf {B} =\left({\frac {\partial A}{\partial y}},-{\frac {\partial A}{\partial x}},B_{z}(x,y)\right),$$ или более компактно, $$\mathbf {B} =\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }}+B_{z}{\hat {\mathbf {z} }},$$ где $A(x,y){\hat {\mathbf {z} }}$ - векторный потенциал плоскостного (компоненты x и y) магнитного поля. Обратите внимание, что, основываясь на этой форме для B, мы можем видеть, что A является постоянным вдоль любой данной линии магнитного поля, поскольку $\nabla A$ всюду перпендикулярен B . (Также обратите внимание, что -A — это функция потока $\psi$ упоминалось выше.)

Двумерные стационарные магнитные структуры описываются балансом сил давления и магнитных сил, т.е.: $$\nabla p=\mathbf {j} \times \mathbf {B} ,$$ где p — давление плазмы, j — электрический ток. Известно, что p является константой вдоль любой силовой линии (опять же, поскольку $\nabla p$ всюду перпендикулярен B ). Кроме того, двумерное предположение ( ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial z}}=0}$) означает, что z-компонента левой части должна быть равна нулю, поэтому z-компонент магнитной силы в правой части также должен быть равен нулю. Это означает, что $\mathbf {j} _{\perp }\times \mathbf {B} _{\perp }=0$, то есть $\mathbf {j} _{\perp }$ параллельно $\mathbf {B} _{\perp }$.

Правую часть предыдущего уравнения можно разделить на две части: $$\mathbf {j} \times \mathbf {B} =j_{z}({\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B_{\perp }} )+\mathbf {j_{\perp }} \times {\hat {\mathbf {z} }}B_{z},$$ где $\perp$ нижний индекс обозначает компоненту в плоскости, перпендикулярной $z$-ось. $z$ Компонент тока в приведенном выше уравнении можно записать через одномерный векторный потенциал как $$j_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A.$$

Плоское поле $$\mathbf {B} _{\perp }=\nabla A\times {\hat {\mathbf {z} }},$$ и используя уравнение Максвелла – Ампера, ток в плоскости определяется выражением $$\mathbf {j} _{\perp }={\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla B_{z}\times {\hat {\mathbf {z} }}.$$

Для того чтобы этот вектор был параллелен $\mathbf {B} _{\perp }$ при необходимости вектор $\nabla B_{z}$ должен быть перпендикулярен $\mathbf {B} _{\perp }$, и $B_{z}$ поэтому должен, как и $p$, быть инвариантом линии поля.

Перестановка перекрестных произведений выше приводит к $${\hat {\mathbf {z} }}\times \mathbf {B} _{\perp }=\nabla A-(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla A)\mathbf {\hat {z}} =\nabla A,$$ и $$\mathbf {j} _{\perp }\times B_{z}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {B_{z}}{\mu _{0}}}(\mathbf {\hat {z}} \cdot \nabla B_{z})\mathbf {\hat {z}} -{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}=-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.$$

Эти результаты можно подставить в выражение для $\nabla p$ чтобы дать: $$\nabla p=-\left[{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla ^{2}A\right]\nabla A-{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{z}\nabla B_{z}.$$

С $p$ и $B_{z}$ являются константами вдоль силовой линии и функционируют только от $A$, следовательно $\nabla p={\frac {dp}{dA}}\nabla A$ и $\nabla B_{z}={\frac {dB_{z}}{dA}}\nabla A$. Таким образом, вынесение на учет $\nabla A$ и перестановка членов дает уравнение Града – Шафранова : $$\nabla ^{2}A=-\mu _{0}{\frac {d}{dA}}\left(p+{\frac {B_{z}^{2}}{2\mu _{0}}}\right).$$

Вывод в контравариантном представлении

Этот вывод используется только для токамаков, но он может быть полезным. Используя определение «Теории тороидально ограниченной плазмы 1:3» (Роско Уайт), написание ${\vec {B}}$ по контравариантному принципу $(\nabla \Psi ,\nabla \phi ,\nabla \zeta )$: $${\vec {B}}=\nabla \Psi \times \nabla \phi +{\bar {F}}\nabla \phi ,$$

у нас есть ${\vec {j}}$: $$\mu _{0}{\vec {j}}=\nabla \times {\vec {B}}=-\Delta ^{*}\Psi \nabla \phi +\nabla {\bar {F}}\times \nabla \phi \quad {\text{, where}}\ \Delta ^{*}=r\partial _{r}(r^{-1}\partial _{r})+\partial _{\phi }^{2}{\text{;}}$$

тогда уравнение баланса сил: $$\mu _{0}{\vec {j}}\times {\vec {B}}=\mu _{0}\nabla p{\text{.}}$$

Проработав, мы имеем: $$-\Delta ^{*}\Psi ={\bar {F}}{\frac {d{\bar {F}}}{d\Psi }}+\mu _{0}R^{2}{\frac {dp}{d\Psi }}{\text{.}}$$

Дальнейшее чтение

• Град Х. и Рубин Х. (1958) Гидромагнитное равновесие и бессиловые поля. Архивировано 21 июня 2023 г. в Wayback Machine . Материалы 2-й конференции ООН. о мирном использовании атомной энергии, Vol. 31, Женева: МАГАТЭ, с. 190.
• Шафранов В.Д. (1966) Равновесие плазмы в магнитном поле , Обзоры по физике плазмы , Том. 2, Нью-Йорк: Консультантское бюро, с. 103.
• Вудс, Лесли К. (2004) Физика плазмы , Вайнхайм: WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, глава 2.5.4.
• Хаверкорт, Дж.В. (2009) Осесимметричные идеальные МГД-равновесия токамака . Заметки об уравнении Града–Шафранова, некоторых аспектах уравнения и его аналитических решениях.
• Хаверкорт, Дж. В. (2009) Осесимметричные идеальные МГД-равновесия с тороидальным потоком . Включение тороидального потока, связь с кинетическими и двухжидкостными моделями и обсуждение конкретных аналитических решений.