Теорема Прандтля – Бэтчелора

В гидродинамике если теорема Прандтля-Бэтчелора утверждает, что в двумерном ламинарном потоке при высоком числе Рейнольдса возникают замкнутые линии тока, то завихренность в области замкнутых линий тока должна быть постоянной . Аналогичное утверждение справедливо и для осесимметричных течений. Теорема названа в честь Людвига Прандтля и Джорджа Бэтчелора . Прандтль в своей знаменитой статье 1904 года сформулировал эту теорему в рассуждениях: Джордж Бэтчелор, не знавший об этой работе, доказал теорему в 1956 году. В том же году проблему изучали Ричард Фейнман и Пако Лагерстрем. и У. В. Вудом в 1957 году.

Математическое доказательство

При больших числах Рейнольдса двумерная задача, описываемая двумерными уравнениями Эйлера, сводится к решению задачи для функции тока $\psi$, что удовлетворяет

$\nabla ^{2}\psi =-\omega (\psi ),\quad \psi =\psi _{o}{\text{ on }}\partial D$

где $\omega$ является единственной ненулевой составляющей завихренности в $z$-направление вектора завихренности. В нынешнем виде задача некорректна, поскольку распределение завихренности $\omega (\psi )$ может иметь бесконечное количество возможностей, каждая из которых удовлетворяет уравнению и граничному условию. Это неверно, если ни одна линия тока не замкнута, и в этом случае каждую линию тока можно проследить до границы. $\partial D$ где $\psi$ и, следовательно, его соответствующая завихренность $\omega (\psi )$ прописаны. Трудность возникает только тогда, когда внутри области существуют замкнутые линии тока, не соединяющиеся с границей, и можно предположить, что при больших числах Рейнольдса $\omega (\psi )$ не определяется однозначно в регионах, где встречаются замкнутые линии тока. Теорема Прандтля-Бэтчелора, однако, утверждает, что это не так, и $\omega (\psi )$ в таких случаях определяется однозначно путем рассмотрения предельного процесса $Re\rightarrow \infty$ правильно.

Стационарное безразмерное уравнение завихренности в нашем случае сводится к

$\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {\omega } ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}\omega .$

Интегрируем уравнение по поверхности $S$ целиком лежащий в области, где мы имеем замкнутые линии тока, ограниченные замкнутым контуром $C$

$\int _{S}\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {\omega } \,d\mathbf {S} ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\int _{S}\nabla ^{2}\omega \,d\mathbf {S} .$

Подынтегральное выражение в левой части члена можно записать как $\nabla \cdot (\omega \mathbf {u} )$ с $\nabla \cdot \mathbf {u} =0$. По теореме о расходимости получаем

$\oint _{C}\omega \mathbf {u} \cdot \mathbf {n} dl={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \cdot \mathbf {n} dl.$

где $\mathbf {n}$ - внешний единичный вектор, нормаль к элементу контурной линии. $dl$. Левую часть подынтегральной функции можно обнулить, если контур $C$ принимается одна из замкнутых линий тока, так как тогда вектор скорости, проецируемый нормалью к контуру, будет равен нулю, т.е. $\mathbf {u} \cdot \mathbf {n} =0$. Таким образом получается

${\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \cdot \mathbf {n} \ dl=0$

Это выражение справедливо для конечного, но большого числа Рейнольдса, поскольку ранее мы не пренебрегали вязким членом.

В отличие от двумерных невязких течений, где $\omega =\omega (\psi )$ с $\mathbf {u} \cdot \nabla \omega =0$ без ограничений по функциональной форме $\omega$, в вязких потоках, $\omega \neq \omega (\psi )$. Но для больших, но конечных $\mathrm {Re}$, мы можем написать $\omega =\omega (\psi )+{\rm {small\ corrections}}$, и эти небольшие поправки становятся все меньше и меньше по мере увеличения числа Рейнольдса. Таким образом, в пределе $\mathrm {Re} \rightarrow \infty$, в первом приближении (пренебрегая малыми поправками) имеем

${\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}\nabla \omega \cdot \mathbf {n} \ dl={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\oint _{C}{\frac {d\omega }{d\psi }}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} \ dl=0.$

С $d\omega /d\psi$ является постоянным для данной линии тока, мы можем вынести этот член за пределы интеграла,

${\frac {1}{\mathrm {Re} }}{\frac {d\omega }{d\psi }}\oint _{C}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} \ dl=0.$

Можно заметить, что интеграл от циркуляции отрицательен , поскольку

$\Gamma =-\oint _{C}\mathbf {u} \cdot d\mathbf {l} =-\int _{S}\omega d\mathbf {S} =\int _{S}\nabla ^{2}\psi d\mathbf {S} =\oint _{C}\nabla \psi \cdot \mathbf {n} dl$

где мы использовали теорему Стокса для циркуляции и $\omega =-\nabla ^{2}\psi$. Таким образом, мы имеем

${\frac {\Gamma }{\mathrm {Re} }}{\frac {d\omega }{d\psi }}=0.$

Циркуляция вокруг этих замкнутых линий тока не равна нулю (если только скорость в каждой точке линии тока не равна нулю с возможным прерывистым скачком завихренности поперек линии тока). Единственный способ удовлетворить приведенное выше уравнение - это только если

${\frac {d\omega }{d\psi }}=0,$

т.е. завихренность не меняется поперек этих замкнутых линий тока, что доказывает теорему. Конечно, теорема не справедлива внутри режима пограничного слоя. Эту теорему нельзя вывести из уравнений Эйлера.