Кубическое уравнение

Эта статья о кубических уравнениях с одной переменной. Для кубических уравнений с двумя переменными см. кривую кубической плоскости .

Не путать с кубической функцией .

График кубической функции с тремя вещественными корнями (где кривая пересекает горизонтальную ось в точке y = 0 ). Показанный случай имеет две критические точки . Здесь функция $f(x)={\frac {1}{4}}\left(x^{3}+3x^{2}-6x-8\right)={\frac {1}{4}}(x-2)(x+1)(x+4)$и, следовательно, три действительных корня — это 2, -1 и -4.

В алгебре кубическим уравнением с одной переменной называется уравнение вида

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

в котором а не равно нулю.

Решения этого уравнения называются корнями кубической функции, определяемой левой частью уравнения. Если все коэффициенты a , b , c и d кубического уравнения являются действительными числами нечетной степени , то оно имеет хотя бы один действительный корень (это верно для всех полиномиальных функций ). Все корни кубического уравнения можно найти следующими способами:

• алгебраически : точнее, они могут быть выражены кубической формулой, включающей четыре коэффициента, четыре основных арифметических действия , квадратные корни и кубические корни . (Это также верно для квадратных уравнений (второй степени) и четвертых (четвертой степени) уравнений, но не для уравнений более высокой степени, согласно теореме Абеля – Руффини .)
• тригонометрически
• численные аппроксимации корней можно найти с помощью алгоритмов поиска корней, таких как метод Ньютона .

Коэффициенты не обязательно должны быть действительными числами. Многое из того, что описано ниже, справедливо для коэффициентов в любом поле с характеристикой , отличной от 2 и 3. Решения кубического уравнения не обязательно принадлежат тому же полю, что и коэффициенты. Например, некоторые кубические уравнения с рациональными коэффициентами имеют корни, которые представляют собой иррациональные (и даже недействительные) комплексные числа .

История

Кубические уравнения были известны древним вавилонянам, грекам, китайцам, индийцам и египтянам. вавилонские (20-16 вв. до н. э.) клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней. Найдены Вавилоняне могли использовать таблицы для решения кубических уравнений, но не существует никаких доказательств, подтверждающих это. Задача удвоения куба включает в себя простейшее и старейшее изученное кубическое уравнение, решение которого древние египтяне не считали. В V веке до нашей эры Гиппократ свел эту проблему к задаче нахождения двух средних пропорций между одной линией и другой, вдвое большей длины, но не смог решить эту проблему с помощью циркуля и линейки . задача, которая, как теперь известно, невыполнима. Методы решения кубических уравнений появляются в «Девяти главах математического искусства» , китайском математическом тексте, составленном примерно во 2 веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в 3 веке.

В III веке нашей эры греческий математик Диофант нашел целочисленные или рациональные решения для некоторых двумерных кубических уравнений ( диофантовых уравнений ). Считается, что Гиппократ, Менехм и Архимед приблизились к решению задачи удвоения куба с помощью пересекающихся конических сечений . хотя историки, такие как Ревьель Нетц, спорят о том, думали ли греки о кубических уравнениях или просто о проблемах, которые могут привести к кубическим уравнениям. Некоторые другие, такие как Т.Л. Хит , который перевел все работы Архимеда, не согласны с этим, приводя доказательства того, что Архимед действительно решал кубические уравнения, используя пересечения двух коник , но также обсуждал условия, когда корни равны 0, 1 или 2.

График кубической функции f ( x ) = 2 x ³ − 3x ² - 3 х + 2 = ( х + 1) (2 х - 1) ( х - 2)

В VII веке времен династии Тан астроном-математик Ван Сяотун в своем математическом трактате под названием «Цзигу Суаньцзин» систематически установил и решил численно 25 кубических уравнений вида x. ³ + пикселей ² + qx = N , 23 из них с p , q ≠ 0 и два из них с q = 0 .

В XI веке персидский поэт-математик Омар Хайям (1048–1131) добился значительных успехов в теории кубических уравнений. В одной из первых статей он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения, и заявил, что его нельзя решить с помощью циркуля и линеек. Он также нашел геометрическое решение. В своей более поздней работе « Трактат о демонстрации проблем алгебры » он написал полную классификацию кубических уравнений с общими геометрическими решениями, найденными с помощью пересекающихся конических сечений . Хайям предпринял попытку вывести алгебраическую формулу извлечения кубических корней. Он написал:

«Мы пытались выразить эти корни с помощью алгебры, но потерпели неудачу. Однако, возможно, люди, которые придут после нас, добьются успеха».

В XII веке индийский математик Бхаскара II безуспешно пытался решить кубические уравнения. Однако он привел один пример кубического уравнения: x ³ + 12 х = 6 х ² + 35 . В XII веке другой персидский математик, Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1213), написал « Аль-Муадалат» ( «Трактат об уравнениях »), в котором рассматривались восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов кубических уравнений. которые могут не иметь положительных решений. Он использовал то, что позже будет известно как « метод Руффини - Хорнера », для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Он также использовал концепции максимумов и минимумов кривых для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. Он понимал важность дискриминанта кубического уравнения для поиска алгебраических решений определенных типов кубических уравнений.

В своей книге «Флос » Леонардо де Пиза, также известный как Фибоначчи (1170–1250), смог точно аппроксимировать положительное решение кубического уравнения x. ³ + 2 х ² + 10 х = 20 . Записав вавилонскими цифрами, он дал результат: 1,22,7,42,33,4,40 (что эквивалентно 1 + 22/60 + 7/60). ²  + 42/60 ³  + 33/60 ⁴  + 4/60 ⁵  + 40/60 ⁶ ), что имеет относительную погрешность около 10 ⁻⁹ .

В начале 16 века итальянский математик Сципионе дель Ферро (1465–1526) нашел метод решения класса кубических уравнений, а именно уравнений вида x ³ + мх знак равно п . Фактически, все кубические уравнения можно привести к этому виду, если допустить, чтобы m и n были отрицательными, но отрицательные числа ему в то время не были известны. Дель Ферро держал свое достижение в секрете до тех пор, пока незадолго до своей смерти не рассказал о нем своему ученику Антонио Фиору.

Никколо Фонтана Тарталья

В 1535 году Никколо Тарталья две задачи на кубические уравнения (1500–1557) получил от Зуанне да Кой и объявил, что может их решить. Вскоре ему бросил вызов Фиор, что привело к знаменитому состязанию между ними. Каждый участник должен был внести определенную сумму денег и предложить сопернику ряд задач. Тот, кто решит больше задач в течение 30 дней, получит все деньги. Тарталья получил вопросы в форме x ³ + mx = n , для чего он разработал общий метод. Фиор получил вопросы в форме x ³ + мх ² = n , решить которую ему оказалось слишком сложно, и Тарталья выиграл состязание.

(1501–1576) уговорил Тарталью Позже Джероламо Кардано раскрыть свой секрет решения кубических уравнений. В 1539 году Тарталья сделал это только при условии, что Кардано никогда не раскроет это и что, если он действительно напишет книгу о кубиках, он даст Тарталье время для публикации. Несколько лет спустя Кардано узнал о предыдущей работе дель Ферро и опубликовал метод дель Ферро в своей книге Ars Magna в 1545 году, то есть Кардано дал Тарталье шесть лет на публикацию своих результатов (с благодарностью Тарталье за ​​независимое решение).

В обещании Кардано Тарталье говорилось, что он не будет публиковать работы Тартальи, и Кардано чувствовал, что публикует работы дель Ферро, чтобы обойти обещание. Тем не менее, это привело к вызову Кардано со стороны Тартальи, который Кардано отрицал. В конце концов вызов принял ученик Кардано Лодовико Феррари (1522–1565). Феррари выступил на соревнованиях лучше, чем Тарталья, и Тарталья потерял и свой престиж, и свой доход.

Кардано заметил, что метод Тартальи иногда требовал от него извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил расчет с этими комплексными числами в Ars Magna , но толком в нем не разобрался. Рафаэль Бомбелли подробно изучил этот вопрос. и поэтому его часто считают первооткрывателем комплексных чисел.

Франсуа Вьет (1540–1603) независимо получил тригонометрическое решение кубической задачи с тремя вещественными корнями, а Рене Декарт (1596–1650) расширил работу Вьета.

Факторизация

Если коэффициенты кубического уравнения являются рациональными числами , можно получить эквивалентное уравнение с целыми коэффициентами, умножив все коэффициенты на общее кратное их знаменателей. Такое уравнение

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

с целыми коэффициентами называется приводимым, если многочлен в левой части является произведением многочленов более низких степеней. По лемме Гаусса , если уравнение приводимо, можно предположить, что коэффициенты имеют целые коэффициенты.

Найти корни приводимого кубического уравнения проще, чем решать общий случай. Фактически, если уравнение приводимо, один из факторов должен иметь степень один и, следовательно, иметь вид

$qx-p$

где q и p являются взаимно простыми целыми числами . Тест на рациональный корень позволяет найти q и p путем рассмотрения конечного числа случаев (поскольку q должен быть делителем a , а p должен быть делителем d ).

Таким образом, один корень $\textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},$ а остальные корни — это корни другого множителя, который можно найти полиномиальным делением в длину . Этот другой фактор

${\frac {a}{q}}x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^{2}}{q^{3}}}$

(Коэффициенты не кажутся целыми числами, но должны быть целыми числами, если p / q является корнем.)

Тогда остальные корни являются корнями этого квадратного многочлена и могут быть найдены с помощью квадратичной формулы .

Депрессивный кубический

Кубики формы

$t^{3}+pt+q$

говорят, что в депрессии. Они намного проще, чем обычные кубики, но имеют фундаментальное значение, поскольку изучение любой кубики можно свести к простой замене переменной на переменную депрессивной кубики.

Позволять

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

быть кубическим уравнением. Изменение переменной

$x=t-{\frac {b}{3a}}$

дает кубику (в t ), которая не имеет члена в t ² .

После деления на единицу получается депрессивное кубическое уравнение

$t^{3}+pt+q=0,$

с

${\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}$

Корни ​ $x_{1},x_{2},x_{3}$ исходного уравнения связаны с корнями $t_{1},t_{2},t_{3}$ депрессивного уравнения соотношениями

$$x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}},$$

для $i=1,2,3$.

Дискриминант и природа корней

Природу (действительную или нет, различимую или нет) корней кубики можно определить без их явного вычисления, используя дискриминант .

Дискриминант

Дискриминант — это многочлена кратный функция его коэффициентов, равная нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет корень или если он делится на квадрат непостоянного многочлена. Другими словами, дискриминант отличен от нуля тогда и только тогда, когда многочлен не содержит квадратов .

Если r ₁ , r ₂ , r ₃ — три корня (не обязательно различных и вещественных ) кубики $ax^{3}+bx^{2}+cx+d,$ тогда дискриминант

$a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.$

Дискриминант депрессивной кубической $t^{3}+pt+q$ является

$-\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).$

Дискриминант общей кубики $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ является

$18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.$

Это продукт $a^{4}$ и дискриминант соответствующей депрессивной кубики. Используя формулу, связывающую общую кубику и связанную с ней депрессивную кубику, это означает, что дискриминант общей кубики можно записать как

${\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}}}.$

Отсюда следует, что один из этих двух дискриминантов равен нулю тогда и только тогда, когда другой также равен нулю, и, если коэффициенты действительны , два дискриминанта имеют одинаковый знак. Таким образом, одну и ту же информацию можно получить из любого из этих двух дискриминантов.

Чтобы доказать предыдущие формулы, можно использовать формулы Виеты, чтобы выразить все в виде полиномов от r ₁ , r ₂ , r ₃ и a . Тогда доказательство приводит к проверке равенства двух многочленов.

Природа корней

Если коэффициенты многочлена действительные числа , а его дискриминант $\Delta$ не равно нулю, есть два случая:

• Если $\Delta >0,$ кубика имеет три различных действительных корня
• Если $\Delta <0,$ кубика имеет один действительный корень и два невещественных комплексно-сопряженных корня.

Это можно доказать следующим образом. Во-первых, если r — корень многочлена с вещественными коэффициентами, то его комплексно-сопряженный элемент также является корнем. Таким образом, невещественные корни, если они есть, встречаются как пары комплексно-сопряженных корней. Поскольку кубический многочлен имеет три корня (не обязательно различных) по фундаментальной теореме алгебры , по крайней мере один корень должен быть вещественным.

Как указано выше, если r ₁ , r ₂ , r ₃ являются тремя корнями кубики $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, то дискриминант

$\Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}$

Если три корня вещественны и различны, дискриминант является продуктом положительных действительности, то есть $\Delta >0.$

только один корень, скажем, , _r1 действительный, то r2 _Если и r3 _{комплексно- сопряженными} числами, из чего следует, что – _{, и ,} r3 – _, чисто мнимое число таким образом ( r2 _r2 – r3 _{являются} ) ² является реальным и отрицательным. С другой стороны, r ₁ – r ₂ и r ₁ – r ₃ являются комплексно-сопряженными числами, а их произведение вещественно и положительно. Таким образом, дискриминант — это произведение одного отрицательного числа и нескольких положительных. То есть $\Delta <0.$

Множественный корень

Если дискриминант кубики равен нулю, кубика имеет кратный корень . Если, кроме того, его коэффициенты вещественны, то все его корни вещественны.

Дискриминант депрессивной кубической $t^{3}+pt+q$ равен нулю, если $4p^{3}+27q^{2}=0.$ Если p также равно нулю, то p = q = 0 , а 0 — тройной корень кубики. Если $4p^{3}+27q^{2}=0,$ и p ≠ 0 , то кубика имеет простой корень

$t_{1}={\frac {3q}{p}}$

и двойной корень

$t_{2}=t_{3}=-{\frac {3q}{2p}}.$

Другими словами,

$t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {3q}{2p}}\right)^{2}.$

Этот результат можно доказать, разложив последнее произведение, или получить, решив довольно простую систему уравнений, возникающую на основе формул Виета .

Используя редукцию депрессивной кубики , эти результаты можно распространить на общую кубику. Это дает: Если дискриминант кубического $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ равно нулю, то

• либо, если $b^{2}=3ac,$ кубическая имеет тройной корень

$x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{3a}},$

и

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}$

• или, если $b^{2}\neq 3ac,$ кубическая имеет двойной корень

$x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{2(b^{2}-3ac)}},$

и простой корень,

$x_{1}={\frac {4abc-9a^{2}d-b^{3}}{a(b^{2}-3ac)}}.$

и таким образом

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}.$

Характеристика 2 и 3

Приведенные выше результаты действительны, когда коэффициенты принадлежат к полю характеристики , отличной от 2 или 3, но должны быть изменены для характеристики 2 или 3 из-за задействованного деления на 2 и 3.

Приведение к депрессивной кубике работает для характеристики 2, но не для характеристики 3. Однако в обоих случаях проще установить и сформулировать результаты для общей кубики. Основным инструментом для этого является тот факт, что кратный корень является общим корнем многочлена и его формальной производной . В этих характеристиках, если производная не является константой, она представляет собой линейный полином в характеристике 3 и представляет собой квадрат линейного полинома в характеристике 2. Следовательно, для любой характеристики 2 или 3 производная имеет только один корень. Это позволяет вычислить кратный корень, а третий корень можно вывести из суммы корней, что обеспечивается формулами Виеты .

Отличие от других характеристик состоит в том, что в характеристике 2 в формуле двойного корня используется квадратный корень, а в характеристике 3 в формуле тройного корня используется кубический корень.

Формула Кардано

Джероламо Кардано приписывают публикацию первой формулы решения кубических уравнений, приписывая ее Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тарталья . Формула применима к депрессивным кубикам, но, как показано в § Депрессивные кубики , она позволяет решать все кубические уравнения.

Результат Кардано состоит в том, что если

$t^{3}+pt+q=0$

— кубическое уравнение, такое что p и q — действительные числа, такие что ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$ положительно (это означает, что дискриминант уравнения отрицателен), то уравнение имеет действительный корень

${\sqrt[{3}]{u_{1}}}+{\sqrt[{3}]{u_{2}}},$

где $u_{1}$ и $u_{2}$ это два числа $-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ и $-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.$

См. § Вывод корней ниже, чтобы узнать о нескольких методах получения этого результата.

Как показано в § Природа корней , два других корня в данном случае являются недействительными комплексно-сопряженными числами. Позже было показано (Кардано не знал комплексных чисел ), что два других корня получаются умножением одного из кубических корней на примитивный кубический корень из единицы. $\varepsilon _{1}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},$ а другой кубический корень - другим примитивным кубическим корнем из единицы $\varepsilon _{2}=\varepsilon _{1}^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.$ То есть остальные корни уравнения $\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{u_{1}}}+\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{u_{2}}}$ и $\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{u_{1}}}+\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{u_{2}}}.$

Если $4p^{3}+27q^{2}<0,$ существует три действительных корня, но теория Галуа позволяет доказать, что, если нет рационального корня, корни не могут быть выражены алгебраическим выражением, включающим только действительные числа. Следовательно, уравнение в этом случае невозможно решить, зная время Кардано. Таким образом, этот случай получил название casus нередуцируемый , что на латыни означает «неприводимый случай» .

В casus reducibilis формулу Кардано все еще можно использовать, но при использовании кубических корней необходима определенная осторожность. Первый метод заключается в определении символов ${\sqrt {{~}^{~}}}$ и ${\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}$ как представление главных значений корневой функции (то есть корня, имеющего наибольшую действительную часть). При таком соглашении формула Кардано для трех корней остается действительной, но не является чисто алгебраической, поскольку определение главной части не является чисто алгебраическим, поскольку оно включает неравенства для сравнения действительных частей. Кроме того, использование главного кубического корня может дать неправильный результат, если коэффициенты являются недействительными комплексными числами. Более того, если коэффициенты принадлежат другому полю , то главный кубический корень вообще не определен.

Второй способ сделать формулу Кардано всегда правильной — это заметить, что произведение двух кубических корней должно быть – p /3 . Получается, что корень уравнения равен

$C-{\frac {p}{3C}}\quad {\text{with}}\quad C={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$

В этой формуле символы ${\sqrt {{~}^{~}}}$ и ${\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}$ обозначают любой квадратный корень и любой кубический корень. Остальные корни уравнения получаются либо заменой кубического корня, либо, что то же самое, умножением кубического корня на примитивный кубический корень из единицы, то есть $\textstyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.$

Эта формула для корней всегда верна, за исключением случаев, когда p = q = 0 , при условии, что если p = 0 , квадратный корень выбирается так, что C ≠ 0 . Однако формула Кардано бесполезна, если $p=0,$ так как корни являются кубическими корнями $-q.$ Точно так же формула бесполезна и в тех случаях, когда кубический корень не требуется, то есть когда кубический многочлен не является неприводимым ; это включает в себя случай $4p^{3}+27q^{2}=0.$

Эта формула верна также, когда p и q принадлежат любому полю характеристики , отличной от 2 или 3.

Общая кубическая формула

Кубическая формула для корней общего кубического уравнения (при a ≠ 0 )

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

может быть выведено из каждого варианта формулы Кардано путем сведения к депрессивной кубической форме . Представленный здесь вариант справедлив не только для вещественных коэффициентов, но и для коэффициентов a , b , c , d, принадлежащих любому полю характеристики , отличной от 2 или 3. Если коэффициенты являются действительными числами, формула охватывает все комплексные решения , а не только настоящие.

Поскольку формула довольно сложная, стоит разбить ее на более мелкие формулы.

Позволять

${\begin{aligned}\Delta _{0}&=b^{2}-3ac,\\\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d.\end{aligned}}$

(Оба $\Delta _{0}$ и $\Delta _{1}$ могут быть выражены как результирующие кубической величины и ее производных: $\Delta _{1}$ является -1/8 на и умноженный результат кубической величины и ее второй производной, $\Delta _{0}$ является −1/12 , умноженное на a результат первой и второй производных кубического многочлена.)

Тогда пусть

$C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}},$

где символы ${\sqrt {{~}^{~}}}$ и ${\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}$ интерпретируются как любой квадратный корень и любой кубический корень соответственно (каждое ненулевое комплексное число имеет два квадратных корня и три кубических корня). Знак « ± » перед квадратным корнем равен « + » или « – »; выбор почти произволен, и его изменение равносильно выбору другого квадратного корня. Однако, если выбор дает C = 0 (это происходит, если $\Delta _{0}=0$), то вместо него необходимо выбрать другой знак. Если оба варианта дают C = 0 , то есть если $\Delta _{0}=\Delta _{1}=0,$ дробь 0/0 встречается ; в следующих формулах эту дробь следует интерпретировать как равную нулю (см. конец этого раздела).Одним из корней этих соглашений является

$x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right){\text{.}}$

Два других корня можно получить, изменив выбор кубического корня в определении C или, что то же самое, умножив C на примитивный кубический корень из единицы , то есть ± √ –3/2 ​ . –1 Другими словами, три корня

$x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\xi ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\xi ^{k}C}}\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}$

где ξ = –1 + √ –3 / 2 .

Что касается частного случая депрессивной кубической формулы, эта формула применима, но бесполезна, когда корни можно выразить без кубических корней. В частности, если $\Delta _{0}=\Delta _{1}=0,$ формула показывает, что три корня равны ${\frac {-b}{3a}},$ что означает, что кубический полином можно разложить как $\textstyle a(x+{\frac {b}{3a}})^{3}.$ Непосредственное вычисление позволяет проверить, что существование этой факторизации эквивалентно $\Delta _{0}=\Delta _{1}=0.$

Тригонометрические и гиперболические решения

Тригонометрическое решение для трёх действительных корней

Когда кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три действительных корня, формулы, выражающие эти корни через радикалы, включают комплексные числа. Теория Галуа позволяет доказать, что когда три корня действительны и ни один из них не является рациональным ( casus reducibilis ), корни нельзя выразить через действительные радикалы. Тем не менее, чисто вещественные выражения решений могут быть получены с помощью тригонометрических функций , в частности, через косинусы и арккосинусы . Точнее, корни депрессивной кубической

$t^{3}+pt+q=0$

являются

$t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\,\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.$

Эта формула принадлежит Франсуа Вьету . Оно чисто вещественное, когда уравнение имеет три вещественных корня (т.е. $4p^{3}+27q^{2}<0$). В противном случае оно по-прежнему правильно, но включает в себя комплексные косинусы и арккосинусы, когда имеется только один действительный корень, и бессмысленно (деление на ноль), когда p = 0 .

Эту формулу можно напрямую преобразовать в формулу для корней общего кубического уравнения, используя обратную замену, описанную в § Депрессивная кубика .

Формулу можно доказать следующим образом: Исходя из уравнения t ³ + pt + q = 0 , положим   t = u cos θ . Идея состоит в том, чтобы выбрать u так, чтобы уравнение совпадало с тождеством

$4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0.$

Для этого выберите $u=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,,$ и разделим уравнение на ${\frac {u^{3}}{4}}.$ Это дает

$4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}\,{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0.$

Объединяя с приведенным выше тождеством, получаем

$\cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,,$

и корни, таким образом,

$t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.$

Гиперболическое решение для одного вещественного корня

Когда существует только один действительный корень (и p ≠ 0 ), этот корень можно аналогичным образом представить с помощью гиперболических функций , как

${\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0.\end{aligned}}$

Если p ≠ 0 и неравенства справа не выполняются (случай трех вещественных корней), формулы остаются верными, но включают в себя комплексные величины.

Когда p = ±3 , приведенные выше значения t ₀ иногда называют кубическим корнем Чебышева. Точнее, значения, включающие косинусы и гиперболические косинусы, определяют, когда p = −3 , одну и ту же аналитическую функцию, обозначаемую C _1/3 ( q ) , которая является собственным кубическим корнем Чебышева. Значение, включающее гиперболические синусы, аналогично обозначается S _1/3 ( q ) , когда p = 3 .

Геометрические решения

Решение Омара Хайяма

Геометрическое решение Омара Хайяма кубического уравнения для случая m = 2 , n = 16 , дающее корень 2 . Пересечение вертикальной линии на оси X в центре круга является случайностью иллюстрированного примера.

Для решения кубического уравнения x ³ + м ² x = n, где n > 0 , Омар Хайям построил параболу y = x ² / m , круг, диаметр которого составляет отрезок [0, n / m ² ] на положительной оси x , и вертикальная линия, проходящая через точку пересечения круга и параболы над осью x . Решение определяется длиной отрезка горизонтальной линии от начала координат до пересечения вертикальной линии и оси x (см. рисунок).

Простое современное доказательство состоит в следующем. Умножение уравнения на x / m ² и перегруппировка терминов дает

${\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).$

Левая часть — это значение y. ² на параболе. Уравнение окружности y ² + х ( х - н / м ² ) = 0 , правая часть — это значение y ² по кругу.

Решение с трисектором угла

Кубическое уравнение с действительными коэффициентами можно решить геометрически с помощью циркуля, линейки и трисектора угла тогда и только тогда, когда оно имеет три действительных корня.

Кубическое уравнение можно решить с помощью построения циркуля и линейки (без трисектора) тогда и только тогда, когда оно имеет рациональный корень. Это означает, что старые задачи о трисекции угла и удвоении куба , поставленные древнегреческими математиками , не могут быть решены с помощью построения циркуля и линейки.

Геометрическая интерпретация корней

Три действительных корня

Для кубики ( 1 ) с тремя действительными корнями корни представляют собой проекции на ось x вершин A , B и C равностороннего треугольника . Центр треугольника имеет ту же x координату , что и точка перегиба .

Тригонометрическое выражение корней Виета в случае трех действительных корней поддается геометрической интерпретации в терминах круга. Когда кубика записана в угнетенной форме ( 2 ) , t ³ + pt + q = 0 , как показано выше, решение можно выразить как

$t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.$

Здесь $\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)$ – угол в единичной окружности; принимая 1/3 этого ; угла соответствует извлечению кубического корня из комплексного числа добавление − k 2 π / 3 для k = 1, 2 находит остальные кубические корни; и умножив косинусы этих получившихся углов на $2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ корректирует масштаб.

Для случая без депрессии ( 1 ) (показанного на прилагаемом графике) случай с депрессией, как указано ранее, получается путем определения t такого, что x = t - б / 3 а, так что t = x + б / 3а . ​Графически это соответствует простому сдвигу графика по горизонтали при изменении переменных t и x без изменения угловых соотношений. Этот сдвиг перемещает точку перегиба и центр окружности на Y. ось Следовательно, сумма корней уравнения в t равна нулю.

Один настоящий корень

В декартовой плоскости

Наклон линии RA в два раза больше, чем у RH. Обозначая комплексные корни кубики как g ± hi , g = OM (здесь отрицательный) и h = √ tan ORH = √ наклон прямой RH = BE = DA .

Когда график кубической функции строится в декартовой плоскости , если имеется только один действительный корень, это абсцисса ( координата x ) горизонтального пересечения кривой (точка R на рисунке). Дальше, если комплексно-сопряженные корни записаны как g ± hi , то действительная часть g представляет собой абсциссу точки касания H касательной прямой к кубике, которая проходит через x -пересечение R кубики (то есть длина со знаком OM, отрицательная на рисунке). Мнимые части ±h представляют собой квадратные корни из тангенса угла между этой касательной и горизонтальной осью.

В сложной плоскости

Имея один вещественный и два комплексных корня, эти три корня могут быть представлены как точки на комплексной плоскости, как и два корня производной кубической дроби. Между всеми этими корнями существует интересная геометрическая связь.

Точки комплексной плоскости, представляющие три корня, служат вершинами равнобедренного треугольника. (Треугольник равнобедренный, потому что один корень находится на горизонтальной (вещественной) оси, а два других корня, будучи комплексно-сопряженными, появляются симметрично выше и ниже вещественной оси.) Теорема Мардена гласит, что точки, представляющие корни производной кубические — это фокусы эллипса Штейнера треугольника — уникального эллипса, касающегося треугольника в середине его сторон. Если угол при вершине на действительной оси меньше π / 3 , то большая ось эллипса лежит на действительной оси, как и его фокусы, а значит, и корни производной. Если этот угол больше π / 3 , большая ось вертикальна, а ее фокусы, корни производной, являются комплексно-сопряженными. И если этот угол π / 3 , треугольник равносторонний, эллипс Штейнера — это просто вписанная окружность треугольника, его фокусы совпадают друг с другом в центре, лежащем на вещественной оси, и, следовательно, производная имеет повторяющиеся вещественные корни.

Группа Галуа

Для данного кубического неприводимого полинома над полем K характеристики, отличной от 2 и 3, группа Галуа над K представляет собой группу полевых автоморфизмов , которые фиксируют K наименьшего расширения K ( поле расщепления ). переставлять корни многочленов, эта группа является либо группой S3 _{Поскольку эти автоморфизмы должны} всех шести перестановок трех корней, либо группой A3 _. трех круговых перестановок

Дискриминант ∆ кубики — это квадрат

${\sqrt {\Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}),$

где a — старший коэффициент кубики, а r ₁ , r ₂ и r ₃ — три корня кубики. Как ${\sqrt {\Delta }}$ смена знака при замене двух корней, ${\sqrt {\Delta }}$ фиксируется группой Галуа только в том случае, если группа Галуа А ₃ . Другими словами, группа Галуа является A ₃ тогда и только тогда, когда дискриминант является квадратом элемента K .

Поскольку большинство целых чисел не являются квадратами, при работе над полем Q рациональных чисел группа Галуа большинства неприводимых кубических многочленов представляет собой группу S ₃ с шестью элементами. Пример группы Галуа A ₃ с тремя элементами дан p ( x ) = x ³ − 3 x − 1 , дискриминант которого равен 81 = 9 ² .

Происхождение корней

В этом разделе объединены несколько методов вывода формулы Кардано .

Метод Кардано

Этот метод принадлежит Сципионе дель Ферро и Тарталье , но назван в честь Джероламо Кардано , который впервые опубликовал его в своей книге Ars Magna (1545).

Этот метод применим к депрессивному кубическому t ³ + пт + q знак равно 0 . Идея состоит в том, чтобы ввести две переменные u и $v$ такой, что $u+v=t$ и подставить это в депрессивный куб, дав

$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.$

В этот момент Кардано наложил условие $3uv+p=0.$ Это удаляет третий член в предыдущем равенстве, что приводит к системе уравнений

${\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}$

Зная сумму и произведение u ³ и $v^{3},$ можно сделать вывод, что это два решения квадратного уравнения

${\begin{aligned}0&=(x-u^{3})(x-v^{3})\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}\end{aligned}}$

так

$x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0.$

Дискриминант этого уравнения есть $\Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}$, и если предположить, что оно положительное, действительные решения этого уравнения будут (после складывания деления на 4 под квадратным корнем):

$-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.$

Итак (без потери общности при выборе u или $v$):

$u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$

$v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$

Как $u+v=t,$ сумма кубических корней этих решений является корнем уравнения. То есть

$t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$

является корнем уравнения; это формула Кардано.

Это хорошо работает, когда $4p^{3}+27q^{2}>0,$ но, если $4p^{3}+27q^{2}<0,$ квадратный корень, фигурирующий в формуле, недействителен. Поскольку комплексное число имеет три кубических корня, неосторожное использование формулы Кардано даст девять корней, тогда как кубическое уравнение не может иметь более трех корней. Впервые это пояснил Рафаэль Бомбелли в своей книге «Алгебра» (1572 г.). Решение состоит в том, чтобы использовать тот факт, что $uv=-{\frac {p}{3}},$ то есть, $v={\frac {-p}{3u}}.$ Это означает, что необходимо вычислить только один кубический корень, что приводит ко второй формуле, приведенной в § Формула Кардано .

Остальные корни уравнения можно получить заменой кубического корня или, что то же самое, умножением кубического корня на каждый из двух примитивных кубических корней из единицы , которые равны ${\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.$

Замена Виеты

Замена Виеты — это метод, введенный Франсуа Вьетом (Виета — его латинское имя) в тексте, опубликованном посмертно в 1615 году, который непосредственно предоставляет вторую формулу § метода Кардано и позволяет избежать проблемы вычисления двух разных кубических корней.

Начиная с пониженной куб. т ³ + pt + q = 0 , замена Виеты равна t = w – п / 3 ж .

Замена t = w – p / 3 w превращает вдавленную кубику в

$w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.$

Умножение на w ³ , получаем квадратное уравнение относительно w ³ :

$(w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.$

Позволять

$W=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}$

— любой ненулевой корень этого квадратного уравнения. Если w ₁ , w ₂ и w ₃ являются тремя корнями W кубическими , то корнями исходной кубической кубики являются w ₁ − п / 3 ш ₁ , ш ₂ - п / 3 ш ₂ и ш ₃ - п / 3 ж ₃ . Другой корень квадратного уравнения $\textstyle -{\frac {p^{3}}{27W}}.$ Это означает, что изменение знака квадратного корня меняет местами w _i и — p / 3 w _i для i = 1, 2, 3 и, следовательно, не меняет корни. Этот метод терпит неудачу только тогда, когда оба корня квадратного уравнения равны нулю, то есть когда p = q = 0 , и в этом случае единственный корень пониженной кубики равен 0 .

Метод Лагранжа

В своей статье « Мысли об алгебраическом решении уравнений » Жозеф Луи Лагранж представил новый метод единообразного решения уравнений низкой степени в надежде, что он сможет обобщить его для более высоких степеней. Этот метод хорошо работает для уравнений кубической и четвёртой степени , но Лагранжу не удалось применить его к уравнению пятой степени , поскольку он требует решения резольвентного многочлена степени не ниже шестой. Помимо того, что никому ранее это не удавалось, это было первое указание на отсутствие алгебраической формулы для степеней 5 и выше; как было позже доказано теоремой Абеля–Руффини . Тем не менее современные методы решения разрешимых уравнений пятой степени в основном основаны на методе Лагранжа.

В случае кубических уравнений метод Лагранжа дает то же решение, что и метод Кардано. Метод Лагранжа можно применить непосредственно к общему кубическому уравнению ax. ³ + бх ² + cx + d = 0 , но вычисление проще с помощью депрессивного кубического уравнения t ³ + пт + q знак равно 0 .

Основная идея Лагранжа заключалась в том, чтобы работать с дискретным преобразованием Фурье корней, а не с самими корнями. Точнее, пусть ξ — примитивный корень третьей степени из единицы , то есть число такое, что ξ ³ = 1 и ξ ² + ξ + 1 = 0 (при работе в пространстве комплексных чисел имеем $\textstyle \xi ={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2i\pi /3},$ но эта сложная интерпретация здесь не используется). Обозначая x ₀ , x ₁ и x ₂ три корня кубического уравнения, которое необходимо решить, пусть

${\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+\xi ^{2}x_{2},\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2},\end{aligned}}$

— дискретное преобразование Фурье корней. Если s ₀ , s ₁ и s ₂ известны, корни могут быть восстановлены из них с помощью обратного преобразования Фурье, состоящего из обращения этого линейного преобразования; то есть,

${\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\\x_{1}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2}),\\x_{2}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{aligned}}$

По формулам Виеты известно , что s ₀ равно нулю в случае вдавленной кубики, и — б / у для общей куб. Таким образом, только s ₁ и s ₂ необходимо вычислить . Они не являются симметричными функциями корней (обмен x ₁ и x ₂ меняет местами также s ₁ и s ₂ ), но некоторые простые симметричные функции s ₁ и s ₂ также симметричны относительно корней решаемого кубического уравнения. Таким образом, эти симметричные функции могут быть выражены через (известные) коэффициенты исходной кубики, и это позволяет в конечном итоге выразить s i _как корни многочлена с известными коэффициентами. Это хорошо работает для любой степени, но в степенях выше четырех результирующий многочлен, корни которого составляют s _i, имеет степень выше, чем степень исходного многочлена, и поэтому бесполезен для решения. Это причина того, что метод Лагранжа не работает в пятой степени и выше.

В случае кубического уравнения $P=s_{1}s_{2},$ и $S=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}$ являются такими симметричными полиномами (см. ниже). Отсюда следует, что $s_{1}^{3}$ и $s_{2}^{3}$ два корня квадратного уравнения $z^{2}-Sz+P^{3}=0.$ Таким образом, решение уравнения можно завершить точно так же, как и методом Кардано, с $s_{1}$ и $s_{2}$ вместо тебя и $v.$

В случае депрессивного куба $x_{0}={\tfrac {1}{3}}(s_{1}+s_{2})$ и $s_{1}s_{2}=-3p,$ в то время как в методе Кардано мы установили $x_{0}=u+v$ и $uv={\tfrac {1}{3}}p.$ Таким образом, вплоть до обмена u и $v,$ у нас есть $s_{1}=3u$ и $s_{2}=3v.$ Другими словами, в этом случае метод Кардано и метод Лагранжа вычисляют одно и то же, с точностью до трех раз во вспомогательных переменных, главное отличие состоит в том, что метод Лагранжа объясняет, почему эти вспомогательные переменные появляются в задаче.

Вычисление S и P

Непосредственное вычисление с использованием соотношений ξ ³ = 1 и ξ ² + ξ + 1 = 0 дает

${\begin{aligned}P&=s_{1}s_{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-(x_{0}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{0}),\\S&=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}=2(x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-3(x_{0}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{0}+x_{0}x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_{0}^{2})+12x_{0}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}$

Это показывает, что P и S являются симметричными функциями корней. Используя тождества Ньютона , их несложно выразить через элементарные симметрические функции корней, давая

${\begin{aligned}P&=e_{1}^{2}-3e_{2},\\S&=2e_{1}^{3}-9e_{1}e_{2}+27e_{3},\end{aligned}}$

где e ₁ = 0 , e ₂ = p и e ₃ = − q в случае вдавленной кубики, и e ₁ = − б / а , е ₂ = c / a и e ₃ = − д / а , в общем случае.

Приложения

Кубические уравнения возникают и в других контекстах.

По математике

• Трисекция угла и удвоение куба — две древние задачи геометрии , которые, как было доказано, неразрешимы с помощью линейки и циркуля , поскольку они эквивалентны решению кубического уравнения.
• Теорема Мардена утверждает, что фокусы любого эллипса Штейнера треугольника можно найти с помощью кубической функции, корнями которой являются координаты в комплексной плоскости трех вершин треугольника. Корнями первой производной этой кубики являются комплексные координаты этих фокусов.
• Площадь семиугольника правильного можно выразить через корни кубического. Кроме того, отношения длинной диагонали к стороне, стороны к короткой диагонали и отрицательное отношение короткой диагонали к длинной диагонали удовлетворяют определенному кубическому уравнению. Кроме того, отношение внутреннего радиуса к описанному радиусу семиугольного треугольника является одним из решений кубического уравнения. Значения тригонометрических функций углов, связанных с $2\pi /7$ удовлетворяют кубическим уравнениям.
• Учитывая косинус (или другую тригонометрическую функцию) произвольного угла, косинус одной трети этого угла является одним из корней кубики.
• Решение общего уравнения четвертой степени опирается на решение его резольвентной кубики .
• Собственные значения 3×3 матрицы являются корнями кубического многочлена, который является характеристическим многочленом матрицы.
• Характеристическое уравнение постоянного коэффициента третьего порядка или Коши – Эйлера (равномерные переменные коэффициенты) линейное дифференциальное уравнение или разностное уравнение представляет собой кубическое уравнение.
• Точки пересечения кубической кривой Безье и прямой линии можно вычислить с помощью прямого кубического уравнения, представляющего кривую Безье.
• Критические точки функции четвертой степени находятся путем решения кубического уравнения (множество производных равно нулю).
• Точки перегиба функции пятой степени являются решением кубического уравнения (вторая производная равна нулю).

В других науках

• В аналитической химии уравнение Шарло , которое можно использовать для определения pH буферных растворов , можно решить с помощью кубического уравнения.
• В термодинамике уравнения состояния (которые связывают давление, объем и температуру веществ), например уравнение состояния Ван-дер-Ваальса , являются кубическими по объему.
• Кинематические уравнения , включающие линейные скорости ускорения, являются кубическими.
• Скорость сейсмических волн Рэлея является решением волнового кубического уравнения Рэлея .
• Установившаяся скорость транспортного средства, движущегося по склону с трением воздуха, для заданной входной мощности решается с помощью депрессивного кубического уравнения.
• Третий закон движения планет Кеплера является кубическим по большой полуоси.

Ссылки

• Гильбо, Люси (1930), «История решения кубического уравнения», Mathematics News Letter , 5 (4): 8–12, doi : 10.2307/3027812 , JSTOR   3027812

Дальнейшее чтение

• Энглин, штат Вашингтон; Ламбек, Иоахим (1995), «Математика в эпоху Возрождения» , «Наследие Фалеса» , Спрингерс, стр. 125–131, ISBN  978-0-387-94544-6 Ч. 24.
• Денс, Т. (ноябрь 1997 г.), «Кубики, хаос и метод Ньютона», Mathematical Gazette , 81 (492), Mathematical Association : 403–408, doi : 10.2307/3619617 , ISSN   0025-5572 , JSTOR   3619617 , S2CID   1251967 96
• Dunnett, R. (ноябрь 1994), «Ньютон-Рафсон и Кубический», Математическая газетта , 78 (483), Математическая ассоциация : 347–348, doi : 10.2307/3620218 , ISSN   0025-5572 , JSTOR   3620218 , S2CID   125643035
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47189-1
• Митчелл, Д.В. (ноябрь 2007 г.), «Решение кубиков путем решения треугольников», Mathematical Gazette , 91 , Mathematical Association : 514–516, doi : 10.1017/S0025557200182178 , ISSN   0025-5572 , S2CID   124710259
• Митчелл, Д.В. (ноябрь 2009 г.), «Степени φ как корни кубических чисел», Mathematical Gazette , 93 , Mathematical Association , doi : 10.1017/S0025557200185237 , ISSN   0025-5572 , S2CID   126286653
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 5.6 Квадратные и кубические уравнения» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Рехтшаффен, Эдгар (июль 2008 г.), «Действительные корни кубик: явная формула для квазирешений», Mathematical Gazette , 92 , Mathematical Association : 268–276, doi : 10.1017/S0025557200183147 , ISSN   0025-5572 , S2CID   1258 70578
• Цукер, И. Дж. (июль 2008 г.), «Кубическое уравнение – новый взгляд на неприводимый случай», Mathematical Gazette , 92 , Mathematical Association : 264–268, doi : 10.1017/S0025557200183135 , ISSN   0025-5572 , S2CID   125986006

Внешние ссылки

• «Формула Кардано» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• История квадратных, кубических и четвертых уравнений в архиве MacTutor .
• 500 лет НЕ преподавания КУБИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ. С чем, по их мнению, ты не справишься? - на YouTube Видео от Mathologer об истории кубических уравнений и решении Кардано, а также о решении Феррари уравнений четвертой степени.