Неприводимый полином

Эта статья о нефакторизуемых полиномах. Для полиномов, которые не являются композицией полиномов, см. Неразложимый полином .

В математике называют неприводимым многочленом , грубо говоря, многочлен , который нельзя разложить на произведение двух непостоянных многочленов . Свойство неприводимости зависит от природы коэффициентов , принимаемых за возможные факторы, т. е. кольца , которому предположительно принадлежат коэффициенты многочлена и его возможные факторы. Например, полином x ² − 2 — многочлен с целыми коэффициентами, но, поскольку каждое целое число также является действительным числом , оно также является многочленом с действительными коэффициентами. Он неприводим, если его рассматривать как многочлен с целыми коэффициентами, но он факторизуется как $\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)$ если его рассматривать как многочлен с действительными коэффициентами. Говорят, что многочлен x ² − 2 неприводимо в целых числах, но не в действительных числах.

Полиномиальную неприводимость можно рассматривать для многочленов с коэффициентами в области целостности , и существует два общих определения. Чаще всего многочлен над областью целостности R называется неприводимым если он не является произведением двух многочленов, коэффициенты которых лежат в R и которые не являются единицей в R. , Эквивалентно, для этого определения неприводимый многочлен — это неприводимый элемент в кольцах многочленов R. над Если R — поле, два определения неприводимости эквивалентны. Согласно второму определению, многочлен является неприводимым, если его нельзя разложить на многочлены с коэффициентами из одной и той же области, оба из которых имеют положительную степень. Эквивалентно, многочлен является неприводимым, если он неприводим в поле частных области целой области. Например, полином $2(x^{2}-2)\in \mathbb {Z} [x]$ неприводима для второго определения, а не для первого. С другой стороны, $x^{2}-2$ является неприводимым в $\mathbb {Z} [x]$ для двух определений, хотя оно сводится к $\mathbb {R} [x].$

Полином, неприводимый над любым полем, содержащим коэффициенты, является абсолютно неприводимым . По основной теореме алгебры одномерный многочлен абсолютно неприводим тогда и только тогда, когда его степень равна единице. С другой стороны, при нескольких неопределенных существуют абсолютно неприводимые многочлены любой степени, например $x^{2}+y^{n}-1,$ для любого положительного целого числа n .

Полином, который не является неприводимым, иногда называют приводимым многочленом .

Неприводимые многочлены естественным образом возникают при изучении факторизации полиномов и расширений алгебраических полей .

Полезно сравнивать неприводимые многочлены с простыми числами : простые числа (вместе с соответствующими отрицательными числами равной величины) являются неприводимыми целыми числами . Они демонстрируют многие общие свойства концепции «неприводимости», которые в равной степени применимы к неприводимым полиномам, такие как по существу уникальная факторизация на простые или неприводимые факторы. Когда кольцо коэффициентов является полем или другой уникальной областью факторизации , неприводимый многочлен также называется простым многочленом , поскольку он порождает простой идеал .

Определение

Если F — поле, непостоянный многочлен неприводим над F, его коэффициенты принадлежат F и его нельзя разложить на произведение двух непостоянных многочленов с коэффициентами из F. если

Полином с целыми коэффициентами или, в более общем смысле, с коэффициентами в уникальной области факторизации R иногда называют неприводимым (или неприводимым над R ), если он является неприводимым элементом кольца многочленов , то есть он не обратим. , не равен нулю и не может быть разложен на произведение двух необратимых многочленов с коэффициентами из R . Это определение обобщает определение, данное для случая коэффициентов в поле, потому что над полем непостоянные многочлены - это именно те многочлены, которые не являются обратимыми и ненулевыми.

Часто используется другое определение, говорящее, что многочлен неприводим над R, он неприводим над полем частных чисел R если (полем рациональных чисел , если R — целые числа). Это второе определение не используется в этой статье. Эквивалентность двух определений зависит от R .

Простые примеры

Следующие шесть полиномов демонстрируют некоторые элементарные свойства приводимых и неприводимых многочленов:

${\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}$

По целым числам первые три многочлена приводимы (третий приводим, поскольку множитель 3 необратим в целых числах); последние два несократимы. (Четвертый, конечно, не является многочленом от целых чисел.)

Над рациональными числами первые два и четвертый многочлены приводимы, но остальные три многочлена неприводимы (как многочлен над рациональными числами 3 является единицей и , следовательно, не считается множителем).

По действительным числам первые пять многочленов приводимы, но $p_{6}(x)$ является нередуцируемым.

Над комплексными числами все шесть многочленов приводимы.

Над комплексными числами

Над комплексным полем и, в более общем плане, над алгебраически замкнутым полем одномерный многочлен неприводим тогда и только тогда, когда его степень равна единице. Этот факт известен как основная теорема алгебры в случае комплексных чисел и вообще как условие алгебраической замкнутости.

Отсюда следует, что каждый непостоянный одномерный полином можно факторизовать как

$a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)$

где $n$ это степень, $a$ является ведущим коэффициентом и $z_{1},\dots ,z_{n}$ являются нулями многочлена (не обязательно различными и не обязательно имеющими явные алгебраические выражения ).

существуют неприводимые многомерные многочлены Над комплексными числами любой степени. Например, полином

$x^{n}+y^{n}-1,$

определяющая кривую Ферма , неприводима для любого положительного n .

Над реальными событиями

В поле действительных чисел степень . неприводимого одномерного многочлена равна единице или двум Точнее, неприводимыми многочленами являются многочлены первой степени и квадратичные многочлены $ax^{2}+bx+c$ которые имеют отрицательный дискриминант $b^{2}-4ac.$ Отсюда следует, что каждый непостоянный одномерный многочлен можно разложить на множители как произведение многочленов степени не выше двух. Например, $x^{4}+1$ факторы над действительными числами, как $\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),$ и его нельзя факторизовать дальше, поскольку оба фактора имеют отрицательный дискриминант: $\left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.$

Уникальное свойство факторизации

Основная статья: Уникальная область факторизации

Каждый многочлен над полем F можно разложить на произведение ненулевой константы и конечного числа неприводимых (над F ) многочленов. Это разложение уникально с точностью до порядка множителей и умножения множителей на ненулевые константы, произведение которых равно 1.

В уникальной области факторизации справедлива та же самая теорема, но она более точно формулируется с использованием понятия примитивного полинома. — Примитивный многочлен это многочлен из уникальной области факторизации, такой, что 1 — наибольший общий делитель его коэффициентов.

Пусть F — уникальная область факторизации. Непостоянный неприводимый полином над F является примитивным. Примитивный многочлен над F неприводим над F только тогда, когда он неприводим над полем частных F тогда и . Каждый многочлен над F можно разложить в произведение ненулевой константы и конечного числа непостоянных неприводимых примитивных многочленов. Ненулевая константа сама может быть разложена на произведение единицы и конечного F числа неприводимых элементов F . Обе факторизации уникальны с точностью до порядка факторов и умножения факторов на единицу F .

Именно эта теорема объясняет, что определение неприводимого полинома в уникальной области факторизации часто предполагает, что полином непостоянен.

Все алгоритмы , которые в настоящее время реализованы для факторизации полиномов по целым и рациональным числам, используют этот результат (см. Факторизация полиномов ).

Над целыми числами и конечными полями

Неприводимость полинома по целым числам $\mathbb {Z}$ связано с тем, что над полем $\mathbb {F} _{p}$ из $p$ элементы (для простого $p$). В частности, если одномерный полином f над $\mathbb {Z}$ является неприводимым над $\mathbb {F} _{p}$ для какого-то премьера $p$ который не делит старший коэффициент f (коэффициент старшей степени переменной), то f неприводим по $\mathbb {Z}$ (то есть это не произведение двух непостоянных многочленов с целыми коэффициентами). Критерий Эйзенштейна представляет собой вариант этого свойства, при котором неприводимость по $p^{2}$ тоже участвует.

Обратное, однако, неверно: существуют многочлены сколь угодно большой степени, неприводимые в целых числах и приводимые в любом конечном поле. Простой пример такого полинома: $x^{4}+1.$

Связь между неприводимостью целых чисел и неприводимостью по модулю p глубже, чем предыдущий результат: на сегодняшний день все реализованные алгоритмы факторизации и неприводимости целых и рациональных чисел используют факторизацию по конечным полям в качестве подпрограммы .

Число степени n неприводимых монических полиномов над полем $\mathbb {F} _{q}$ для q степень простого числа определяется функцией подсчета ожерелья Моро :

$M(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},$

где ц — функция Мёбиуса . Для q = 2 такие полиномы обычно используются для генерации псевдослучайных двоичных последовательностей .

В некотором смысле почти все многочлены с нулевым или одним коэффициентом неприводимы в целых числах. Точнее, если предположить версию гипотезы Римана для дзета-функций Дедекинда , вероятность того, что полином будет неприводимым по целым числам для многочлена со случайными коэффициентами в {0, 1}, стремится к единице при увеличении степени.

Алгоритмы

Основная статья: Факторизация полиномов

Уникальное свойство факторизации многочленов не означает, что факторизацию данного многочлена всегда можно вычислить. Даже неприводимость многочлена не всегда можно доказать с помощью вычислений: существуют поля, в которых не алгоритм может существовать определения неприводимости произвольных многочленов.

Алгоритмы факторизации многочленов и определения неприводимости известны и реализованы в системах компьютерной алгебры для многочленов над целыми числами, рациональных чисел, конечных полей и конечно порожденного расширения этих полей. Все эти алгоритмы используют алгоритмы факторизации полиномов по конечным полям .

Расширение поля

Основная статья: Алгебраическое расширение

Понятия неприводимого полинома и расширения алгебраического поля тесно связаны следующим образом.

Пусть x элемент расширения L поля K. — Этот элемент называется алгебраическим если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из K. , Среди многочленов, у которых x является корнем, есть ровно один, который является унитарным и минимальной степени, называемым минимальным многочленом от x . Минимальный многочлен алгебраического элемента x из L неприводим и является единственным моническим неприводимым многочленом, x корнем которого является . Минимальный многочлен от x делит каждый многочлен, имеющий x корень (это теорема Абеля о неприводимости ).

И наоборот, если $P(X)\in K[X]$ – одномерный полином над полем K , пусть $L=K[X]/P(X)$ — факторкольцо кольца многочленов $K[X]$ идеалом порожденным P. ​ , Тогда L является полем тогда и только тогда, когда неприводимо над K. P В этом случае, если x — образ X в L , минимальный полином x — это фактор P по его старшему коэффициенту .

Примером вышеизложенного является стандартное определение комплексных чисел как $\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).$

Если многочлен P имеет неприводимый множитель Q над K , который имеет степень больше единицы, можно применить к Q предыдущую конструкцию алгебраического расширения, чтобы получить расширение, в котором имеет хотя бы на один корень больше, чем в K. P Повторяя эту конструкцию, в конечном итоге получаем поле, по которому P разлагается на линейные факторы. Это поле, единственное до изоморфизма полей , называется полем расщепления P. с точностью

Над целой областью

Если R — область целостности , элемент f из R , который не является ни нулем, ни единицей, называется неприводимым, если нет неединичных g и h с f = gh . Можно показать, что каждый простой элемент неприводим; Обратное неверно в общем случае, но справедливо в уникальных областях факторизации . Кольцо многочленов F [ x ] над полем F (или любой областью уникальной факторизации) снова является уникальной областью факторизации. Индуктивно это означает, что кольцо многочленов от n неопределенных (над кольцом R ) является уникальной областью факторизации, если то же самое верно R. для

См. также

• Лемма Гаусса (полиномиальная)
• Теорема о рациональном корне , метод определения того, имеет ли полином линейный множитель с рациональными коэффициентами.
• Критерий Эйзенштейна
• Критерий неприводимости Перрона
• Теорема Гильберта о неприводимости
• Критерий неприводимости Кона
• Неприводимая компонента топологического пространства
• Факторизация полиномов по конечным полям
• Функция квартики § Приводимые квартики
• Кубическая функция § Факторизация
• Casus нередуцибилис , неприводимая кубика с тремя действительными корнями.
• Квадратное уравнение § Квадратичная факторизация

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 . Эта классическая книга охватывает большую часть содержания этой статьи.
• Галлиан, Джозеф (2012), Современная абстрактная алгебра (8-е изд.), Cengage Learning, ISBN  978-1285402734
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997), Конечные поля (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-39231-0 , стр. 91 .
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999), Алгебра (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  9780821816462
• Менезес, Альфред Дж .; Ван Оршот, Пол С .; Ванстон, Скотт А. (1997), Справочник по прикладной криптографии , CRC Press , ISBN  978-0-8493-8523-0 , стр. 154 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Неприводимый полином» . Математический мир .
• неприводимый полином в PlanetMath .
• Информация о примитивных и неприводимых полиномах , Сервер (комбинаторных) объектов.