Алгебраическое расширение

В математике алгебраическое расширение — это расширение поля $L / K$ такое, что каждый элемент большего поля $L$ является алгебраическим над меньшим полем $K$ ; то есть каждый элемент $L$ является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из $K$ . ^[1]^[2] Расширение поля, которое не является алгебраическим, называется трансцендентным и должно содержать трансцендентные элементы , то есть элементы, которые не являются алгебраическими. ^[3]^[4]

Алгебраические расширения поля $\mathbb {Q}$ рациональных чисел называются полями алгебраических чисел и являются основными объектами изучения теории алгебраических чисел . Другим примером общего алгебраического расширения является расширение $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ действительных чисел комплексными числами .

Некоторые свойства [ править ]

Все трансцендентные расширения имеют бесконечную степень . Это, в свою очередь, означает, что все конечные расширения алгебраичны. ^[5] Однако обратное неверно : существуют бесконечные расширения, которые являются алгебраическими. ^[6] Например, поле всех алгебраических чисел представляет собой бесконечное алгебраическое расширение рациональных чисел. ^[7]

Пусть $E —$ расширения $K$ и $a \in E.$ поле Наименьшее подполе $E$ , содержащее $K$ и $a,$ обычно обозначается $K(a).$ Если $a$ алгебраична над $K$ , то элементы $K (a)$ могут быть выражены как многочлены от $a$ с коэффициентами из K ; то есть $K (a)$ также является наименьшим кольцом , содержащим $K$ и $a$ . В этом случае, $K(a)$ является конечным расширением $K$ (это конечномерное $K$ -векторное пространство), и все его элементы алгебраичны над $K$ . ^[8] Эти свойства не выполняются, если $a$ не является алгебраическим. Например, $\mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ],$ и они оба являются бесконечномерными векторными пространствами над $\mathbb {Q} .$ ^[9]

F Алгебраически замкнутое поле не имеет собственных алгебраических расширений, т. е. алгебраических расширений E таких, что F < E . ^[10] Примером может служить поле комплексных чисел. Каждое поле имеет алгебраическое расширение, которое является алгебраически замкнутым (называемым его алгебраическим замыканием ), но для доказательства этого обычно требуется некоторая форма аксиомы выбора . ^[11]

Расширение L / K является алгебраическим тогда и только тогда, когда каждая подK - алгебра L является полем .

Свойства [ править ]

Имеют место следующие три свойства: ^[12]

Если E — алгебраическое расширение F и F — алгебраическое расширение K то E — алгебраическое расширение K. ,
Если E и F — алгебраические расширения поля K в общем надполе C , то композит EF является алгебраическим расширением K. поля
Если E — алгебраическое расширение F и E > K > F , то E — алгебраическое расширение K .

Эти финитные результаты можно обобщить с помощью трансфинитной индукции:

Объединение любой цепочки алгебраических расширений над основным полем само по себе является алгебраическим расширением над тем же основным полем.

Этот факт вместе с леммой Цорна (применённой к соответствующим образом выбранному частичному множеству ) устанавливает существование алгебраических замыканий .

Обобщения [ править ]

Теория моделей понятие алгебраического расширения на произвольные теории: вложение M обобщает в N называется алгебраическим расширением , если для каждого x в N существует формула p с параметрами из M , такая что p ( x ) истинно и множество

\left\{y\in N\mid p(y)\right\}

конечно. Оказывается, применение этого определения к теории полей дает обычное определение алгебраического расширения. Группу Галуа группы N над M снова можно определить как группу автоморфизмов , и оказывается , что большая часть теории групп Галуа может быть развита для общего случая.

замыкания алгебраические Относительные

Учитывая поле k и поле K , содержащее k , можно определить относительное алгебраическое замыкание k K в K как подполе K , состоящее из всех элементов , которые являются алгебраическими над k , то есть всех элементов K , которые являются корнем поля K. некоторый ненулевой многочлен с коэффициентами из k .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Фрели (2014), Определение 31.1, с. 283.
^ Малик, Мордон, Сен (1997), Определение 21.1.23, стр. 453.
^ Фрели (2014), Определение 29.6, стр. 267.
^ Малик, Мордон, Сен (1997), теорема 21.1.8, с. 447.
^ См. также Хазевинкель и др. (2004), стр. 3.
^ Фрели (2014), теорема 31.18, с. 288.
^ Фрели (2014), следствие 31.13, с. 287.
^ Фрели (2014), Теорема 30.23, с. 280.
^ Фрели (2014), пример 29.8, с. 268.
^ Фрели (2014), следствие 31.16, с. 287.
^ Фрели (2014), Теорема 31.22, с. 290.
^ Ланг (2002) стр.228

Ссылки [ править ]

Фрэли, Джон Б. (2014), Первый курс абстрактной алгебры , Пирсон, ISBN 978-1-292-02496-7
Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules , vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
Ланг, Серж (1993), «V.1: Алгебраические расширения», Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, стр. 223 и далее, ISBN 978-0-201-55540-0 , Збл 0848.13001
Малик, Д.Б.; Мордесон, Джон Н.; Сен, МК (1997), Основы абстрактной алгебры , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
Маккарти, Пол Дж. (1991) [исправленная перепечатка 2-го издания, 1976 г.], Алгебраические расширения полей , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4 , Збл 0768.12001
Роман, Стивен (1995), Теория поля , GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
Ротман, Джозеф Дж. (2002), Продвинутая современная алгебра , Прентис Холл, ISBN 9780130878687

[1] Фрели (2014), Определение 31.1, с. 283.

[2] Малик, Мордон, Сен (1997), Определение 21.1.23, стр. 453.

[3] Фрели (2014), Определение 29.6, стр. 267.

[4] Малик, Мордон, Сен (1997), теорема 21.1.8, с. 447.

[5] См. также Хазевинкель и др. (2004), стр. 3.

[6] Фрели (2014), теорема 31.18, с. 288.

[7] Фрели (2014), следствие 31.13, с. 287.

[8] Фрели (2014), Теорема 30.23, с. 280.

[9] Фрели (2014), пример 29.8, с. 268.

[10] Фрели (2014), следствие 31.16, с. 287.

[11] Фрели (2014), Теорема 31.22, с. 290.

[12] Ланг (2002) стр.228

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]