Теорема Люрота
В математике утверждает , теорема Люрота что каждое поле , лежащее между полем K и полем рациональных функций K ( X должно быть порождено как расширение K ) , с помощью одного элемента K ( X ). Этот результат назван в честь Якоба Люрота , доказавшего его в 1876 году. [ 1 ]
Заявление
[ редактировать ]Позволять быть полем и быть промежуточным полем между и , для некоторого неопределенного X . Тогда существует рациональная функция такой, что . Другими словами, каждый промежуточное расширение между и это простое расширение .
Доказательства
[ редактировать ]Доказательство теоремы Люрота можно легко вывести из теории рациональных кривых , используя геометрический род . [ 2 ] Этот метод неэлементарен, но уже давно известно несколько коротких доказательств, использующих только основы теории поля , в основном с использованием понятия степени трансцендентности . [ 3 ] Многие из этих простых доказательств используют лемму Гаусса о примитивных многочленах . в качестве основного шага [ 4 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Бурау, Вернер (2008), «Люэрот (или Люрот), Якоб», Полный словарь научной биографии
- ^ Кон, П.М. (1991), Алгебраические числа и алгебраические функции , Серия Chapman Hall/CRC Mathematics, vol. 4, ЦРК Пресс, с. 148, ISBN 9780412361906 .
- ^ Ланг, Серж (2002). «Глава VIII.1 Основы трансцендентности». Алгебра . Тексты для аспирантов по математике. Том. 211 (3-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 355. дои : 10.1007/978-1-4613-0041-0 . ISBN 978-1-4612-6551-1 .
- ^ Например, см. этот документ или Майнс, Рэй; Ричман, Фред (1988), Курс конструктивной алгебры , Universitext, Springer, стр. 148, ISBN 9780387966403 .