Стоксов поток

Поток Стокса (названный в честь Джорджа Габриэля Стокса ), также называемый ползучим потоком или ползучим движением , ^[1] это тип потока жидкости , при котором адвективные силы инерции малы по сравнению с вязкими силами. ^[2] Число Рейнольдса мало, т.е. $\mathrm {Re} \ll 1$ . Это типичная ситуация в потоках, где скорости жидкости очень малы, вязкость очень велика или масштаб потока очень мал. Ползучее течение было впервые изучено для понимания процесса смазки . В природе этот тип течения встречается при плавании микроорганизмов и сперматозоидов . ^[3] В технологии это происходит в красках , устройствах MEMS и вообще в потоке вязких полимеров .

Уравнения движения потока Стокса, называемые уравнениями Стокса, представляют собой линеаризацию уравнений Навье – Стокса и, таким образом, могут быть решены рядом хорошо известных методов для линейных дифференциальных уравнений. ^[4] Основной функцией Грина потока Стокса является функция Стокса , которая связана с особой точечной силой, встроенной в поток Стокса. Из ее производных и другие фундаментальные решения . можно получить ^[5] Стокслет был впервые выведен Осеном в 1927 году, хотя Хэнкок не называл его таковым до 1953 года. ^[6] в замкнутой форме фундаментальные решения для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена, связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями. Для ньютоновских уравнений получены ^[7] и микрополярный ^[8] жидкости.

Уравнения Стокса

Уравнение движения стоксова потока можно получить путем линеаризации стационарных уравнений Навье – Стокса . Предполагается, что инерционные силы пренебрежимо малы по сравнению с вязкими силами, и исключение инерционных членов баланса количества движения в уравнениях Навье – Стокса сводит его к балансу количества движения в уравнениях Стокса: ^[1]

{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}

где $\sigma$ – напряжение (сумма вязких и сжимающих напряжений), ^[9]^[10] и $\mathbf {f}$ приложенная к телу сила. Полные уравнения Стокса также включают уравнение сохранения массы , обычно записываемое в форме:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0

где $\rho$ плотность жидкости и $\mathbf {u}$ скорость жидкости. Для получения уравнений движения несжимаемого течения предполагается, что плотность $\rho$ , является константой.

Кроме того, иногда можно рассмотреть нестационарные уравнения Стокса, в которых член $\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$ добавляется в левую часть уравнения баланса импульса. ^[1]

Характеристики

Уравнения Стокса представляют собой значительное упрощение полных уравнений Навье – Стокса , особенно в несжимаемом ньютоновском случае. ^[2]^[4]^[9]^[10] Они представляют собой упрощение главного порядка полных уравнений Навье – Стокса, справедливое в отмеченном пределе. $\mathrm {Re} \to 0.$

Мгновенность: Поток Стокса не зависит от времени, кроме зависящих от времени граничных условий . Это означает, что при заданных граничных условиях потока Стокса поток можно найти, не зная течения в любой другой момент времени.

обратимость времени: Непосредственное следствие мгновенности, обратимость во времени, означает, что обращенный во времени поток Стокса решает те же уравнения, что и исходный поток Стокса. Это свойство иногда можно использовать (в сочетании с линейностью и симметрией граничных условий) для получения результатов о потоке без его полного решения. Обратимость во времени означает, что трудно смешать две жидкости, используя ползущий поток.
Обратимость стоксовых потоков во времени: краситель был введен в вязкую жидкость, зажатую между двумя концентрическими цилиндрами (верхняя панель). Затем основной цилиндр вращается, чтобы срезать краситель по спирали, если смотреть сверху. Краситель кажется смешанным с жидкостью, если смотреть сбоку (средняя панель). Затем вращение меняется на противоположное, возвращая цилиндр в исходное положение. Краситель «растворяется» (нижняя панель). Обратное обращение не является идеальным, поскольку происходит некоторая диффузия красителя. ^[11]^[12]

Хотя эти свойства верны для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейный и иногда зависящий от времени характер неньютоновских жидкостей означает, что они не выполняются в более общем случае.

Парадокс Стокса

Интересное свойство потока Стокса известно как парадокс Стокса : не может быть стоксова потока жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, тот факт, что не существует нетривиального решения уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра. ^[13]

Демонстрация обратимости времени

Система Тейлора-Куэтта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся мимо друг друга по видимой спирали. ^[14] Жидкость, такая как кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, при этом цветные области жидкости видны через прозрачный внешний цилиндр.Цилиндры вращаются друг относительно друга с низкой скоростью, что вместе с высокой вязкостью жидкости и тонкостью зазора дает низкое число Рейнольдса , так что кажущееся смешение цветов на самом деле является ламинарным и затем может быть обращено примерно к исходное состояние. Это создает эффектную демонстрацию того, как жидкость смешивается, а затем размешивается, меняя направление миксера. ^[15]^[16]^[17]

Несжимаемое течение ньютоновских жидкостей

В общем случае несжимаемой ньютоновской жидкости уравнения Стокса принимают (векторизованный) вид:

{\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}

где $\mathbf {u}$ - скорость жидкости, ${\boldsymbol {\nabla }}p$ градиент давления , $\mu$ - динамическая вязкость, а $\mathbf {f}$ приложенная к телу сила. Полученные уравнения являются линейными по скорости и давлению и, следовательно, могут использовать преимущества различных средств решения линейных дифференциальных уравнений. ^[4]

Декартовы координаты

При расширении вектора скорости как $\mathbf {u} =(u,v,w)$ и аналогично вектор объемной силы $\mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})$ , мы можем написать векторное уравнение явно:

{\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}

Мы приходим к этим уравнениям, делая предположения, что $\mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I}$ и плотность $\rho$ является константой. ^[9]

Методы решения

По потоковой функции

Уравнение несжимаемого ньютоновского течения Стокса может быть решено методом функции тока в плоском или трехмерном осесимметричном случае.

Тип функции	Геометрия	Уравнение	Комментарии
Функция потока , $\psi$	2-D планарный	$\nabla ^{4}\psi =0$ или $\Delta ^{2}\psi =0$ ( бигармоническое уравнение )	$\Delta$ — оператор Лапласа в двух измерениях
функция потока Стокса , $\Psi$	3-D сферический	$E^{2}\Psi =0,$ где $E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)$	Для вывода $E$ оператор см. функцию потока Стокса # Завихрение
функция потока Стокса , $\Psi$	3-D цилиндрический	$L_{-1}^{2}\Psi =0,$ где $L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}$	Для $L_{-1}$ видеть ^[18]

По функции Грина: Стокслет

Линейность уравнений Стокса в случае несжимаемой ньютоновской жидкости означает что функция Грина , $\mathbb {J} (\mathbf {r} )$ , существует. Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой вынуждающего члена точечной силой, действующей в начале координат, и граничными условиями, исчезающими на бесконечности:

{\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}

где $\mathbf {\delta } (\mathbf {r} )$ – дельта-функция Дирака , а $\mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )$ представляет собой точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления p и скорости u с | ты | и p, исчезающее на бесконечности, определяется выражением ^[1]

\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}

где

\mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)

второго ранга — тензор (или, точнее, тензорное поле ), известный как тензор Озеена (по имени Карла Вильгельма Осеена ). Здесь r r — такая величина, что $\mathbf {F} \cdot (\mathbf {r} \mathbf {r} )=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r}$ . ^{[ нужны разъяснения ]}

Термины Стокслета и решение точечной силы используются для описания $\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )$ . Аналогично точечному заряду в электростатике , заряд Стокса свободен везде, кроме начала координат, где он содержит силу силы. $\mathbf {F}$ .

Для распределения непрерывной силы (плотности) $\mathbf {f} (\mathbf {r} )$ тогда решение (снова исчезающее на бесконечности) можно построить с помощью суперпозиции:

\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'}

Такое интегральное представление скорости можно рассматривать как понижение размерности: от трехмерного уравнения в частных производных к двумерному интегральному уравнению для неизвестных плотностей. ^[1]

По решению Папковича–Нейбера

Решение Папковича –Нейбера представляет поля скорости и давления несжимаемого ньютоновского стоксова потока через два гармонических потенциала.

Методом граничных элементов

Некоторые задачи, например эволюция формы пузырька в стоксовом потоке, пригодны для численного решения методом граничных элементов . Этот метод можно применять как к 2-, так и к 3-мерным потокам.

Некоторые геометрии

Поток Хеле-Шоу

Поток Хеле-Шоу является примером геометрии, для которой силы инерции пренебрежимо малы. Он определяется двумя параллельными пластинами, расположенными очень близко друг к другу, причем пространство между пластинами занято частично жидкостью, частично препятствиями в виде цилиндров с образующими, перпендикулярными пластинам. ^[9]

Теория стройного тела

Теория тонкого тела в стоксовом течении представляет собой простой приближенный метод определения поля безвихревого течения вокруг тел, длина которых велика по сравнению с их шириной. Основой метода является выбор такого распределения особенностей течения вдоль линии (ввиду тонкости тела), чтобы их безвихревое течение в сочетании с однородным потоком приблизительно удовлетворяло условию нулевой нормальной скорости. ^[9]

Сферические координаты

Общее решение Лэмба возникает из-за того, что давление $p$ удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть разложен в ряд твердых сферических гармоник в сферических координатах. В результате решение уравнений Стокса можно записать:

{\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}

где $p_{n},\Phi _{n},$ и $\chi _{n}$ представляют собой сплошные сферические гармоники порядка $n$ :

{\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}

и $P_{n}^{m}$ являются ассоциированными полиномами Лежандра . Решение Лэмба можно использовать для описания движения жидкости как внутри, так и вне сферы. Например, его можно использовать для описания движения жидкости вокруг сферической частицы с заданным поверхностным потоком, так называемого квирмера , или для описания течения внутри сферической капли жидкости. Для внутренних течений условия с $n<0$ опускаются, а для внешних потоков слагаемые с $n>0$ отбрасываются (часто соглашение $n\to -n-1$ предполагается для внешних потоков, чтобы избежать индексации отрицательными числами). ^[1]

Теоремы

Решение Стокса и связанная с ним теорема Гельмгольца

Здесь суммировано сопротивление лобовому сопротивлению движущейся сферы, также известное как решение Стокса. Дана сфера радиуса $a$ , движущийся со скоростью $U$ , в жидкости Стокса с динамической вязкостью $\mu$ , сила сопротивления $F_{D}$ дается: ^[9]

F_{D}=6\pi \mu aU

Решение Стокса рассеивает меньше энергии, чем любое другое соленоидальное векторное поле с теми же граничными скоростями: это известно как теорема Гельмгольца о минимальной диссипации . ^[1]

Теорема Лоренца взаимности

Теорема взаимности Лоренца утверждает связь между двумя потоками Стокса в одной и той же области. Рассмотрим область, заполненную жидкостью $V$ ограничен поверхностью $S$ . Пусть поля скорости $\mathbf {u}$ и $\mathbf {u} '$ решить уравнения Стокса в области $V$ , каждый с соответствующими полями напряжений $\mathbf {\sigma }$ и $\mathbf {\sigma } '$ . Тогда имеет место следующее равенство:

\int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS

Где $\mathbf {n}$ является ли единица нормальной на поверхности $S$ . Теорему взаимности Лоренца можно использовать, чтобы показать, что поток Стокса «передает» без изменений общую силу и крутящий момент от внутренней замкнутой поверхности к внешней охватывающей поверхности. ^[1] Теорему взаимности Лоренца также можно использовать для связи скорости плавания микроорганизма, такого как цианобактерия , со скоростью поверхности, которая определяется деформациями формы тела посредством ресничек или жгутиков . ^[19]Теорема взаимности Лоренца также использовалась в контексте эластогидродинамической теории для определения подъемной силы, действующей на твердый объект, движущийся по касательной к поверхности упругой границы раздела при низких числах Рейнольдса . ^[20]^[21]

Законы Факсена

Законы Факсена представляют собой прямые соотношения, которые выражают мультипольные моменты через окружающий поток и его производные. Впервые разработанный Хильдингом Факсеном для расчета силы. $\mathbf {F}$ и крутящий момент, $\mathbf {T}$ на сфере они принимают следующий вид:

{\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}

где $\mu$ – динамическая вязкость, $a$ - радиус частицы, $\mathbf {v} ^{\infty }$ это окружающий поток, $\mathbf {U}$ - скорость частицы, $\mathbf {\Omega } ^{\infty }$ – угловая скорость фонового потока, $\mathbf {\omega }$ – угловая скорость частицы.

Законы Факсена можно обобщить для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли. ^[1]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Ким, С. и Каррила, С.Дж. (2005) Микрогидродинамика: принципы и избранные приложения , Дувр. ISBN 0-486-44219-5 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кирби, Би Джей (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0 . Архивировано из оригинала 28 апреля 2019 г. Проверено 15 января 2010 г.
^ Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс ISBN 978-0-674-03116-6
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Лил, LG (2007). Расширенные явления переноса: механика жидкости и процессы конвективного переноса .
^ Чванг А. и Ву Т. (1974). «Гидромеханика потока с малыми числами Рейнольдса. Часть 2. Метод сингулярности для потоков Стокса». Архивировано 7 марта 2012 г. на Wayback Machine . Дж. Гидромеханика. 62 (6), ч. 4, 787–815.
^ Бреннен, Кристофер Э. «Особенности потока Стокса» (PDF) . Caltech.edu . п. 1. Архивировано из оригинала (PDF) 10 сентября 2021 года . Проверено 18 июля 2021 г.
^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Чван, Аллен Т. (2001). «Обобщенные фундаментальные решения для нестационарных вязких течений». Физический обзор E . 63 (5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Бибкод : 2001PhRvE..63e1201S . дои : 10.1103/PhysRevE.63.051201 . ПМИД 11414893 . S2CID 22258027 .
^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Ли, Дж. С. (2008). «Фундаментальные решения для микрополярных жидкостей». Журнал инженерной математики . 61 (1): 69–79. arXiv : 1402.5023 . Бибкод : 2008JEnMa..61...69S . дои : 10.1007/s10665-007-9160-8 . S2CID 3450011 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бэтчелор, ГК (2000). Введение в механику жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66396-0 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хаппель Дж. и Бреннер Х. (1981) Гидродинамика с низким числом Рейнольдса , Springer. ISBN 90-01-37115-9 .
^ Хеллер, Джон П. (1960). «Несмешиваемая демонстрация». Американский журнал физики . 28 (4): 348–353. Бибкод : 1960AmJPh..28..348H . дои : 10.1119/1.1935802 .
^ Эйрих, Фредерик, изд. (1967). Реология: теория и приложения . Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 23. ISBN 9780122343049 . Проверено 18 июля 2021 г.
^ Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 602–604 .
^ К. Дэвид Андерек , С. С. Лю и Гарри Л. Суинни (1986). Режимы течения в круговой системе Куэтта с независимо вращающимися цилиндрами. Журнал механики жидкости, 164, стр. 155–183 doi:10.1017/S0022112086002513
^ Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе , стр.46. Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс ISBN 978-0-674-03116-6 .
^ Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : «Ламинарный поток» . Ютуб .
^ «Документ без названия» .
^ Пейн, Ле; WH Пелл (1960). «Задача Стокса о течении для класса осесимметричных тел». Журнал механики жидкости . 7 (4): 529–549. Бибкод : 1960JFM.....7..529P . дои : 10.1017/S002211206000027X . S2CID 122685039 .
^ Стоун, Ховард А.; Сэмюэл, Аравинтан Д.Т. (ноябрь 1996 г.). «Размещение микроорганизмов за счет искажений поверхности». Письма о физических отзывах . 19. 77 (19): 4102–4104. Бибкод : 1996PhRvL..77.4102S . doi : 10.1103/PhysRevLett.77.4102 . ПМИД 10062388 .
^ Дадди-Мусса-Идер, А.; Раллабанди, Б.; Гекле, С.; Стоун, ХА (август 2018 г.). «Теорема взаимности для предсказания нормальной силы, действующей на частицу, перемещающуюся параллельно эластичной мембране». Физический обзор жидкостей . 3 (8): 084101. arXiv : 1804.08429 . Бибкод : 2018PhRvF...3h4101D . doi : 10.1103/PhysRevFluids.3.084101 . S2CID 55619671 .
^ Раллабанди, Б.; Сентивс, Б.; Жюль, Т.; Салез, Т; Шёнекер, К.; Махадеван, Л.; Стоун, штат Джорджия (июль 2017 г.). «Вращение погруженного цилиндра, скользящего вблизи тонкого упругого покрытия». Физический обзор жидкостей . 2 (7): 074102. arXiv : 1611.03552 . Бибкод : 2017PhRvF...2g4102R . doi : 10.1103/PhysRevFluids.2.074102 . S2CID 9790910 .

Окендон, Х. и Окендон Дж.Р. (1995) Вязкое течение , издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-45881-1 .

Внешние ссылки

Видеодемонстрация обратимости стоксова потока во времени от UNM Physics and Astronomy

[kim2005-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Ким, С. и Каррила, С.Дж. (2005) Микрогидродинамика: принципы и избранные приложения , Дувр. ISBN 0-486-44219-5 .

[Kirby-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кирби, Би Джей (2010). Микро- и наномасштабная механика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0 . Архивировано из оригинала 28 апреля 2019 г. Проверено 15 января 2010 г.

[3] Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс ISBN 978-0-674-03116-6

[Leal-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Лил, LG (2007). Расширенные явления переноса: механика жидкости и процессы конвективного переноса .

[Chwang-5] Чванг А. и Ву Т. (1974). «Гидромеханика потока с малыми числами Рейнольдса. Часть 2. Метод сингулярности для потоков Стокса». Архивировано 7 марта 2012 г. на Wayback Machine . Дж. Гидромеханика. 62 (6), ч. 4, 787–815.

[6] Бреннен, Кристофер Э. «Особенности потока Стокса» (PDF) . Caltech.edu . п. 1. Архивировано из оригинала (PDF) 10 сентября 2021 года . Проверено 18 июля 2021 г.

[7] Шу, Цзянь-Цзюнь; Чван, Аллен Т. (2001). «Обобщенные фундаментальные решения для нестационарных вязких течений». Физический обзор E . 63 (5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Бибкод : 2001PhRvE..63e1201S . дои : 10.1103/PhysRevE.63.051201 . ПМИД 11414893 . S2CID 22258027 .

[8] Шу, Цзянь-Цзюнь; Ли, Дж. С. (2008). «Фундаментальные решения для микрополярных жидкостей». Журнал инженерной математики . 61 (1): 69–79. arXiv : 1402.5023 . Бибкод : 2008JEnMa..61...69S . дои : 10.1007/s10665-007-9160-8 . S2CID 3450011 .

[Batchelor-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бэтчелор, ГК (2000). Введение в механику жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66396-0 .

[Happel-10] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хаппель Дж. и Бреннер Х. (1981) Гидродинамика с низким числом Рейнольдса , Springer. ISBN 90-01-37115-9 .

[11] Хеллер, Джон П. (1960). «Несмешиваемая демонстрация». Американский журнал физики . 28 (4): 348–353. Бибкод : 1960AmJPh..28..348H . дои : 10.1119/1.1935802 .

[12] Эйрих, Фредерик, изд. (1967). Реология: теория и приложения . Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 23. ISBN 9780122343049 . Проверено 18 июля 2021 г.

[13] Лэмб, Гораций (1945). Гидродинамика (Шестое изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 602–604 .

[14] К. Дэвид Андерек , С. С. Лю и Гарри Л. Суинни (1986). Режимы течения в круговой системе Куэтта с независимо вращающимися цилиндрами. Журнал механики жидкости, 164, стр. 155–183 doi:10.1017/S0022112086002513

[15] Дюсенбери, Дэвид Б. (2009). Жизнь в микромасштабе , стр.46. Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс ISBN 978-0-674-03116-6 .

[16] Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : «Ламинарный поток» . Ютуб .

[17] «Документ без названия» .

[18] Пейн, Ле; WH Пелл (1960). «Задача Стокса о течении для класса осесимметричных тел». Журнал механики жидкости . 7 (4): 529–549. Бибкод : 1960JFM.....7..529P . дои : 10.1017/S002211206000027X . S2CID 122685039 .

[Stone-19] Стоун, Ховард А.; Сэмюэл, Аравинтан Д.Т. (ноябрь 1996 г.). «Размещение микроорганизмов за счет искажений поверхности». Письма о физических отзывах . 19. 77 (19): 4102–4104. Бибкод : 1996PhRvL..77.4102S . doi : 10.1103/PhysRevLett.77.4102 . ПМИД 10062388 .

[Ider-20] Дадди-Мусса-Идер, А.; Раллабанди, Б.; Гекле, С.; Стоун, ХА (август 2018 г.). «Теорема взаимности для предсказания нормальной силы, действующей на частицу, перемещающуюся параллельно эластичной мембране». Физический обзор жидкостей . 3 (8): 084101. arXiv : 1804.08429 . Бибкод : 2018PhRvF...3h4101D . doi : 10.1103/PhysRevFluids.3.084101 . S2CID 55619671 .

[rallabandi-21] Раллабанди, Б.; Сентивс, Б.; Жюль, Т.; Салез, Т; Шёнекер, К.; Махадеван, Л.; Стоун, штат Джорджия (июль 2017 г.). «Вращение погруженного цилиндра, скользящего вблизи тонкого упругого покрытия». Физический обзор жидкостей . 2 (7): 074102. arXiv : 1611.03552 . Бибкод : 2017PhRvF...2g4102R . doi : 10.1103/PhysRevFluids.2.074102 . S2CID 9790910 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]