Закон Факсена

В гидродинамике . законы Факсена связывают скорость сферы $\mathbf {U}$ и угловая скорость $\mathbf {\Omega }$ к силам, крутящему моменту, стресслету и потоку, которые он испытывает в условиях низкого числа Рейнольдса (ползучий поток).

Первый закон

Первый закон Факсена был введен в 1922 году шведским физиком Хильдингом Факсеном , который в то время работал в Уппсальском университете , и дается формулой

$\mathbf {F} =6\pi \mu a\left[\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} '-(\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty })\right],$

где

• $\mathbf {F}$ - сила, действующая жидкостью на сферу
• $\mu$ - ньютоновская вязкость растворителя, в котором находится сфера.
• $a$ это радиус сферы
• $\mathbf {U}$ - (поступательная) скорость сферы
• $\mathbf {u} '$ - скорость возмущения, вызванная другими сферами в взвешенном состоянии (а не фоновым прижатым потоком), оцененная в центре сферы
• $\mathbf {u} ^{\infty }$ представляет собой фоновый приложенный поток, оцениваемый в центре сферы (в некоторых источниках установлен равным нулю).

Его также можно записать в виде

$\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty }=\mathbf {u} '+b_{0}\mathbf {F} +{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\mathbf {u} ',$

где $b_{0}=-{\frac {1}{6\pi \mu a}}$ – гидродинамическая подвижность.

В случае, когда градиент давления мал по сравнению с масштабом диаметра сферы и нет внешней силы, двумя последними членами этой формы можно пренебречь. В этом случае внешний поток жидкости просто адвектирует сферу.

Второй закон

Второй закон Факсена имеет вид

$\mathbf {T} =8\pi \mu a^{3}\left[{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} '\right)-(\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } ^{\infty })\right],$

где

• $\mathbf {T}$ - крутящий момент, действующий жидкостью на сферу
• $\mathbf {\Omega }$ угловая скорость сферы
• $\mathbf {\Omega } ^{\infty }$ - угловая скорость фонового потока, оцениваемая в центре сферы (в некоторых источниках равна нулю).

«Третий закон»

Бэтчелор и Грин вывел уравнение для стресслета, определяемое формулой

${\boldsymbol {\mathsf {S}}}={\frac {10}{3}}\pi \mu a^{3}\left[2{\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }+\left(1+{\frac {1}{10}}a^{2}\nabla ^{2}\right)\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right)\right],$

где

• ${\boldsymbol {\mathsf {S}}}$ - стресслет (симметричная часть первого момента силы), действующий жидкостью на сферу,
• ${\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '$ – тензор градиента скорости; ${}^{\mathrm {T} }$ представляет транспонирование; и так ${\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right]$ – тензор скорости деформации, или деформации.
• ${\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty }+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty })^{\mathrm {T} }\right]$ — скорость деформации фонового потока, оцениваемая в центре сферы (в некоторых источниках равна нулю).

Обратите внимание, что на сфере нет скорости деформации (нет ${\boldsymbol {\mathsf {E}}}$), поскольку сферы считаются жесткими.

Закон Факсена является поправкой к закону Стокса о трении сферических объектов в вязкой жидкости и действует там, где объект движется близко к стенке контейнера.

См. также

• Метод погруженных границ

Ссылки

• Факсен, Х. (1922), «Сопротивление движению твердого шара в вязкой жидкости, заключенной между двумя параллельными плоскими стенками» , Annals of Physics , 373 (10): 89–119, Bibcode : 1922AnP..373 ...89F , doi : 10.1002/andp.19223731003
• Хаппель, Дж.; Бреннер, Х. (1991), Гидродинамика с низким числом Рейнольдса , Дордрехт: Kluwer