Теория стройного тела

В гидродинамике и электростатике — это методология, которую можно использовать , теория тонкого тела чтобы воспользоваться гибкостью тела для получения приближения к окружающему его полю и/или суммарному влиянию поля на тело. Основное применение — поток Стокса — при очень малых числах Рейнольдса — и электростатика .

Теория стоксова потока

Рассмотрим стройное тело длины $\ell$ и типичный диаметр $2a$ с $\ell \gg a$, окруженный жидкостью вязкости $\mu$ движение которого определяется уравнениями Стокса . Обратите внимание, что парадокс Стокса подразумевает, что предел бесконечного соотношения сторон $\ell /a\rightarrow \infty$ является сингулярным, поскольку вокруг бесконечного цилиндра не может существовать стоксов поток.

Теория тонкого тела позволяет нам вывести приблизительную зависимость между скоростью тела в каждой точке его длины и силой на единицу длины, действующей на тело в этой точке.

Пусть ось тела описывается формулой ${\boldsymbol {X}}(s,t)$, где $s$ - координата длины дуги, а $t$ это время. В силу гибкости тела силу, действующую на жидкость на поверхности тела, можно аппроксимировать распределением Стокса вдоль оси с плотностью силы ${\boldsymbol {f}}(s)$ на единицу длины. ${\boldsymbol {f}}$ предполагается, что он изменяется только на длинах, значительно превышающих $a$, а скорость жидкости на поверхности, прилегающей к ${\boldsymbol {X}}(s,t)$ хорошо аппроксимируется $\partial {\boldsymbol {X}}/\partial t$.

Скорость жидкости ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})$ в общем плане ${\boldsymbol {x}}$ благодаря такому распределению может быть записана через интеграл от тензора Озеена (названного в честь Карла Вильгельма Осеена ), который действует как функция Гринса для одного Стокслета. У нас есть

${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{\ell }{\frac {{\boldsymbol {f}}(s)}{8\pi \mu }}\cdot \left({\frac {\mathbf {I} }{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|}}+{\frac {({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}})}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}|^{3}}}\right)\,\mathrm {d} s$

где $\mathbf {I}$ является тождественным тензором.

Затем можно использовать асимптотический анализ, чтобы показать, что вклад главного порядка в интеграл для точки ${\boldsymbol {x}}$ на поверхности тела, прилегающей к положению $s_{0}$ исходит из распределения сил в $|s-s_{0}|=O(a)$. С $a\ll \ell$, мы аппроксимируем ${\boldsymbol {f}}(s)\approx {\boldsymbol {f}}(s_{0})$. Затем мы получаем

${\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\sim {\frac {\ln(\ell /a)}{4\pi \mu }}{\boldsymbol {f}}(s)\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} +{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}$

где ${\boldsymbol {X}}'=\partial {\boldsymbol {X}}/\partial s$.

Выражение можно инвертировать, чтобы получить плотность силы, выраженную в движении тела:

${\boldsymbol {f}}(s)\sim {\frac {4\pi \mu }{\ln(\ell /a)}}{\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial t}}\cdot {\Bigl (}\mathbf {I} -\textstyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {X}}'{\boldsymbol {X}}'{\Bigr )}$

Два канонических результата, которые следуют сразу же, относятся к силе сопротивления. $F$ на жестком цилиндре (длина $\ell$, радиус $a$) перемещение со скоростью $u$ либо параллельно своей оси, либо перпендикулярно ей. Параллельный случай дает

$F\sim {\frac {2\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}$

в то время как перпендикулярный случай дает

$F\sim {\frac {4\pi \mu \ell u}{\ln(\ell /a)}}$

с разницей всего в два раза.

Обратите внимание, что доминирующим масштабом длины в приведенных выше выражениях является более длинная длина. $\ell$; более короткая длина оказывает лишь слабое влияние на логарифм соотношения сторон. В результатах теории тонкого тела есть $O(1)$ поправки к логарифму, поэтому даже для относительно больших значений $\ell /a$ члены ошибки не будут такими уж маленькими.

Ссылки

• Бэтчелор, Г.К. (1970), «Теория тонкого тела для частиц произвольного поперечного сечения в потоке Стокса», J. Fluid Mech. , 44 (3): 419–440, Bibcode : 1970JFM....44..419B , doi : 10.1017/S002211207000191X , S2CID   121986116
• Кокс, Р.Г. (1970), «Движение длинных тонких тел в вязкой жидкости. Часть 1. Общая теория», J. Fluid Mech. , 44 (4): 791–810, Bibcode : 1970JFM....44..791C , doi : 10.1017/S002211207000215X , S2CID   118908560
• Хинч, Э.Дж. (1991), Методы возмущений , Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-37897-0