функция Грина

Эта статья о классическом подходе к функциям Грина. Современное обсуждение см. в разделе «Фундаментальное решение» .

Если человек знает решение ${\textstyle G(x,x')}$ к дифференциальному уравнению с учетом точечного источника ${\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (x-x')}$ и дифференциальный оператор ${\textstyle {\hat {L}}(x)}$ линейно, то их можно соединить, чтобы построить решение ${\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}$ для общего источника ${\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}$.

В математике функция Грина (или функция Грина ) — это импульсный отклик неоднородного определенного линейного дифференциального оператора, в области с заданными начальными или граничными условиями.

Это означает, что если $L$ является линейным дифференциальным оператором, то

• функция Грина $G$ является решением уравнения $LG=\delta$, где $\delta$ – дельта-функция Дирака ;
• решение начальной задачи $Ly=f$ это свертка ( $G\ast f$).

Используя принцип суперпозиции , учитывая линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), $Ly=f$, можно сначала решить $LG=\delta _{s}$, для каждого s и понимая, что, поскольку источником является сумма дельта-функций , решение также является суммой функций Грина в силу линейности L .

Функции Грина названы в честь британского математика Джорджа Грина , который впервые разработал эту концепцию в 1820-х годах. В современном исследовании линейных уравнений в частных производных функции Грина изучаются в основном с точки зрения фундаментальных решений .

В рамках теории многих тел этот термин также используется в физике , особенно в квантовой теории поля , аэродинамике , аэроакустике , электродинамике , сейсмологии и статистической теории поля , для обозначения различных типов корреляционных функций , даже тех, которые не соответствуют математическому определению. . В квантовой теории поля функции Грина играют роль пропагаторов .

Определение и использование

Функция Грина G ( x , s ) линейного дифференциального оператора L = L ( x ), действующего на распределения над подмножеством евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$, в точке s , является любым решением

$$L\,G(x,s)=\delta (s-x)\,,$$ ( 1 )

где δ — дельта-функция Дирака . Это свойство функции Грина можно использовать для решения дифференциальных уравнений вида

$$L\,u(x)=f(x)\,.$$ ( 2 )

Если ядро ​​L . нетривиально, то функция Грина не единственна Однако на практике некоторая комбинация симметрии , граничных условий и/или других внешних критериев даст уникальную функцию Грина. Функции Грина можно классифицировать по типу удовлетворяемых граничных условий по номеру функции Грина . Кроме того, функции Грина в целом являются распределениями , а не обязательно функциями действительной переменной.

Функции Грина также являются полезными инструментами при решении волновых уравнений и уравнений диффузии . В квантовой механике функция Грина гамильтониана является ключевым понятием, имеющим важные связи с понятием плотности состояний .

Вместо этого функция Грина, используемая в физике, обычно определяется с противоположным знаком. То есть, $$LG(x,s)=\delta (x-s)\,.$$Это определение существенно не меняет ни одного свойства функции Грина из-за четности дельта-функции Дирака.

Если оператор трансляционно-инвариантен , то есть когда $L$ имеет постоянные коэффициенты по отношению к x , то функцию Грина можно считать ядром свертки , т. е. $$G(x,s)=G(x-s)\,.$$В этом случае функция Грина аналогична импульсному отклику линейной теории систем, инвариантной ко времени .

Мотивация

Смотрите также: Спектральная теория

Грубо говоря, если такую ​​функцию G можно найти для оператора L , то, если мы умножим уравнение 1 для функции Грина на f ( s ) , а затем проинтегрируем по s , мы получим: $$\int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x)\,.$$Потому что оператор $L=L(x)$ линеен и действует только на переменную x (а не на переменную интегрирования s ), можно взять оператор $L$ вне интеграции, что дает $$L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.$$Это означает, что

$$u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds$$ ( 3 )

является решением уравнения $Lu(x)=f(x)\,.$

Таким образом, можно получить функцию u ( x ), зная функцию Грина в уравнении 1 и исходный член в правой части уравнения 2 . линейности оператора L. Этот процесс зависит от

Другими словами, решение уравнения 2 , u ( x ) , может быть определено путем интегрирования, заданного в уравнении 3 . Хотя f ( x ) известно, это интегрирование не может быть выполнено, если G также не известен. Теперь проблема заключается в нахождении функции Грина G , удовлетворяющей уравнению 1 . По этой причине функцию Грина также иногда называют фундаментальным решением, с оператором L. связанным

Не каждый оператор $L$ допускает функцию Грина. Функцию Грина также можно рассматривать как правую обратную L функцию . Помимо трудностей с нахождением функции Грина для конкретного оператора, интеграл в уравнении 3 может быть довольно сложно вычислить. Однако метод дает теоретически точный результат.

Это можно рассматривать как расширение f в соответствии с базисом дельта-функции Дирака (проецирование f на $\delta (x-s)$; и суперпозицию решения на каждой проекции . Такое интегральное уравнение известно как интегральное уравнение Фредгольма , изучение которого составляет теорию Фредгольма .

Смотрите также: интегральное уравнение Вольтерра

Функции Грина для решения неоднородных краевых задач

Основное использование функций Грина в математике — решение неоднородных краевых задач . В современной теоретической физике функции Грина также обычно используются в качестве распространителей в диаграммах Фейнмана ; термин «функция Грина» часто далее используется для обозначения любой корреляционной функции .

Рамки

Позволять $L$ — оператор Штурма–Лиувилля , линейный дифференциальный оператор вида $$L={\dfrac {d}{dx}}\left[p(x){\dfrac {d}{dx}}\right]+q(x)$$и пусть $\mathbf {D}$ — векторный граничных условий оператор $$\mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.$$

Позволять $f(x)$ быть непрерывной функцией в $[0,\ell ]\,$. Далее предположим, что проблема $${\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}$$является «регулярным», т. е. единственным решением для $f(x)=0$ для всех x есть $u(x)=0$.

Теорема

Есть одно и только одно решение $u(x)$ это удовлетворяет $${\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}$$и это дается $$u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,$$где $G(x,s)$ является функцией Грина, удовлетворяющей следующим условиям:

1. $G(x,s)$ является непрерывным в $x$ и $s$.
2. Для $x\neq s\,$,   $LG(x,s)=0$.
3. Для $s\neq 0\,$,   $\mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0}$.
4. Производный «скачок»:   $G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,$.
5. Симметрия:   $G(x,s)=G(s,x)\,$.

Расширенные и замедленные функции Грина.

Смотрите также: функция Грина (теория многих тел) и пропагатор.

Функция Грина не обязательно уникальна, поскольку добавление любого решения однородного уравнения к одной функции Грина приводит к другой функции Грина. Следовательно, если однородное уравнение имеет нетривиальные решения, существует несколько функций Грина. В некоторых случаях удается найти одну функцию Грина, не обращающуюся в нуль только при $s\leq x$, называемая запаздывающей функцией Грина, и еще одна функция Грина, не равная нулю только при $s\geq x$, которая называется расширенной функцией Грина. В таких случаях любая линейная комбинация двух функций Грина также является допустимой функцией Грина. Терминология «передовой» и «замедленный» особенно полезна, когда переменная x соответствует времени. В таких случаях решение, обеспечиваемое использованием запаздывающей функции Грина, зависит только от прошлых источников и является причинным , тогда как решение, обеспечиваемое использованием опережающей функции Грина, зависит только от будущих источников и является акаузальным. В этих задачах часто причинное решение является физически важным. Использование опережающей и запаздывающей функций Грина особенно распространено для анализа решений неоднородного уравнения электромагнитных волн .

Нахождение функций Грина

Единицы

Хотя он не определяет однозначно форму, которую примет функция Грина, выполнение анализа размерностей для нахождения единиц измерения, которые должна иметь функция Грина, является важной проверкой работоспособности любой функции Грина, найденной другими способами. Быстрое рассмотрение определяющего уравнения, $$LG(x,s)=\delta (x-s),$$показывает, что единицы $G$ зависят не только от единиц $L$ но и от количества и единиц пространства, в котором расположены векторы положения $x$ и $s$ являются элементами. Это приводит к отношениям: $$[[G]]=[[L]]^{-1}[[dx]]^{-1},$$где $[[G]]$ определяется как «физические единицы $G$", и $dx$ — это элемент объема пространства (или пространства-времени ).

Например, если $L=\partial _{t}^{2}$ и время является единственной переменной тогда: $${\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{time}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]],\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]].\end{aligned}}$$Если $L=\square ={\tfrac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}$, оператор Даламбера и пространство имеет 3 измерения, тогда: $${\begin{aligned}[][[L]]&=[[{\text{length}}]]^{-2},\\[1ex][[dx]]&=[[{\text{time}}]][[{\text{length}}]]^{3},\ {\text{and}}\\[1ex][[G]]&=[[{\text{time}}]]^{-1}[[{\text{length}}]]^{-1}.\end{aligned}}$$

Разложения по собственным значениям

Если дифференциальный оператор L допускает полный набор собственных векторов Ψ _n ( x ) (т. е. набор функций Ψ _n и скаляров λ _n такой, что L Ψ _n = λ _n Ψ _n ), то можно построить Функция Грина по этим собственным векторам и собственным значениям .

«Полный» означает, что набор функций {Ψ _n } удовлетворяет следующему соотношению полноты , $$\delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').$$

Тогда имеет место следующее:

$G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}},$

где $\dagger$ представляет собой комплексное сопряжение.

Применение оператора L к каждой части этого уравнения приводит к предположенному соотношению полноты.

Общее исследование функции Грина, записанной в приведенной выше форме, и ее связи с функциональными пространствами, образованными собственными векторами, известно как теория Фредгольма .

Существует несколько других методов поиска функций Грина, включая метод изображений , разделение переменных и преобразования Лапласа .

Объединение функций Грина

Если дифференциальный оператор $L$ может быть факторизован как $L=L_{1}L_{2}$ тогда функция Грина $L$ можно построить из функций Грина для $L_{1}$ и $L_{2}$: $$G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.$$Приведенное выше тождество непосредственно следует из принятия $G(x,s)$ быть представлением правого оператора, обратного $L$, аналогично тому, как для обратимого линейного оператора $C$, определяемый $C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$, представлена ​​своими матричными элементами $C_{i,j}$.

Дальнейшее тождество следует для дифференциальных операторов, которые являются скалярными полиномами производной: $L=P_{N}(\partial _{x})$. Основная теорема алгебры в сочетании с тем фактом, что $\partial _{x}$ коммутирует сам с собой , гарантирует, что многочлен можно факторизовать, полагая $L$ в форме: $$L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),$$где $z_{i}$ являются нулями $P_{N}(z)$. Приняв Фурье преобразование $LG(x,s)=\delta (x-s)$ относительно обоих $x$ и $s$ дает: $${\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.$$Затем дробь можно разделить на сумму, используя разложение на частичные дроби, прежде чем преобразовать Фурье обратно в $x$ и $s$ космос. Этот процесс дает тождества, связывающие интегралы функций Грина и их суммы. Например, если $L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}$ тогда одна из форм функции Грина: $${\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\[1ex]&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}$$Хотя представленный пример поддается аналитическому анализу, он иллюстрирует процесс, который работает, когда интеграл нетривиален (например, когда $\nabla ^{2}$ – оператор в полиноме).

Таблица функций Грина

В следующей таблице дан обзор функций Грина часто встречающихся дифференциальных операторов, где ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$, ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, ${\textstyle \Theta (t)}$ – ступенчатая функция Хевисайда , ${\textstyle J_{\nu }(z)}$ — функция Бесселя , ${\textstyle I_{\nu }(z)}$ — модифицированная функция Бесселя первого рода , а ${\textstyle K_{\nu }(z)}$ представляет собой модифицированную функцию Бесселя второго рода . Там, где время ( t ) появляется в первом столбце, указана запаздывающая (причинная) функция Грина.

Дифференциальный оператор L	Функция Грина G	Пример применения
$\partial _{t}^{n+1}$	${\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)$
$\partial _{t}+\gamma$	$\Theta (t)e^{-\gamma t}$
$\left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}$	$\Theta (t)te^{-\gamma t}$
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}$ где $\gamma <\omega _{0}$	$\Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}$ с $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}$	1D гармонический генератор с недостаточным демпфированием
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}$ где $\gamma >\omega _{0}$	$\Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}$ с $\omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$	1D гармонический генератор с перезатуханием
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}$ где $\gamma =\omega _{0}$	$\Theta (t)e^{-\gamma t}t$	1D гармонический генератор с критическим затуханием
1D оператор Лапласа ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}$	$\left(x-s\right)\Theta (x-s)+x\alpha (s)+\beta (s)$	1D уравнение Пуассона
2D оператор Лапласа $\nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}$	${\frac {1}{2\pi }}\ln \rho$ с $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$	Двумерное уравнение Пуассона
3D Laplace operator $\nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}$	$-{\frac {1}{4\pi r}}$ с $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$	Уравнение Пуассона
Оператор Гельмгольца $\nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}$	${\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}H_{1/2}^{(2)}(kr)=i{\frac {k}{4\pi }}\,h_{0}^{(2)}(kr)$ где $H_{\alpha }^{(2)}$ – функция Ганкеля второго рода , а $h_{0}^{(2)}$ — сферическая функция Ганкеля второго рода	стационарное трехмерное уравнение Шредингера для свободных частиц
Оператор дивергенции $\nabla \cdot \mathbf {v}$	${\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right\|^{3}}}$
$\nabla ^{2}-k^{2}$ в $n$ размеры	$-\left(2\pi \right)^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)$	Потенциал Юкавы , Фейнмановский пропагатор , Экранированное уравнение Пуассона
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}$	${\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)$	1D волновое уравнение
$\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}$	${\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)$	2D волновое уравнение
Оператор Аламберта $\square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}$	${\frac {\delta (t-{r}/{c})}{4\pi r}}$	3D волновое уравнение
$\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}$	$\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\Theta (t)e^{-x^{2}/4kt}$	1D- диффузия
$\partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}$	$\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\Theta (t)e^{-\rho ^{2}/4kt}$	2D- диффузия
$\partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}$	$\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\Theta (t)e^{-r^{2}/4kt}$	3D diffusion
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)\left(\delta (ct-x)+\delta (ct+x)\right)+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\right]$ с $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}$	1D уравнение Клейна – Гордона
${\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[\left(1+\cos(\mu ct)\right){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right]$ с $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}$	Двумерное уравнение Клейна – Гордона
$\square +\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta {\left(t-{\frac {r}{c}}\right)}}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}{\left(\mu u\right)}}{u}}\right]$ с $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}$	3D уравнение Клейна – Гордона
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}$	${\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}\right)\right]$ с $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}$	уравнение телеграфиста
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}$	${\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[\left(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t\right){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma u^{2}-3c^{2}t}{cu^{3}}}\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {3\gamma t}{u^{2}}}\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right]$ с $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}$	2D релятивистская теплопроводность
$\partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}$	${\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}{\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}\right)\right]$ с $u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}$	3D -релятивистская теплопроводность

Функции Грина для лапласиана

Функции Грина для линейных дифференциальных операторов, включающих лапласиан, можно легко использовать, используя второе из тождеств Грина .

Чтобы вывести теорему Грина, начните с теоремы о дивергенции (также известной как теорема Гаусса ): $$\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.$$

Позволять $\mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi$ и подставим в закон Гаусса.

Вычислить $\nabla \cdot \mathbf {A}$ и примените правило произведения для оператора ∇, $${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}$$

Подставляя это в теорему о дивергенции, получаем теорему Грина : $$\int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.$$

Предположим, что линейный дифференциальный оператор L является лапласианом , ∇ ² существует функция Грина G. , и что для лапласиана Определяющее свойство функции Грина сохраняется: $$LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').$$

Позволять $\psi =G$ во второй личности Грина см. Личности Грина . Затем, $$\int _{V}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}^{2}\,\varphi (\mathbf {x} ')\right]d^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,{\nabla '}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,{\nabla '}\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.$$

Используя это выражение, можно решить уравнение Лапласа ∇ ² φ ( x ) = 0 или уравнение Пуассона ∇ ² φ ( x ) = - ρ ( x ) с учетом граничных условий Неймана или Дирихле . Другими словами, мы можем найти φ ( x ) везде внутри объема, где либо (1) значение φ ( x ) задано на ограничивающей поверхности объема (граничные условия Дирихле), либо (2) нормальная производная φ ( . x ) задается на ограничивающей поверхности (граничные условия Неймана)

Предположим, что задача состоит в том, чтобы найти φ ( x ) внутри региона. Тогда интеграл $$\int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '$$сводится к просто φ ( x ) из-за определяющего свойства дельта-функции Дирака , и мы имеем $$\varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left[\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\nabla '\varphi (\mathbf {x} ')\right]\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.$$

Эта форма выражает известное свойство гармонических функций : если на ограничивающей поверхности известно значение или нормальная производная, то значение функции внутри объема известно везде .

В электростатике , φ ( x ) интерпретируется как электрический потенциал , ρ ( x ) как электрического заряда плотность а нормальная производная $\nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'$ как нормальная составляющая электрического поля.

Если задача состоит в решении краевой задачи Дирихле, функцию Грина следует выбирать так, чтобы G ( x , x ′) обращалась в нуль, когда x или x ′ находятся на ограничивающей поверхности. Таким образом, из двух членов поверхностного интеграла остается только одно. Если задача состоит в решении краевой задачи Неймана, то может показаться логичным выбрать функцию Грина так, чтобы ее нормальная производная обращалась в нуль на ограничивающей поверхности. Однако применение теоремы Гаусса к дифференциальному уравнению, определяющему функцию Грина, дает $$\int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,$$это означает, что нормальная производная G ( x , x ′) не может обращаться в нуль на поверхности, потому что она должна интегрироваться до 1 на поверхности.

Самая простая форма, которую может принять нормальная производная, — это константа, а именно 1/ S , где S — площадь поверхности. Поверхностный член в решении становится $$\int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}$$где $\langle \varphi \rangle _{S}$ – среднее значение потенциала на поверхности. Это число в целом неизвестно, но часто не имеет значения, поскольку часто целью является получение электрического поля, определяемого градиентом потенциала, а не самого потенциала.

Без граничных условий функция Грина для лапласиана ( функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными ) равна $$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.$$

Если предположить, что ограничивающая поверхность стремится к бесконечности, и подставить это выражение для функции Грина, в конечном итоге получим стандартное выражение для электрического потенциала через плотность электрического заряда как

$\varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.$

Дополнительная информация: уравнение Пуассона.

Пример

Найдите функцию Грина для следующей задачи, номер функции Грина которой равен X11: $${\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}$$

Первый шаг: функция Грина для рассматриваемого линейного оператора определяется как решение

$$G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (x-s).$$ (Уравнение * )

Если $x\neq s$, то дельта-функция дает ноль, и общее решение имеет вид $$G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.$$

Для $x<s$граничное условие при $x=0$ подразумевает $$G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0$$если $x<s$ и $s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}$.

Для $x>s$граничное условие при $x={\tfrac {\pi }{2k}}$ подразумевает $$G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0$$

Уравнение $G(0,s)=0$ пропускается по тем же причинам.

Подводя итоги на данный момент: $$G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\[0.4ex]c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}$$

Второй шаг: Следующая задача – определить $c_{2}$ и $c_{3}$.

Обеспечение непрерывности функции Грина при $x=s$ подразумевает $$c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks$$

Можно обеспечить надлежащий разрыв первой производной, интегрируя определяющее дифференциальное уравнение (т. е . уравнение * ) из $x=s-\varepsilon$ к $x=s+\varepsilon$ и принимая предел как $\varepsilon$ уходит в ноль. Обратите внимание, что мы интегрируем только вторую производную, поскольку оставшийся член будет непрерывным по построению. $$c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1$$

Два уравнения (дис)непрерывности могут быть решены для $c_{2}$ и $c_{3}$ чтобы получить $$c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}$$

Итак, функция Грина для этой задачи: $$G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}$$

Дальнейшие примеры

• Пусть n = 1 и пусть подмножество представляет собой все R . Пусть L будет ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$. Тогда ступенчатая функция Хевисайда Θ( x − x ₀ ) является функцией Грина L в точке x ₀ .
• Пусть n = 2, и пусть подмножеством является четвертьплоскость {( x , y ) : x , y ≥ 0} , а L — лапласиан . Кроме того, предположим, что граничное условие Дирихле наложено в точке x = 0 , а граничное условие Неймана — в точке y = 0 . Тогда функция Грина X10Y20 равна $${\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left[\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}$$
• Позволять $a<x<b$, и все три являются элементами действительных чисел. Тогда для любой функции $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ с $n$-я производная, интегрируемая на интервале $[a,b]$: $$f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left[{\frac {d^{m}f}{dx^{m}}}\right]_{x=a}+\int _{a}^{b}\left[{\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)\right]\left[{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right]_{x=s}ds\,.$$ Функция Грина в приведенном выше уравнении: $G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)$, не является уникальным. Как изменится уравнение, если $g(x-s)$ добавляется в $G(x,s)$, где $g(x)$ удовлетворяет ${\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}$ для всех $x\in [a,b]$ (например, $g(x)=-x/2$ с $n=2$)? Кроме того, сравните приведенное выше уравнение с формой ряда Тейлора с центром в точке $x=a$.

См. также

• Бессель потенциал
• Дискретные функции Грина , определенные на графиках и сетках.
• Импульсная характеристика - аналог функции Грина при обработке сигналов.
• Передаточная функция
• Фундаментальное решение
• Функция Грина в теории многих тел
• Корреляционная функция
• Распространитель
• Личности Грина
• Параметрикс
• Интегральное уравнение Вольтерра
• Резольвентный формализм
• Келдыш формализм
• Спектральная теория
• Многомасштабная функция Грина

Ссылки

• Баин, СС (2006). Математические методы в науке и технике . Уайли. Главы 18 и 19.
• Эйгес, Леонард (1972). Классическое электромагнитное поле . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-63947-9 .
  Глава 5 содержит очень доступное описание использования функций Грина для решения краевых задач электростатики.
• Полянин А.Д.; Зайцев, В.Ф. (2003). Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN  1-58488-297-2 .
• Полянин А.Д. (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN  1-58488-299-9 .
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN  0-8053-7002-1 .
• Фолланд, ГБ Анализ Фурье и его приложения . Математическая серия. Уодсворт и Брукс/Коул.
• Грин, Дж. (1828). Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма . Ноттингем, Англия: Т. Уилхаус. страницы 10-12 .
• Фарьяд и, М.; Лахтакия, А. (2018). Диадические функции Грина в бесконечном пространстве в электромагнетизме . Лондон, Великобритания / Сан-Рафаэль, Калифорния: IoP Science (Великобритания) / Морган и Клейпул (США). Бибкод : 2018idgf.book.....F .
• Шеремет, В.Д. (2003). Справочник по функциям и матрицам Грина . Саутгемптон: WIT Press. ISBN  978-1-85312-933-9 .

Внешние ссылки

• «Зеленая функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Грина» . Математический мир .
• Функция Грина для дифференциального оператора в PlanetMath .
• Функция Грина в PlanetMath .
• Зеленые функции и конформное отображение в PlanetMath .
• Введение в метод неравновесной функции Грина Келдыша А.П. Джаухо
• Библиотека функций Грина
• Учебник по функциям Грина
• Метод граничных элементов (для получения некоторого представления о том, как функции Грина могут использоваться с методом граничных элементов для численного решения потенциальных проблем). Архивировано 7 февраля 2012 г. на Wayback Machine.
• В Ситиндиуме
• Видеолекция MIT о функции Грина
• Боули, Роджер. «Джордж Грин и функции Грина» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .