Многомасштабная функция Грина

Многомасштабная функция Грина (MSGF) представляет собой обобщенную и расширенную версию метода классической функции Грина (GF). для решения математических уравнений. Основное применение метода MSGF — моделирование наноматериалов . Эти материалы очень малы – размером в несколько нанометров . Математическое моделирование наноматериалов требует специальных методов и сегодня признано самостоятельной отраслью науки. Математическая модель необходима для расчета смещений атомов в кристалле в ответ на приложенную статическую или зависящую от времени силу для изучения механических и физических свойств наноматериалов. Одним из конкретных требований к модели наноматериалов является то, что модель должна быть многомасштабной и обеспечивать плавное соединение различных масштабов длины.

Функция Грина (ФГ) была первоначально сформулирована британским физиком-математиком Джорджем Грином в 1828 году как общий метод решения операторных уравнений. он широко использовался в математической физике и применялся в самых разных областях. За последние почти двести лет Обзоры некоторых приложений ГФ, таких как теория многих тел и уравнение Лапласа, доступны в Википедии. Методы, основанные на GF, используются для моделирования различных физических процессов в таких материалах, как фононы , Электронная зонная структура и эластостатики .

Применение метода MSGF для моделирования наноматериалов

Метод MSGF — относительно новый метод GF для математического моделирования наноматериалов. Математические модели используются для расчета реакции материалов на приложенную силу с целью моделирования их механических свойств. Метод MSGF связывает различные масштабы длины при моделировании наноматериалов. Наноматериалы имеют атомистические размеры и должны моделироваться в масштабах нанометров. Например, кремниевая нанопроволока , ширина которой составляет около пяти нанометров, содержит всего 10–12 атомов по ширине. Другой пример — графен и множество новых двумерных (2D) твердых тел. Эти новые материалы имеют максимальную тонкость, поскольку их толщина составляет всего один или два атома. Для таких материалов необходимо многомасштабное моделирование, поскольку их свойства определяются дискретностью расположения атомов, а также их габаритными размерами.

Метод MSGF является многомасштабным в том смысле, что он связывает реакцию материалов на приложенную силу в атомистических масштабах с их реакцией в макроскопических масштабах. Реакция материалов в макроскопических масштабах рассчитывается с использованием континуальной модели твердых тел. В модели континуума дискретная атомистическая структура твердых тел усредняется в континуум. Свойства наноматериалов чувствительны к их атомистической структуре, а также к их габаритным размерам. Они также чувствительны к макроскопической структуре материала-хозяина, в который они встроены. Для моделирования таких составных систем используется метод MSGF.

Метод MSGF также используется для анализа поведения кристаллов, содержащих дефекты решетки, такие как вакансии, междоузлия или посторонние атомы. Исследование этих дефектов решетки представляет интерес, поскольку они играют роль в технологии материалов. Наличие дефекта в решетке смещает атомы матрицы из исходного положения или решетка искажается. В качестве примера это показано на рис. 1 для одномерной решетки. Для расчета этого искажения вблизи дефекта необходимо моделирование в атомистическом масштабе. тогда как модель континуума используется для расчета искажений вдали от дефекта. MSGF органично связывает эти две шкалы.

Рис. 1 – Одномерная решетка с полной трансляционной симметрией. Круги обозначают атомные местоположения. Вверху – Идеальная решетка, в которой все атомы одинаковы; Внизу – решетка, содержащая один дефект. Атом при L=0 заменяется посторонним атомом, вызывающим искажение решетки. Расстояние между атомами при L=0 и L=1 изменяется с a на a1.

MSGF для наноматериалов

Модель наноматериалов MSGF учитывает как мультичастицы, так и мультимасштабы материалов. Это расширение метода функции Грина статики решетки (LSGF), который был первоначально сформулирован в Научно-исследовательском институте атомной энергии Харвелла в Великобритании в 1973 году. В литературе его также называют методом Тьюари. Метод LSGF дополняет молекулярную динамику. (МД) метод моделирования многочастичных систем. Метод LSGF основан на использовании модели Борна фон Кармана (BvK). и может применяться к различным решетчатым структурам и дефектам. Метод MSGF представляет собой расширенную версию метода LSGF и применяется ко многим наноматериалам и 2D-материалам.

В атомистическом масштабе кристалл или кристаллическое твердое тело представляют собой совокупность взаимодействующих атомов, расположенных в дискретных узлах геометрической решетки. Идеальный кристалл состоит из правильной и периодической геометрической решетки. Идеальная решетка обладает трансляционной симметрией, а это означает, что все элементарные ячейки идентичны. В идеальной периодической решетке, которая считается бесконечной, все атомы одинаковы. Предполагается, что в состоянии равновесия каждый атом находится в своем узле решетки. Сила, действующая на любой атом и действующая на другие атомы, просто уравновешивается, поэтому суммарная сила, действующая на каждый атом, равна нулю. Эти условия нарушаются в искаженной решетке, в которой атомы смещаются из положений равновесия. Искажение решетки может быть вызвано внешней силой. Решетка также может быть искажена путем введения дефекта в решетку или смещения атома, что нарушает равновесную конфигурацию и вызывает силу в узлах решетки. Это показано на рис. 1. Целью математической модели является расчет результирующих значений смещений атомов.

ГФ в методе MSGF рассчитывается путем минимизации полной энергии решетки. Потенциальная энергия решетки в виде бесконечного ряда Тейлора по смещениям атомов в гармоническом приближении имеет вид

$W=-\sum _{L,a}f_{a}(L)u_{a}(L)+{\frac {1}{2}}\sum _{L,a}\sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{a}(L)u_{b}(L')\qquad \qquad (1)$

где L и L ′ обозначают атомы, a и b обозначают декартовы координаты, u обозначает смещение атома, а − f и K – первый и второй коэффициенты в ряду Тейлора . Они определяются

$f_{a}(L)=-{\frac {\partial W}{\partial u_{a}(L)}},\qquad \qquad (2)$

и

$K_{ab}(L,L')={\frac {\partial ^{2}W}{\partial u_{a}(L)\,\partial u_{b}(L')}},\qquad \qquad (3)$

где производные вычисляются при нулевых перемещениях. Знак минус в определении f введен для удобства. Таким образом, f ( L ) — это трехмерный вектор, который обозначает силу, действующую на атом L. Его три декартовых компонента обозначаются как f _a (L), где a = x , y или z . Аналогично K (L,L') представляет собой матрицу размером 3x3, которая называется матрицей силовых констант между атомами в точках L и L' . Его 9 элементов обозначаются K _ab ( L , L ′) для a , b = x , y или z .

В состоянии равновесия энергия W минимальна. Соответственно, первая производная W по каждому u должна быть равна нулю. Это дает следующее соотношение из уравнения. (1)

$\sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{b}(L')=f_{a}(L).\qquad \qquad (4)$

Непосредственной подстановкой можно показать, что решение уравнения. (4) можно записать как

$u_{a}(L)=\sum _{L',b}G_{ab}(L,L')f_{b}(L')\qquad \qquad (5)$

где G определяется следующим соотношением обращения

$\sum _{L'',b''}K_{ab''}(L,L'')G_{b''b}(L'',L')=\delta (a,b)\delta (L,L').\qquad \qquad (6)$

В уравнении (6), δ ( m , n ) — дискретная дельта-функция двух дискретных переменных m и n . Как и в случае с дельта-функцией Дирака для непрерывных переменных, она определяется как 1, если m = n , и 0 в противном случае.

Уравнения (4)–(6) можно записать в матричной записи следующим образом:

${\begin{aligned}Ku&=f&&(7)\\u&=Gf&&(8)\\{\text{and }}G&=K^{-1}&&(9)\end{aligned}}$

Матрицы K и G в приведенных выше уравнениях представляют собой размером 3 N × 3 N квадратные матрицы , а u и f представляют собой 3 N -мерные вектор-столбцы, где N — общее количество атомов в решетке. Матрица G представляет собой многочастичный GF и называется статической функцией Грина решетки (LSGF). Если G известен, атомные смещения для всех атомов можно рассчитать с помощью уравнения. (8).

Одной из основных задач моделирования является расчет атомистических смещений u, вызванных приложенной силой f. Смещения, в принципе, определяются уравнением. (8). Однако для этого необходимо инвертировать матрицу K размером 3N x 3N. Для любого расчета, представляющего практический интерес, N ~ 10 000, но желательно миллион для более реалистичного моделирования. Обращение такой большой матрицы требует больших вычислительных ресурсов, и для расчета u необходимы специальные методы. Для регулярных периодических решеток одним из таких методов является LSGF. Он состоит из вычисления G через преобразование Фурье и аналогичен вычислению фонона GF.

Метод LSGF теперь обобщен и включает в себя многомасштабные эффекты метода MSGF. Метод MSGF способен беспрепятственно связывать масштабы длин. Это свойство было использовано при разработке гибридного метода MSGF, который сочетает в себе методы GF и MD, а также для моделирования менее симметричных нановключений, таких как квантовые точки, в полупроводниках.

Для идеальной решетки без дефектов MSGF напрямую связывает атомистические масштабы в LSGF с макроскопическими масштабами через модель континуума. Идеальная решетка обладает полной трансляционной симметрией, поэтому все атомы эквивалентны. В этом случае в качестве начала координат можно выбрать любой атом, а G(L,L') можно выразить одним индексом (L'-L). определяется как

$G(L,L')=G(0,L-L')=G(L'-L)\qquad \qquad (10)$

Асимптотический предел G ( L ), удовлетворяющий уравнению. (10), для больших значений R ( L ) определяется выражением

$\lim _{R(L)\to \infty }[G(0,L)]\rightarrow G_{c}(x)+O(1/x^{4})\qquad \qquad (11)$

где x = R ( L ) — вектор положения атома L , а G _c ( x ) — континуальная функция Грина (CGF), которая определяется через упругие константы и используется при моделировании обычных объемных материалов на макромасштабах. . В уравнении (11), О(1/ х ^н ) — стандартное математическое обозначение члена порядка 1/ x ^н и выше. Величина G _c ( x ) равна O(1/ x ² ). LSGF G (0, L ) в этом уравнении плавно и автоматически сводится к CGF для достаточно больших x как члены O(1/ x ⁴ ) постепенно становятся малыми и незначительными. Это обеспечивает плавную связь атомистической шкалы длины с макроскопической шкалой континуума.

Уравнения (8) и (9) вместе с предельным соотношением, заданным уравнением. (11) образуют основные уравнения для MSGF. Уравнение (9) дает LSGF, который действителен в атомистических масштабах, а уравнение. (11) связывает его с CGF, который справедлив в масштабах макроконтинуума. Это уравнение также показывает, что LSGF плавно сводится к CGF.

Метод MSGF для расчета влияния дефектов и несплошностей в наноматериалах

Если решетка содержит дефекты, ее трансляционная симметрия нарушается. Следовательно, невозможно выразить G через одну переменную расстояния R ( L ). Следовательно, уравнение (10) больше не действует, и соответствие между LSGF и CGF, необходимое для их бесшовной связи, нарушается. В таких случаях MSGF связывает масштабы решетки и континуума, используя следующую процедуру:

Если p обозначает изменение матрицы K, вызванное дефектом(ами), матрица силовых констант K* для дефектной решетки записывается как

$K^{*}=K-p\qquad \qquad (12)$

Как и в случае идеальной решетки в уравнении. (9) соответствующий дефект GF определяется как инверсия полной K* -матрицы. Использование уравнения. (12), затем приводит к следующему уравнению Дайсона для дефекта LSGF:

$G^{*}=G+GpG^{*}\qquad \qquad (13)$

Метод MSGF состоит из решения уравнения. (13) для G* с использованием метода матричного разделения или двойного преобразования Фурье.

Как только G* известен, вектор смещения определяется следующим уравнением GF, аналогичным уравнению. (8):

и = Г* ж (14)

Уравнение (14) дает искомое решение, то есть смещения атомов или искажение решетки, вызванное силой f . Однако он не показывает связь решетки и кратных масштабов континуума, поскольку уравнения. (10) и (11) не справедливы для дефекта LSGF G* . Связь решетки с моделью континуума в случае решетки с дефектами достигается с помощью точного преобразования, описанного ниже.

Используя уравнение (13), уравнение. (14) можно записать в следующем точно эквивалентном виде:

ты знак равно Gf + грамм п грамм* ж . (15)

Использование уравнения. (14) снова в правой части уравнения. (15) дает,

и = G f* (16)

где

е* = е + пу . (17)

Обратите внимание, что уравнение (17) определяет эффективную силу f* такую, что уравнения. (14) и (16) в точности эквивалентны.

Уравнение (16) выражает атомные смещения u через G , идеальный LSGF даже для решеток с дефектами. Влияние дефектов входит именно в f* . LSGF G не зависит от f или f* и сводится к CGF асимптотически и плавно, как указано в уравнении. (11). Эффективную силу f* можно определить в отдельном расчете, используя при необходимости независимый метод, а для G можно использовать статику решетки или континуальную модель . Это основа гибридной модели, сочетающей MSGF и MD для моделирования квантовой точки германия в решетке кремния.

Уравнение (16) является основным уравнением метода MSGF. Он действительно многомасштабен. Все дискретные атомистические вклады включены в f*. Функцию Грина G можно рассчитать независимо, которая может быть полностью атомистической для наноматериалов или частично или полностью континуальной для макромасштабов, чтобы при необходимости учитывать поверхности и границы раздела в материальных системах.

ГФ как физическая характеристика твердых тел

Тьюари, Куардокус и ДельРио предположили, что функция Грина — это не просто математический артефакт, а физическая характеристика твердого тела, которую можно измерить с помощью сканирующей зондовой микроскопии .

Их предложение основано на том факте, что любой процесс измерения системы требует количественной оценки реакции системы на внешний зонд, а функция Грина дает общий ответ системы на приложенный зонд. Например, если мы хотим измерить характеристики пружины, мы закрепляем ее на одном конце и прикладываем к другому концу силу f или f*. Измерение растяжения пружины u затем даст значение функции Грина пружины с помощью уравнения. 14 или 16. В этом примере приложенная сила — это щуп, а растяжение пружины — это ее реакция на щуп. Если доступны измеренные значения функций Грина твердого тела, это будет точно характеризовать реакцию твердого тела для инженерных приложений. По этой причине функцию Грина также называют функцией отклика.

Причинная функция Грина Молекулярная динамика

Важным применением метода MSGF является моделирование временных (зависящих от времени) процессов в твердых телах, особенно в наноматериалах. Это необходимо в различных приложениях, таких как тестирование и определение характеристик материалов, распространение волн и тепла в наноматериалах, а также моделирование радиационных повреждений в полупроводниках. Эти процессы необходимо моделировать в широком диапазоне времени от фемтосекунд до наносекунд или даже микросекунд , что является сложной многомасштабной проблемой для наноматериалов. Это было показано Тьюри что использование причинных функций Грина в молекулярной динамике может значительно ускорить временную конвергенцию молекулярной динамики. Новый метод, получивший название CGFMD (молекулярная динамика причинной функции Грина), является временным эквивалентом MSGF и основан на использовании причинных или замедленных функций Грина . Он был применен для моделирования распространения ряби в графене, где было показано, что CGFMD может моделировать временные масштабы от 6 до 9 порядков величины на атомистическом уровне. По крайней мере, в некоторых идеализированных случаях, таких как распространение пульсаций в графене, CGFMD может преодолеть временные рамки от фемто до микросекунд. CGFMD был уточнен и развит в статьях Колучи, Дантаса и Тьюари. }

См. также

• Микромасштабные и макромасштабные модели