Микромасштабные и макромасштабные модели

Микромасштабные и связанные с ними макромасштабные модели сосуществования Phalaris arundinacea, глобально распространенной травы. Каждый цвет представляет пространственную протяженность отдельного генотипа в микромасштабной модели с использованием стохастических клеточных автоматов. Каждая кривая на графике представляет уровень популяции соответствующего генотипа в макромасштабной модели дифференциального уравнения.

Микромасштабные модели образуют широкий класс вычислительных моделей , которые моделируют мелкомасштабные детали, в отличие от макромасштабных моделей , которые объединяют детали в избранные категории. Микромасштабные и макромасштабные модели можно использовать вместе для понимания различных аспектов одной и той же проблемы.

Приложения

Макромасштабные модели могут включать в себя обычные , частные и интегро-дифференциальные уравнения, где категории и потоки между категориями определяют динамику, или могут включать только алгебраические уравнения . Абстрактную макромасштабную модель можно комбинировать с более подробными микромасштабными моделями. Связи между двумя масштабами связаны с многомасштабным моделированием . Один математический метод многомасштабного моделирования наноматериалов основан на использовании многомасштабной функции Грина .

Напротив, микромасштабные модели могут моделировать множество деталей, например отдельные бактерии в биопленках . отдельные пешеходы в моделируемых кварталах, отдельные световые лучи в изображениях с трассировкой лучей , индивидуальные дома в городах, мелкомасштабные поры и течение жидкости в аккумуляторах, мелкомасштабные разделы в метеорологии, мелкомасштабные структуры в системах твердых частиц, и другие модели, в которых динамику определяют взаимодействия между людьми и фоновыми условиями.

Модели дискретных событий , модели на основе отдельных лиц и модели на основе агентов являются частными случаями микромасштабных моделей. Однако микромасштабные модели не требуют отдельных людей или отдельных событий. Мелкие детали топографии, зданий и деревьев могут добавить микромасштабные детали к метеорологическому моделированию и могут быть связаны с так называемыми мезомасштабными моделями в этой дисциплине. Ландшафтное разрешение размером в квадратный метр доступно на сайте Лидарные изображения позволяют моделировать поток воды по поверхности суши, например, ручьи и водные карманы, используя массивы деталей размером в гигабайт. Модели нейронных сетей могут включать отдельные нейроны, но могут работать в непрерывном времени и, следовательно, не иметь точных дискретных событий.

История

Идеи вычислительных микромасштабных моделей возникли на заре вычислительной техники и применялись к сложным системам, которые невозможно было точно описать стандартными математическими формами.

Примерно в середине 20 века в работах двух основоположников современных вычислений возникли две темы. Сначала пионер Алан Тьюринг использовал упрощенные макромасштабные модели, чтобы понять химическую основу морфогенеза , но затем предложил и использовал вычислительные микромасштабные модели, чтобы понять нелинейности и другие условия, которые могут возникнуть в реальных биологических системах. Во-вторых, пионер Джон фон Нейман создал клеточный автомат , чтобы понять возможности самовоспроизведения объектов произвольной сложности. который имел микромасштабное представление в клеточном автомате, но не имел упрощенной макромасштабной формы. Эта вторая тема считается частью моделей, основанных на агентах , где сущности в конечном итоге могут быть агентами с искусственным интеллектом, действующими автономно.

К последней четверти 20-го века вычислительные мощности настолько выросли. что в микромасштабные модели можно включить до десятков тысяч или более особей и что разреженные массивы можно применять для достижения высокой производительности. Продолжающееся увеличение вычислительной мощности позволило к началу 21 века смоделировать сотни миллионов людей на обычных компьютерах с помощью микромасштабных моделей.

Термин «микромасштабная модель» возник позже в 20 веке и сейчас появляется в литературе многих разделов физической и биологической науки.

Пример

На рисунке 1 представлена ​​фундаментальная макромасштабная модель: рост населения в неограниченной среде. Его уравнение применимо и в других сферах, например, при сложном росте капитала в экономике или экспоненциальном упадке в физике. Он имеет одну объединенную переменную, $N(t)$, число особей в популяции в определенный момент времени $t$. Имеет объединенный параметр $r=\beta -\delta$, годовой темп прироста населения, рассчитываемый как разница между годовым коэффициентом рождаемости $\beta$ и годовой уровень смертности $\delta$. Время $t$ может быть измерен в годах, как показано здесь для иллюстрации, или в любой другой подходящей единице.

Макромасштабная модель на рисунке 1 объединяет параметры и включает ряд упрощающих приближений:

1. уровни рождаемости и смертности постоянны;
2. все люди идентичны, без генетики или возрастной структуры;
3. доли индивидуумов имеют смысл;
4. параметры постоянны и не меняются;
5. среда обитания совершенно однородна;
6. не происходит ни иммиграции, ни эмиграции; и
7. случайность не имеет значения.

Все эти аппроксимации макромасштабной модели могут быть уточнены в аналогичных микромасштабных моделях. В первом приближении, указанном выше (когда уровни рождаемости и смертности постоянны), макромасштабная модель на рисунке 1 представляет собой в точности среднее значение большого количества стохастических испытаний с темпами роста, колеблющимися случайным образом в каждый момент времени. Микромасштабные стохастические детали включаются в уравнение диффузии в частных производных , и это уравнение используется для установления эквивалентности.

Чтобы ослабить другие предположения, исследователи применили вычислительные методы. Рисунок 2 представляет собой образец вычислительного микромасштабного алгоритма, который соответствует макромасштабной модели, показанной на рисунке 1. Когда все люди идентичны, а мутации в показателях рождаемости и смертности отключены, динамика микромасштаба во многом аналогична динамике макромасштаба (рисунки 3A и 3B). Небольшие различия между двумя моделями возникают из-за стохастических изменений в микромасштабной версии, отсутствующих в детерминированной макромасштабной модели. Эти вариации будут разными каждый раз при выполнении алгоритма, что является результатом преднамеренных изменений в последовательностях случайных чисел.

Когда не все люди одинаковы, динамика на микроуровне может значительно отличаться от динамики на макроуровне, моделируя более реалистичные ситуации, чем можно смоделировать на макроуровне (рис. 3C и 3D). Микромасштабная модель не включает явно дифференциальное уравнение, хотя для больших популяций она точно имитирует его. Когда люди отличаются друг от друга, система имеет четко определенное поведение, но дифференциальные уравнения, управляющие этим поведением, трудно систематизировать. Алгоритм, показанный на рисунке 2, представляет собой базовый пример того, что называется моделью без уравнений .

Когда мутации включены в микромасштабной модели ( $\sigma >0$), население растет быстрее, чем в макромасштабной модели (рис. 3C и 3D). Мутации параметров позволяют некоторым людям иметь более высокий уровень рождаемости, а другим — более низкий уровень смертности, и эти люди вносят пропорционально больший вклад в популяцию. При прочих равных условиях средний уровень рождаемости смещается к более высоким значениям, а средний уровень смертности смещается к более низким значениям по мере продвижения моделирования. Этот дрейф отслеживается в структурах данных, называемых бета и дельта микромасштабного алгоритма, показанного на рисунке 2.

Алгоритм, показанный на рисунке 2, представляет собой упрощенную микромасштабную модель, использующую метод Эйлера . Другие алгоритмы, такие как метод Гиллеспи. и метод дискретных событий также используются на практике. Варианты алгоритма, используемые на практике, включают в себя такие преимущества, как исключение людей из рассмотрения после их смерти (для уменьшения требований к памяти и увеличения скорости) и планирование стохастических событий на будущее (для обеспечения непрерывной шкалы времени и дальнейшего повышения скорости). Такие подходы могут быть на порядки быстрее.

Сложность

Сложность систем, рассматриваемых в микромасштабных моделях, приводит к сложности самих моделей, а спецификация микромасштабной модели может быть в десятки или сотни раз больше, чем соответствующая ей макромасштабная модель. (Упрощенный пример на рис. 2 имеет в спецификации в 25 раз больше строк, чем на рис. 1.) Поскольку ошибки возникают в компьютерном программном обеспечении и не могут быть полностью устранены стандартными методами, такими как тестирование, а поскольку сложные модели часто не публикуются подробно и не рецензируются, их достоверность ставится под сомнение. Существуют руководящие принципы по передовому опыту использования микромасштабных моделей. но ни одна статья по этой теме не претендует на полное решение проблемы проверки сложных моделей.

Будущее

Вычислительные мощности достигают уровня, когда население целых стран или даже всего мира находится в пределах досягаемости микромасштабных моделей, а улучшение данных переписи населения и поездок позволяет дальнейшие улучшения в параметризации таких моделей. Удаленные датчики со спутников наблюдения за Землей и наземных обсерваторий, таких как Национальная сеть экологических обсерваторий (NEON), предоставляют большие объемы данных для калибровки. Потенциальные применения варьируются от прогнозирования и снижения распространения болезней до помощи в понимании динамики Земли.

Цифры

Рисунок 1. Макромасштабные уравнения

Рисунок 1. Одна из простейших макромоделей: обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее непрерывный экспоненциальный рост . $N(t)$ это численность населения в то время $t$ и $dN(t)/dt$ это скорость изменения во времени в одном измерении $N$. $N(0)$ это начальная популяция $t=0$, $\beta$ - рождаемость в единицу времени, а $\delta$ — уровень смертности в единицу времени. Слева — дифференциальная форма; справа — явное решение в терминах стандартных математических функций, которое в данном случае следует из дифференциальной формы. Почти все макромасштабные модели более сложны, чем этот пример, поскольку они имеют несколько измерений, не имеют явных решений в терминах стандартных математических функций и должны пониматься на основе их дифференциальных форм.

Рисунок 2. Микромасштабный алгоритм, соответствующий уравнениям рисунка 1.

Рисунок 2. Базовый алгоритм применения метода Эйлера к индивидуальной модели. Смотрите текст для обсуждения. Алгоритм, представленный в псевдокоде , начинается с вызова процедуры $\operatorname {Microscale} ()$, который использует структуры данных для выполнения моделирования в соответствии с пронумерованными шагами, описанными справа. Он неоднократно вызывает функцию $\operatorname {Mutation} (v)$, который возвращает свой параметр, возмущенный случайным числом, полученным из равномерного распределения со стандартным отклонением, определяемым переменной $sigma$. (Квадратный корень из 12 появляется потому, что стандартное отклонение равномерного распределения включает этот фактор.) Функция $\operatorname {Rand} ()$ в алгоритме предполагается, что оно возвращает равномерно распределенное случайное число $0\leq Rand()<1$. Предполагается, что данные сбрасываются до исходных значений при каждом вызове $\operatorname {Microscale} ()$.

Рисунок 3. Динамика

Рисунок 3. Графическое сравнение динамики макромасштабного и микромасштабного моделирования на рисунках 1 и 2 соответственно.

(A)   Черная кривая отображает точное решение макромасштабной модели, показанной на рисунке 1, с $\beta =1/5$ в год, $\delta =1/10$ в год, и $N_{0}=1000$ лица.

(B)   Красные точки показывают динамику микромасштабной модели на рисунке 2, показанной с интервалом в один год, с использованием тех же значений $\beta$, $\delta$, и $N_{0}$и без мутаций $(\sigma =0)$.

(C)   Синие точки показывают динамику микромасштабной модели с мутациями, имеющими стандартное отклонение $\sigma =0.006$.

(D)   Зеленые точки показывают результаты с более крупными мутациями, $\sigma =0.010$.