Моделирование без уравнений

Безуравненное моделирование — это метод многомасштабных вычислений и компьютерного анализа . Он предназначен для класса сложных систем, в которых можно наблюдать эволюцию на макроскопическом, грубом масштабе, представляющем интерес, в то время как точные модели даются только на тонкодетальном, микроскопическом уровне описания. Структура позволяет выполнять макроскопические вычислительные задачи (в больших масштабах пространства-времени), используя только соответствующим образом инициализированное микроскопическое моделирование на коротком времени и в масштабах небольшой длины. Методика исключает вывод явных макроскопических уравнений эволюции , когда эти уравнения концептуально существуют, но недоступны в закрытой форме; отсюда и термин «свободный от уравнений». ^{[ 1 ]}

Введение

В широком спектре химических, физических и биологических систем когерентное макроскопическое поведение возникает в результате взаимодействия между самими микроскопическими объектами (молекулами, клетками, зернами, животными в популяции, агентами) и их окружающей средой. Иногда, что примечательно, крупномасштабная модель дифференциального уравнения (например, уравнения Навье-Стокса для потока жидкости или система реакция-диффузия ) может точно описать макроскопическое поведение. Такое макромасштабное моделирование использует общие принципы сохранения (атомов, частиц, массы, импульса, энергии) и замыкается в корректную систему посредством феноменологических определяющих уравнений или уравнений состояния . Однако все чаще встречаются сложные системы , для которых известны только микроскопические модели мелкого масштаба. В таких случаях, хотя мы и наблюдаем возникновение крупномасштабного макроскопического поведения, моделирование его с помощью явных замыкающих отношений может оказаться невозможным или непрактичным. Течение неньютоновской жидкости , хемотаксис , пористых сред , транспорт эпидемиология , моделирование мозга и нейронные системы — вот некоторые типичные примеры. Целью безуравненного моделирования является использование таких микромасштабных моделей для прогнозирования грубых возникающих явлений на макромасштабе.

Выполнение крупномасштабных вычислительных задач непосредственно с помощью мелкомасштабных моделей часто невозможно: прямое моделирование во всей интересующей пространственно-временной области часто оказывается непомерно вычислительным. Более того, задачи моделирования, такие как численный бифуркационный анализ , часто невозможно выполнить непосредственно на мелкомасштабной модели: крупномасштабное устойчивое состояние может не подразумевать устойчивое состояние для мелкомасштабной системы, поскольку отдельные молекулы или частицы не прекратить движение, когда плотность газа или давление станут стационарными. Моделирование без уравнений позволяет обойти такие проблемы за счет использования коротких импульсов соответствующим образом инициализированного мелкомасштабного моделирования, а в пространственных задачах - на небольших, хорошо разделенных участках пространства. ^{[ 2 ]} ^{[ 3 ]} Бесплатный набор инструментов Matlab/Octave позволяет людям использовать эти методы без уравнений. ^{[ 4 ]}

Грубый степпер времени

Динамические задачи требуют грубого шага времени. По сути, короткие серии вычислительных экспериментов с использованием мелкомасштабного симулятора позволяют оценить локальные производные по времени. Учитывая начальные условия для грубых переменных $U(t_{k})$ во время $t_{k}$ , грубый шаговик по времени включает четыре этапа:

Подъем, создает микромасштабные начальные условия. $u(t_{k})$ , согласующийся с макросостоянием $U(t_{k})$ ;
Моделирование использует микромасштабный симулятор для расчета состояния микромасштаба. $u(t)$ с более коротким интервалом $t_{k}\leq t\leq t_{k}+\delta t$ ;
Ограничение, получает макросостояние $U(t_{k}+\delta t)$ из мелкомасштабного состояния $u(t)$ ;
Временной шаг, экстраполяция макросостояния $U$ от $t_{k}$ к $t_{k+1}=t_{k}+\Delta t$ предсказывает состояние макровремени в будущем.

Множественные временные шаги моделируют систему в макробудущем. Если микромасштабная модель является стохастической, то для получения достаточно хорошей экстраполяции на временном шаге может потребоваться ансамбль микромасштабных симуляций. Такой грубый шаговик по времени может использоваться во многих алгоритмах традиционного численного анализа непрерывной среды, таких как численный бифуркационный анализ, оптимизация, управление и даже ускоренное крупномасштабное моделирование. Для детерминированных систем набор инструментов Matlab/Octave предоставляет пользователю точные временные шаговые устройства более высокого порядка: ^{[ 4 ]} схема Рунге--Кутты второго и четвертого порядков и общая схема сопряжения.

Традиционно алгебраические формулы определяют производные по времени грубой модели. В этом подходе производная макромасштаба оценивается внутренним микромасштабным симулятором, фактически выполняющим замыкание по требованию. Причина названия «без уравнений» без матриц связана с аналогией с числовой линейной алгеброй ; ^{[ 5 ]} название подчеркивает, что уравнения макроуровня никогда не строятся явно в замкнутой форме.

Ограничение

Оператор ограничения часто следует непосредственно из конкретного выбора переменных макромасштаба. Например, когда микромасштабная модель представляет собой ансамбль из многих частиц, ограничение обычно вычисляет первые несколько моментов распределения частиц (плотность, импульс и энергия).

Лифтинг

Оператор подъемника обычно принимает гораздо более активное участие. Например, рассмотрим модель частицы: нам нужно определить отображение нескольких моментов распределения частиц низкого порядка на начальные условия для каждой частицы. Предположение о том, что существует связь, которая замыкается в этих грубых моментах низкого порядка, подразумевает, что подробные микромасштабные конфигурации являются функционалами моментов (иногда называемых подчиненными). ^{[ 6 ]}). Мы предполагаем, что эта связь устанавливается/возникает во временных масштабах, которые являются быстрыми по сравнению с общей эволюцией системы (см. Теорию медленных многообразий и приложения). ^{[ 7 ]}). К сожалению, замыкания (подчиненные отношения) алгебраически неизвестны (так как в противном случае был бы известен грубый закон эволюции).

Инициализация неизвестных микромасштабных режимов случайным образом вносит ошибку подъема: мы полагаемся на разделение макро- и микровременных масштабов, чтобы обеспечить быструю релаксацию к функционалам грубых макросостояний (исцеление). Может потребоваться подготовительный шаг, возможно, включающий микромасштабное моделирование, ограниченное для сохранения фиксированных макросостояний. ^{[ 8 ]} Когда система имеет уникальную фиксированную точку для неизвестных микромасштабных деталей, обусловленных грубыми макросостояниями, алгоритм ограниченных прогонов может выполнить этот подготовительный шаг, используя только микромасштабный таймер. ^{[ 9 ]}

Наглядный пример

Игрушечная задача иллюстрирует основные понятия. Например, рассмотрим систему дифференциальных уравнений для двух переменных $(U(t),u(t))$ :

{\frac {dU}{dt}}=-U-u+2\,,\quad {\frac {du}{dt}}=100(U^{3}-u).

Капитал $U$ обозначает предполагаемую переменную макромасштаба, а строчные буквы $u$ микромасштабная переменная. Эта классификация означает, что мы предполагаем грубую модель вида $dU/dt=G(U)$ существует, хотя мы не обязательно знаем, что это такое. Произвольно определить выход из любого заданного макросостояния. $U$ как $(U,u)=(U,0.5)$ . Моделирование с использованием этого подъема и грубого шагового механизма показано на рисунке.

Грубый шаговый процессор по времени, не содержащий уравнений, примененный к иллюстративному примеру системы дифференциальных уравнений с использованием $\delta t=0.1$ и $U(0)=-1$ .

Решение дифференциального уравнения быстро переходит на медленное многообразие $u\approx U^{3}$ для любых исходных данных. Грубое решение с шагом по времени будет лучше согласовываться с полным решением, если увеличить коэффициент 100. На графике показано поднятое решение (сплошная синяя линия). $(U,u)$ . Время от времени $t=n\delta t$ , решение ограничивается, а затем снова снимается, что в данном случае просто установка $u(n\delta t)=0.5$ . Медленное многообразие показано красной линией. Правый график показывает производную по времени ограниченного решения как функцию времени (синяя кривая), а также производную по времени. $dU/dt$ (грубая производная по времени), наблюдаемая при полном моделировании (красная кривая).

О применении к конкретным многомасштабным задачам

Подход без уравнений применялся во многих примерах. Примеры иллюстрируют различные способы конструирования и сборки алгоритмических строительных блоков. Численный анализ устанавливает точность и эффективность этого подхода. Также был проведен дополнительный численный анализ других методов этого типа. ^{[ 10 ]}

Применение парадигмы без уравнений к реальной проблеме требует значительной осторожности, особенно при определении операторов подъема и ограничения, а также соответствующего внешнего решателя.

Первой задачей является определение макромасштабных наблюдаемых. Они должны быть достаточно полными, чтобы можно было надежно реконструировать (увеличить) неизвестные переменные микромасштаба. Физические аргументы часто отождествляют наблюдаемые макромасштаба. Почти всегда используются плотности, но есть несколько удивительно простых примеров, когда корреляционные функции являются важными переменными макромасштаба. ^{[ 11 ]} Если не прибегать к физическим аргументам, то современные методы интеллектуального анализа данных или многообразного обучения, такие как Isomap или диффузионные карты, могут получить макромасштабные переменные из микромасштабного моделирования. ^{[ 12 ]}
Должно быть четкое разделение между временными масштабами макромасштабных наблюдаемых и временными масштабами остальных микромасштабных режимов, квазиравновесных для любого макросостояния.
Знания макромасштабных наблюдаемых может быть недостаточно. Одной из стратегий получения такой информации является схема «купание ребенка», в которой используется только соответствующим образом инициализированное моделирование. ^{[ 13 ]}

Грубый бифуркационный анализ

Метод рекурсивного проецирования ^{[ 14 ]} позволяет рассчитывать бифуркационные диаграммы с использованием устаревшего кода моделирования. Это также позволяет грубому шаговому устройству выполнять вычисления бифуркации без уравнений. Рассмотрим грубый шаговик по времени в его эффективной форме.

{\vec {U}}^{n+1}={\vec {S}}({\vec {U}}^{n},\lambda ;\delta t),

который включает явную зависимость от одного или нескольких параметров $\lambda$ . Бифуркационный анализ вычисляет равновесия или периодические орбиты , их устойчивость и зависимость от параметра. $\lambda$ .

Вычислите грубое равновесие как фиксированную точку грубого шагового механизма по времени.

{\vec {U}}-{\vec {S}}({\vec {U}},\lambda ;\delta t)={\vec {0}}.

В контексте отсутствия уравнений метод рекурсивного проецирования является внешним решателем этого уравнения, а грубый шаговик по времени позволяет выполнять этот метод с использованием мелкомасштабной динамики.

Кроме того, для задач, в которых макромасштаб имеет непрерывную симметрию, можно использовать подход, основанный на шаблонах. ^{[ 15 ]} для вычисления грубых самоподобных или бегущих волновых решений как фиксированных точек грубого шагового двигателя, который также кодирует соответствующее изменение масштаба и/или сдвиг пространства-времени и/или решения. Например, автомодельные диффузионные решения могут быть найдены как функция плотности вероятности детальной молекулярной динамики . ^{[ 16 ]}

Альтернативой методу рекурсивного проецирования является использование методов Ньютона-Крылова. ^{[ 17 ]}

Грубое проективное интегрирование

Грубый шаговик по времени ускоряет моделирование в течение длительного макромасштабного времени. Пусть в описанной выше схеме большой макрошаг по времени $\Delta t\gg \delta t$ и находиться во временном масштабе медленной грубой динамики. Пусть вычисленное $U^{n}\approx U(n\Delta t)$ в терминах грубой переменной и позвольте микромасштабному моделированию вычислить $U^{n,k}\approx U(n\Delta t+k\delta t)$ из моделирования по местному времени с начальным условием, что грубая переменная $U(n\Delta t)=U^{n}=U^{n,0}$ . Затем мы аппроксимируем $U((n+1)\Delta t)$ путем экстраполяции на разрыв

U^{n+1}=U^{n,k}+(\Delta t-k\delta t)F({\vec {U}}^{n})

где, например, простая линейная экстраполяция будет

F({\vec {U}}^{n})=(U^{n,k}-U^{n,k-1})/\delta t

Эта схема называется грубой проективной прямой Эйлером и является самой простой в своем классе.

The $k$ шаги, предпринятые перед экстраполяцией, отражают то, что мы должны позволить системе прийти к квазиравновесию (с точки зрения микромасштаба), чтобы мы могли провести надежную экстраполяцию медленной динамики. Тогда размер шага проективного интегрирования ограничен устойчивостью медленных мод. ^{[ 18 ]}

Могут быть сформированы версии грубого проективного интегрирования более высокого порядка, аналогичные Адамсу-Башфорту или Рунге-Кутте . ^{[ 19 ]} Схемы более высокого порядка для систем, в которых микромасштабный шум все еще проявляется на макромасштабном временном шаге, являются более проблематичными. ^{[ 20 ]}

Динамика патчей

Пространственным аналогом проективной интеграции является схема «зубец». Идея схемы «зазор-зуб» заключается в выполнении моделирования небольших участков пространства, зубов, разделенных немоделируемым пространством, промежутков. Соответствующим образом соединяя небольшие фрагменты симуляций, мы создаем крупномасштабную, грубую симуляцию пространственно расширенной системы. Когда микромасштабный симулятор требует больших вычислительных затрат, схема с зазором зуба обеспечивает эффективное крупномасштабное прогнозирование. Более того, он делает это без необходимости находить алгебраическое замыкание для крупномасштабной модели. ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} Набор инструментов Matlab/Octave предоставляет пользователям поддержку для реализации моделирования на прямоугольной сетке патчей в 1D или 2D пространстве. ^{[ 4 ]}

Комбинация схемы «зазор-зуб» с грубым проективным интегрированием называется динамикой патча.

Связывающие граничные условия

Ключом к схеме «зазор-зуб» и «заплатка» является соединение небольших заплаток в немоделируемом пространстве. Удивительно, но общий ответ заключается в том, чтобы просто использовать классическую интерполяцию Лагранжа, будь то в одном измерении. ^{[ 23 ]} или несколько измерений. ^{[ 24 ]} Этот ответ связан со связью целостной дискретизации и теоретической поддержкой, обеспечиваемой теорией медленных многообразий . Интерполяция обеспечивает значение или граничные условия потока, как того требует микромасштабный симулятор. Согласованность высокого порядка между макромасштабной схемой зазора-зуба/заплатки и микромасштабным моделированием достигается за счет интерполяции Лагранжа высокого порядка.

Однако обычно микромасштаб представляет собой модель, основанную на зашумленных частицах или агентах . В таких случаях соответствующими переменными макромасштаба являются средние значения, такие как масса и плотность импульса. Тогда обычно приходится формировать средние значения по ядру каждого зубца/участка и применять условие связи к конечной области действия на краях каждого зубца/участка. Предварительная рекомендация — сделать эти области размером в половину зуба/заплаты. ^{[ 25 ]} То есть для повышения эффективности микромасштаб зуба/заплаты делается как можно меньшим, но ограничивается необходимостью приспосабливаться к действию и центральными областями, достаточно большими, чтобы формировать достаточно точные средние значения.

Лифтинг

Динамика патчей представляет собой комбинацию схемы «зазор-зуб» и грубой проективной интеграции. Как и при обычном проективном интегрировании, в начале каждого пакета микромасштабного моделирования необходимо создать начальные условия для каждого фрагмента, которые согласуются с локальными переменными макромасштаба и градиентами макромасштаба из соседних интерполированных фрагментов. Достаточно тех же методов.

Открытые проблемы и будущие направления

Предположения и выбор относительно макромасштабной эволюции имеют решающее значение в схеме без уравнений. Ключевое предположение состоит в том, что переменные, которые мы выбираем для связи на макроуровне, должны эффективно замыкаться на выбранном макромасштабе. Если выбранная длина макромасштаба слишком мала, могут потребоваться переменные более грубого масштаба: например, в гидродинамике мы обычно замыкаем PDE для плотности, импульса и энергии; тем не менее, в высокоскоростном потоке, особенно при более низких плотностях, нам необходимо определить моды молекулярных колебаний, поскольку они не уравновесились во временных масштабах потока жидкости. Качественно те же соображения применимы и к безуравненному подходу.

Для многих систем подходящие грубые переменные более или менее известны из опыта. Однако в сложных ситуациях возникает необходимость автоматически обнаруживать соответствующие грубые переменные, а затем использовать их в макромасштабной эволюции. Это требует гораздо большего количества исследований с использованием методов интеллектуального анализа данных и многообразного обучения. В некоторых задачах может случиться так, что соответствующие грубые переменные, помимо плотностей, также должны включать пространственные корреляции, как в так называемых броуновских ошибках. ^{[ 26 ]}

Макромасштаб, возможно, придется рассматривать как стохастическую систему, но тогда ошибки, вероятно, будут намного больше, а замыкания - более неопределенными.

Ссылки

^ Кеврекидис, ИГ ; Самаей, Г. (2009), «Многомасштабные вычисления без уравнений: алгоритмы и приложения», Annual Review of Physical Chemistry , 60 : 321–344, Bibcode : 2009ARPC...60..321K , doi : 10.1146/annurev.physchem .59.032607.093610 , ПМИД 19335220
^ Кеврекидис, И.Г.; и др. (2003), «Без уравнений, крупнозернистые многомасштабные вычисления: предоставление возможности микроскопическим симуляторам выполнять задачи системного уровня», Comm. Математика. наук , 1 (4): 715–762, doi : 10.4310/CMS.2003.v1.n4.a5 , MR 2041455
^ Кеврекидис, И.Г. и Самаей, Джованни (2009), «Многомасштабные вычисления без уравнений: алгоритмы и приложения», Annu. Преподобный физ. хим. , 60 : 321–44, Бибкод : 2009ARPC...60..321K , doi : 10.1146/annurev.physchem.59.032607.093610 , PMID 19335220 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б ^с Эй Джей Робертс, Джон Маклин и Дж. Бандер (2019), Набор инструментов для функций без уравнений для Matlab/Octave
^ CT Келли. Итерационные методы для линейных и нелинейных уравнений , SIAM, Филадельфия, 1995.
^ Х. Хакен. Еще раз о принципе рабства. Физика Д. , 97:95–103, 1996.
^ Эй Джей Робертс. Эффективно моделируйте динамику, детерминированную и стохастическую, в различных масштабах пространства и времени. В JG Hartnett и PC Abbott, редакторах, Frontiers of Fundamental and Computational Physics: 10th International Symposium , том 1246, страницы 75–87. АИП, 2010.
^ Дж. П. Рикарт, Г. Чиккотти и Х. Берендсен. Численное интегрирование декартова уравнения движения системы со связями: молекулярная динамика N-алканов. Дж. Компьютер. Физ. , 23:237, 1977.
^ CW Gear, Ти.Дж. Капер, И.Г. Кеврекидис и А. Загарис. Проецирование на медленное многообразие: сингулярно возмущенные системы и устаревшие коды. Журнал SIAM по прикладным динамическим системам 4 (3): 711–732, 2005.
^ WE и Б. Энгквист (2003). Гетерогенные многомасштабные методы Comm. Математика. Науки 1 (1): 87–132.
^ WR Young, AJ Roberts и G. Stuhne. Репродуктивные парные корреляции и кластеризация организмов. Природа, 412:328–331, 2001.
^ Р.Р. Койфман и др. (2005). Геометрические диффузии как инструмент гармонического анализа и определения структуры данных: Карты диффузии Proceedings of the National Academy of Sciences 102 (21): 7426–7431.
^ Дж. Ли, П.Г. Кеврекидис, CW Gear и И.Г. Кеврекидис (2003). Определение природы грубого уравнения посредством микроскопического моделирования: схема детской ванночки SIAM Multiscale Modeling and Simulation 1(3):391–407.
^ Г. М. Шрофф и Х. Б. Келлер (1993). Стабилизация нестабильных процедур: метод рекурсивного проецирования. SIAM Journal on Numerical Analysis 30: 1099–1120.
^ К. Роули и Дж. Марсден (2000). Уравнения реконструкции и разложение Карунена–Лоэва для систем с симметрией Physica D: Nonlinear Phenomena 142: 1–19.
^ Л. Чен, П. Дебенедетти, CW Gear и И.Г. Кеврекидис (2004). От молекулярной динамики к грубым самоподобным решениям: простой пример использования вычислений без уравнений Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 120: 215–223.
^ CT Келли (1995). Итерационные методы для решения линейных и нелинейных уравнений SIAM, Филадельфия.
^ CW Gear и ИГ Кеврекидис. Проективные методы решения жестких дифференциальных уравнений: задачи с пробелами в спектре собственных значений. Журнал SIAM по научным вычислениям 24 (4): 1091–1106, 2003.
^ CW Gear; И.Г. Кеврекидис и Теодоропулос. Грубое интегрирование/бифуркационный анализ с помощью микроскопических симуляторов: микро-методы Галеркина Computers and Chemical Engineering 26: 941–963, 2002.
^ X. Чен, А. Дж. Робертс и И. Г. Кеврекидис. Проективная интеграция дорогостоящего многомасштабного стохастического моделирования. В. Маклин и А. Дж. Робертс, редакторы, Труды 15-й конференции по вычислительным методам и приложениям, проводимой раз в два года, CTAC-2010, том 52 журнала ANZIAM J. , страницы C661–C677, август 2011 г. http://journal.austms.org .au/ojs/ index.php/ANZIAMJ/article/view/3764
^ Кеврекидис, И.Г. и др. (2003). Грубые многомасштабные вычисления без использования уравнений: позволяют микроскопическим симуляторам выполнять задачи системного уровня . Математика. Науки 1 (4): 715–762.
^ Самаей, Г.; Руз Д. и Кеврекидис И.Г. (2005). Схема зубца с зазором для задач гомогенизации SIAM Multiscale Modeling and Simulation 4: 278–306.
^ Jump up to: ^а ^б Робертс, А.Дж. и Кеврекидис, И.Г. (2007). Общие граничные условия зубьев для моделирования без уравнений SIAM J. Scientific Computing 29(4): 1495–1510.
^ Эй Джей Робертс, Т. Маккензи и Дж. Бандер. Динамический системный подход к моделированию макромасштабной пространственной динамики в нескольких измерениях. Журнал инженерной математики , 86(1):175–207, 2014.
^ Бандер, Дж. Э., Эй Джей Робертс и И. Г. Кеврекидис (2017). «Хорошая связь для многомасштабной схемы исправлений в системах с микромасштабной неоднородностью». В: J. Computational Physics 337, стр. 154–174. [1]
^ WR Young, AJ Roberts и G. Stuhne. Репродуктивные парные корреляции и кластеризация организмов. Природа , 412:328–331, 2001.

Внешние ссылки

Яннис Кеврекидис (ред.). «Безуравненное моделирование» . Схоларпедия .

[1] Кеврекидис, ИГ ; Самаей, Г. (2009), «Многомасштабные вычисления без уравнений: алгоритмы и приложения», Annual Review of Physical Chemistry , 60 : 321–344, Bibcode : 2009ARPC...60..321K , doi : 10.1146/annurev.physchem .59.032607.093610 , ПМИД 19335220

[2] Кеврекидис, И.Г.; и др. (2003), «Без уравнений, крупнозернистые многомасштабные вычисления: предоставление возможности микроскопическим симуляторам выполнять задачи системного уровня», Comm. Математика. наук , 1 (4): 715–762, doi : 10.4310/CMS.2003.v1.n4.a5 , MR 2041455

[3] Кеврекидис, И.Г. и Самаей, Джованни (2009), «Многомасштабные вычисления без уравнений: алгоритмы и приложения», Annu. Преподобный физ. хим. , 60 : 321–44, Бибкод : 2009ARPC...60..321K , doi : 10.1146/annurev.physchem.59.032607.093610 , PMID 19335220 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Roberts2019-4] Jump up to: ^а ^б ^с Эй Джей Робертс, Джон Маклин и Дж. Бандер (2019), Набор инструментов для функций без уравнений для Matlab/Octave

[5] CT Келли. Итерационные методы для линейных и нелинейных уравнений , SIAM, Филадельфия, 1995.

[6] Х. Хакен. Еще раз о принципе рабства. Физика Д. , 97:95–103, 1996.

[7] Эй Джей Робертс. Эффективно моделируйте динамику, детерминированную и стохастическую, в различных масштабах пространства и времени. В JG Hartnett и PC Abbott, редакторах, Frontiers of Fundamental and Computational Physics: 10th International Symposium , том 1246, страницы 75–87. АИП, 2010.

[8] Дж. П. Рикарт, Г. Чиккотти и Х. Берендсен. Численное интегрирование декартова уравнения движения системы со связями: молекулярная динамика N-алканов. Дж. Компьютер. Физ. , 23:237, 1977.

[9] CW Gear, Ти.Дж. Капер, И.Г. Кеврекидис и А. Загарис. Проецирование на медленное многообразие: сингулярно возмущенные системы и устаревшие коды. Журнал SIAM по прикладным динамическим системам 4 (3): 711–732, 2005.

[10] WE и Б. Энгквист (2003). Гетерогенные многомасштабные методы Comm. Математика. Науки 1 (1): 87–132.

[11] WR Young, AJ Roberts и G. Stuhne. Репродуктивные парные корреляции и кластеризация организмов. Природа, 412:328–331, 2001.

[12] Р.Р. Койфман и др. (2005). Геометрические диффузии как инструмент гармонического анализа и определения структуры данных: Карты диффузии Proceedings of the National Academy of Sciences 102 (21): 7426–7431.

[13] Дж. Ли, П.Г. Кеврекидис, CW Gear и И.Г. Кеврекидис (2003). Определение природы грубого уравнения посредством микроскопического моделирования: схема детской ванночки SIAM Multiscale Modeling and Simulation 1(3):391–407.

[14] Г. М. Шрофф и Х. Б. Келлер (1993). Стабилизация нестабильных процедур: метод рекурсивного проецирования. SIAM Journal on Numerical Analysis 30: 1099–1120.

[15] К. Роули и Дж. Марсден (2000). Уравнения реконструкции и разложение Карунена–Лоэва для систем с симметрией Physica D: Nonlinear Phenomena 142: 1–19.

[16] Л. Чен, П. Дебенедетти, CW Gear и И.Г. Кеврекидис (2004). От молекулярной динамики к грубым самоподобным решениям: простой пример использования вычислений без уравнений Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 120: 215–223.

[17] CT Келли (1995). Итерационные методы для решения линейных и нелинейных уравнений SIAM, Филадельфия.

[18] CW Gear и ИГ Кеврекидис. Проективные методы решения жестких дифференциальных уравнений: задачи с пробелами в спектре собственных значений. Журнал SIAM по научным вычислениям 24 (4): 1091–1106, 2003.

[19] CW Gear; И.Г. Кеврекидис и Теодоропулос. Грубое интегрирование/бифуркационный анализ с помощью микроскопических симуляторов: микро-методы Галеркина Computers and Chemical Engineering 26: 941–963, 2002.

[20] X. Чен, А. Дж. Робертс и И. Г. Кеврекидис. Проективная интеграция дорогостоящего многомасштабного стохастического моделирования. В. Маклин и А. Дж. Робертс, редакторы, Труды 15-й конференции по вычислительным методам и приложениям, проводимой раз в два года, CTAC-2010, том 52 журнала ANZIAM J. , страницы C661–C677, август 2011 г. http://journal.austms.org .au/ojs/ index.php/ANZIAMJ/article/view/3764

[21] Кеврекидис, И.Г. и др. (2003). Грубые многомасштабные вычисления без использования уравнений: позволяют микроскопическим симуляторам выполнять задачи системного уровня . Математика. Науки 1 (4): 715–762.

[22] Самаей, Г.; Руз Д. и Кеврекидис И.Г. (2005). Схема зубца с зазором для задач гомогенизации SIAM Multiscale Modeling and Simulation 4: 278–306.

[Roberts2007-23] Jump up to: ^а ^б Робертс, А.Дж. и Кеврекидис, И.Г. (2007). Общие граничные условия зубьев для моделирования без уравнений SIAM J. Scientific Computing 29(4): 1495–1510.

[24] Эй Джей Робертс, Т. Маккензи и Дж. Бандер. Динамический системный подход к моделированию макромасштабной пространственной динамики в нескольких измерениях. Журнал инженерной математики , 86(1):175–207, 2014.

[25] Бандер, Дж. Э., Эй Джей Робертс и И. Г. Кеврекидис (2017). «Хорошая связь для многомасштабной схемы исправлений в системах с микромасштабной неоднородностью». В: J. Computational Physics 337, стр. 154–174. [1]

[26] WR Young, AJ Roberts и G. Stuhne. Репродуктивные парные корреляции и кластеризация организмов. Природа , 412:328–331, 2001.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]