Парадокс Стокса

В науке о течении жидкости парадокс Стокса — это явление, заключающееся в том, что не может быть ползущего течения жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, тот факт, что не существует нетривиального стационарного решения для уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра. Это противоположно трехмерному случаю, где метод Стокса обеспечивает решение проблемы обтекания сферы.

Парадокс Стокса был разрешен Карлом Вильгельмом Осеном в 1910 году путем введения уравнений Озеена , которые улучшают уравнения Стокса - путем добавления конвективного ускорения .

Вывод

Вектор скорости $\mathbf {u}$ жидкости тока можно записать через функцию $\psi$ как

$\mathbf {u} =\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right).$

Функция потока в задаче о потоке Стокса: $\psi$ удовлетворяет бигармоническому уравнению . Относительно $(x,y)$-плоскость как комплексная плоскость , проблему можно решить, используя методы комплексного анализа . В этом подходе $\psi$ является либо реальной , либо мнимой частью

${\bar {z}}f(z)+g(z)$.

Здесь $z=x+iy$, где $i$ — мнимая единица, ${\bar {z}}=x-iy$, и $f(z),g(z)$ являются голоморфными функциями вне круга. Мы возьмем действительную часть без ограничения общности . Теперь функция $u$, определяемый $u=u_{x}+iu_{y}$ вводится. $u$ можно записать как $u=-2i{\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}$, или ${\frac {1}{2}}iu={\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}$ (с использованием производных Виртингера ). Это рассчитывается как равное

${\frac {1}{2}}iu=f(z)+z{\bar {f\prime }}(z)+{\bar {g\prime }}(z).$

Без ограничения общности диск можно считать единичным диском , состоящим из всех комплексных чисел z, которых абсолютная величина меньше или равна 1.

Граничные условия :

$\lim _{z\to \infty }u=1,$

$u=0,$

в любое время $|z|=1$, и представляя функции $f,g$ как серия Лорана :

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}z^{n},\quad g(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g_{n}z^{n},$

первое условие подразумевает $f_{n}=0,g_{n}=0$ для всех $n\geq 2$.

Используя полярную форму $z$ приводит к $z^{n}=r^{n}e^{in\theta },{\bar {z}}^{n}=r^{n}e^{-in\theta }$. Получив форму ряда u , подставив в нее это вместе с $r=1$, и изменяя некоторые индексы, второе граничное условие переводится в вид

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in\theta }\left(f_{n}+(2-n){\bar {f}}_{2-n}+(1-n){\bar {g}}_{1-n}\right)=0.$

Поскольку комплексные тригонометрические функции $e^{in\theta }$ составить линейно независимое множество, то все коэффициенты ряда равны нулю. Изучение этих условий для каждого $n$ после учета условия на бесконечности показывает, что $f$ и $g$ обязательно имеют вид

$f(z)=az+b,\quad g(z)=-bz+c,$

где $a$ — мнимое число (противоположное своему комплексно-сопряженному числу ), а $b$ и $c$ являются комплексными числами. Подставив это в $u$ дает результат, который $u=0$ во всем мире, заставляя обоих $u_{x}$ и $u_{y}$ быть нулем. Поэтому движения быть не может – единственное решение состоит в том, чтобы цилиндр покоился относительно всех точек жидкости.

Разрешение

Парадокс вызван ограниченной применимостью аппроксимации Стокса, как объяснено в критике Осина : справедливость уравнений Стокса зависит от того, что число Рейнольдса мало, и это условие не может выполняться на сколь угодно больших расстояниях. $r$.

Правильное решение для цилиндра было получено с использованием уравнений Озеена , и те же уравнения приводят к улучшенному приближению силы сопротивления на сфере .

Нестационарное обтекание круглого цилиндра.

В отличие от парадокса Стокса , существует нестационарное решение той же задачи, которое моделирует поток жидкости, движущийся вокруг круглого цилиндра с малым числом Рейнольдса. Это решение можно дать явной формулой через завихренность векторного поля потока.

Формула стоксова потока вокруг круглого цилиндра.

Завихренность стоксова потока определяется следующим соотношением: $$w_{k}(t,r)=W_{|k|,|k|-1}^{-1}\left[e^{-\lambda ^{2}t}W_{|k|,|k|-1}[w_{k}(0,\cdot )](\lambda )\right](t,r).$$

Здесь $w_{k}(t,r)$ - коэффициенты Фурье разложения завихренности по полярному углу, определяемые на $(r_{0},\infty )$, $r_{0}$ - радиус цилиндра, $W_{|k|,|k|-1}$, $W_{|k|,|k|-1}^{-1}$ – прямое и обратное специальные преобразования Вебера, и начальная функция завихренности $w_{k}(0,r)$ удовлетворяет граничным условиям прилипания.

Специальное преобразование Вебера имеет нетривиальное ядро, но из условия прилипания следует ортогональность завихренного потока ядру.

Вывод

Специальное преобразование Вебера

Специальное преобразование Вебера является важным инструментом в решении задач гидродинамики . Он определен для $k\in \mathbb {R}$ как $$W_{k,k-1}[f](\lambda )=\int _{r_{0}}^{\infty }{\frac {J_{k}(\lambda s)Y_{k-1}(\lambda r_{0})-Y_{k}(\lambda s)J_{k-1}(\lambda r_{0})}{\sqrt {J_{k-1}^{2}(\lambda r_{0})+Y_{k-1}^{2}(\lambda r_{0})}}}f(s)sds,$$ где $J_{k}$, $Y_{k}$ – функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Для $k>1$ у него нетривиальное ядро который состоит из функций $C/r^{k}\in \ker(W_{k,k-1})$.

Обратное преобразование задается формулой $$W_{k,k-1}^{-1}[{\hat {f}}](r)=\int _{0}^{\infty }{\frac {J_{k}(\lambda r)Y_{k-1}(\lambda r_{0})-Y_{k}(\lambda s)J_{k-1}(\lambda r_{0})}{\sqrt {J_{k-1}^{2}(\lambda r_{0})+Y_{k-1}^{2}(\lambda r_{0})}}}{\hat {f}}(\lambda )\lambda d\lambda .$$

Ввиду нетривиальности ядра тождество обращения $$f(r)=W_{k,k-1}^{-1}\left[W_{k,k-1}[f]\right](r)$$ действителен, если $k\leq 1$. Также это справедливо в случае $k>1$ но только для функций, ортогональных ядру $W_{k,k-1}$ в $L_{2}(r_{0},\infty )$ с бесконечно малым элементом $rdr$: $$\int _{r_{0}}^{\infty }{\frac {1}{r^{k}}}f(r)rdr=0,~k>1.$$

Условие прилипания и закон Био – Савара.

Внешняя часть диска радиуса $r_{0}$ $B_{r_{0}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2},~\vert \mathbf {x} \vert >r_{0}\}$ закон Био -Савара $$\mathbf {v} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{B_{r_{0}}}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{\perp }}{\vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \vert ^{2}}}w(\mathbf {y} )\operatorname {d\mathbf {y} } +\mathbf {v} _{\infty },$$ восстанавливает поле скоростей $\mathbf {v} (\mathbf {x} )$ что вызвано завихренностью $w(\mathbf {x} )$ с нулевой окружностью и заданной постоянной скоростью $\mathbf {v} _{\infty }$ на бесконечности.

Условия предотвращения скольжения для $\mathbf {x} \in S_{r_{0}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2},~\vert \mathbf {x} \vert =r_{0}\}$ $${\frac {1}{2\pi }}\int _{B_{r_{0}}}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{\perp }}{\vert \mathbf {x} -\mathbf {y} \vert ^{2}}}w(\mathbf {y} )\operatorname {d\mathbf {y} } +\mathbf {v} _{\infty }=0$$ приводит к отношениям $k\in \mathbf {Z}$: $$\int _{r_{0}}^{\infty }r^{-\vert k\vert +1}w_{k}(r)dr=d_{k},$$ где $d_{k}=\delta _{\vert k\vert ,1}(v_{\infty ,y}+ikv_{\infty ,x}),$ $\delta _{\vert k\vert ,1}$ это дельта Кронекера , $v_{\infty ,x}$, $v_{\infty ,y}$ являются декартовыми координатами $\mathbf {v} _{\infty }$.

В частности, из условия прилипания следует ортогональность завихренности ядру преобразования Вебера $W_{k,k-1}$: $$\int _{r_{0}}^{\infty }r^{-\vert k\vert +1}w_{k}(r)dr=0~for~|k|>1.$$

Завихренное течение и его граничное условие

завихренность $w(t,\mathbf {x} )$ для стоксова течения удовлетворяет уравнению завихренности $${\frac {\partial w(t,\mathbf {x} )}{\partial t}}-\Delta w=0,$$ или через коэффициенты Фурье в разложении по полярному углу $${\frac {\partial w_{k}(t,r)}{\partial t}}-\Delta w_{k}=0,$$ где $$\Delta _{k}w_{k}(t,r)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}w_{k}(t,r)\right)-{\frac {k^{2}}{r^{2}}}w_{k}(t,r).$$

Из условия прилипания следует $${\frac {d}{dt}}\int _{r_{0}}^{\infty }r^{-\vert k\vert +1}w_{k}(t,r)dr=0.$$

Наконец, интегрируя по частям, получаем граничное условие Робина для завихренности: $$\int _{r_{0}}^{\infty }s^{-|k|+1}\Delta _{k}w_{k}(t,r)dr=-r_{0}^{-|k|}\left(r_{0}{\frac {\partial w_{k}(t,r)}{\partial r}}{\Big |}_{r=r_{0}}+|k|w_{k}(t,r_{0})\right)=0.$$ Тогда решение краевой задачи можно выразить через приведенный выше интеграл Вебера.

Примечание

Формула завихренности может дать другое объяснение парадокса Стокса. Функции ${\frac {C}{r^{k}}}\in ker(\Delta _{k}),~k>1$ принадлежат к ядру $\Delta _{k}$ и генерируем стационарные решения уравнения завихренности с граничными условиями типа Робина. Из приведенных выше рассуждений любое стоксово завихренное течение с граничным условием прилипания должно быть ортогонально полученным стационарным решениям. Это возможно только для $w\equiv 0$.

См. также

• Приближение Осина
• Закон Стокса