Jump to content

Уравнения Озеена

В гидродинамике ( уравнения Озеена или поток Озеена ) описывают течение вязкой и несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса , сформулированное Карлом Вильгельмом Осеном в 1910 году. Поток Озеена представляет собой улучшенное описание этих потоков по сравнению с потоком Стокса. , с (частичным) учетом конвективного ускорения . [ 1 ]

Работа Осина основана на экспериментах Г. Г. Стокса , изучавшего падение сферы через вязкую жидкость. Он разработал поправочный член, который включал в себя инерционные факторы, для скорости потока, используемой в расчетах Стокса, для решения проблемы, известной как парадокс Стокса . Его приближение приводит к улучшению расчетов Стокса.

Уравнения

[ редактировать ]

Уравнения Озеена в случае объекта, движущегося с постоянной скоростью потока U через жидкость, которая покоится вдали от объекта, и в системе отсчета, прикрепленной к объекту: [ 1 ] где

Граничные условия для течения Озеена вокруг твердого объекта: где r - расстояние от центра объекта, а p - невозмущенное давление вдали от объекта.

Продольные и поперечные волны [ 2 ]

[ редактировать ]

Фундаментальным свойством уравнения Озеена является то, что общее решение можно разделить на продольные и поперечные волны.

Решение является продольной волной, если скорость безвихревая и, следовательно, вязкий член выпадает. Уравнения становятся

В результате

Скорость выводится из теории потенциала, а давление — из линеаризованных уравнений Бернулли.

Решение является поперечной волной, если давление тождественно нулю, а поле скорости соленоидально. Уравнения

Тогда полное решение Озеена имеет вид

теорема о расщеплении, принадлежащая Горацию Лэмбу . [ 3 ] Расщепление уникально, если условия на бесконечности (скажем, ) указаны.

Для некоторых течений Озеена возможно дальнейшее разделение поперечной волны на безвихревую и вращательную составляющие. Позволять быть скалярной функцией, которая удовлетворяет и исчезает на бесконечности, и наоборот, пусть быть дано так, что , то поперечная волна где определяется из и является единичным вектором. Ни один или трансверсальны сами по себе, но является поперечным. Поэтому,

Единственная ротационная составляющая .

Фундаментальные решения [ 2 ]

[ редактировать ]

Фундаментальным решением, возникающим благодаря особой точечной силе, встроенной в поток Озена, является Озенлет . в замкнутой форме для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена, связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями. фундаментальные решения Для ньютоновских уравнений получены [ 4 ] и микрополярный [ 5 ] жидкости.

Используя уравнение Озеена, Гораций Лэмб смог вывести улучшенные выражения для вязкого обтекания сферы в 1911 году, улучшив закон Стокса в сторону несколько более высоких чисел Рейнольдса. [ 1 ] Кроме того, Лэмб впервые получил решение для вязкого обтекания круглого цилиндра. [ 1 ]

Решение проблемы реакции сингулярной силы при отсутствии внешних границ записывается как

Если , где – сингулярная сила, сосредоточенная в точке и является произвольной точкой и - заданный вектор, задающий направление сингулярной силы, то при отсутствии границ скорость и давление определяются из фундаментального тензора и фундаментальный вектор

Теперь, если — произвольная функция пространства, решение для неограниченной области есть где - бесконечно малый элемент объема/площади вокруг точки .

Двумерный

[ редактировать ]

Без потери общности принятые в начале и . Тогда фундаментальный тензор и вектор равны где где модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

Трехмерный

[ редактировать ]

Без потери общности принятые в начале и . Тогда фундаментальный тензор и вектор равны где

Осеен считал сферу неподвижной, а жидкость текущей со скоростью ( ) на бесконечном расстоянии от сферы. В расчетах Стокса не учитывались инерционные условия. [ 6 ] Это предельное решение, когда число Рейнольдса стремится к нулю. Когда число Рейнольдса мало и конечно, например 0,1, необходима поправка на инерционный член. Осеен подставил следующие значения скорости потока в уравнения Навье-Стокса .

Вставка их в уравнения Навье-Стокса и пренебрежение квадратичными членами в величинах со штрихом приводит к выводу приближения Озена:

Поскольку движение симметрично относительно оси и дивергенция вектора завихренности всегда равна нулю, получаем: функция можно устранить, добавив к подходящей функции в , – функция завихренности, а предыдущую функцию можно записать как: и путем некоторой интеграции решение для является: таким образом, позволив быть «привилегированным направлением», которое оно производит:

то, применяя три граничных условия, получаем новый улучшенный коэффициент лобового сопротивления теперь стал: и, наконец, когда решение Стокса было решено на основе приближения Озеена, оно показало, что результирующая сила сопротивления определяется выражением

где:

  • - число Рейнольдса, основанное на радиусе сферы,
  • это гидродинамическая сила
  • скорость потока
  • вязкость жидкости

Сила из уравнения Озена отличается от силы Стокса в раз.

Поправка к решению Стокса

[ редактировать ]

Уравнения возмущения гласят: [ 7 ] но когда поле скоростей:

В дальнем поле ≫ 1, в вязком напряжении преобладает последний член. То есть:

В инерционном члене преобладает член:

Тогда ошибка определяется соотношением:

Это становится неограниченным для ≫ 1, поэтому инерцию в дальней зоне игнорировать нельзя. Учитывая ротор, уравнение Стокса дает Поскольку тело является источником завихренности , станет неограниченным логарифмически при больших Это, конечно, нефизично и известно как парадокс Стокса .

Решение для движущейся сферы в несжимаемой жидкости.

[ редактировать ]

Рассмотрим случай твердого шара, движущегося в неподвижной жидкости с постоянной скоростью. Жидкость моделируется как несжимаемая жидкость (т.е. с постоянной плотностью ), а ее стационарность означает, что ее скорость стремится к нулю по мере того, как расстояние от сферы приближается к бесконечности.

Для реального тела будет иметь место переходный эффект из-за его ускорения в начале движения; однако через достаточное время она будет стремиться к нулю, так что скорость жидкости повсюду приблизится к той, которая получена в гипотетическом случае, когда тело движется уже бесконечное время.

Таким образом, мы предполагаем сферу радиуса а, движущуюся с постоянной скоростью. , в несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Мы будем работать по координатам которые движутся вместе со сферой с центром координат, расположенным в центре сферы. У нас есть:

Поскольку эти граничные условия, как и уравнение движения, инвариантны во времени (т.е. не изменяются при сдвиге времени ), когда выражается в координатах, решение зависит от времени только через эти координаты.

Уравнения движения представляют собой уравнения Навье-Стокса, определенные в координатах системы покоя. . Хотя пространственные производные равны в обеих системах координат, производная по времени, которая появляется в уравнениях, удовлетворяет: где производная относительно движущихся координат . В дальнейшем мы опускаем индекс m .

Приближение Осина сводится к пренебрежению нелинейным термином в . Таким образом, уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости принимают вид: для жидкости, имеющей плотность ρ и кинематическую вязкость ν = µ/ρ (μ — динамическая вязкость ). р давление .

В силу уравнения неразрывности несжимаемой жидкости , решение можно выразить с помощью векторного потенциала . Оказывается, это направлено на направление и его величина эквивалентны функции тока , используемой в двумерных задачах. Оказывается: где число Рейнольдса для потока, близкого к сфере.

Обратите внимание, что в некоторых обозначениях заменяется на так что вывод от больше похоже на его вывод из функции тока в двумерном случае (в полярных координатах).

Разработка

[ редактировать ]

можно выразить следующим образом:

где: , так что .

Векторный лапласиан вектора типа читает : .

Таким образом, можно рассчитать, что:

Поэтому:

Таким образом, завихренность равна:

где мы использовали расхождения исчезновение связать вектор лапласиана и двойной ротор .

Левая часть уравнения движения представляет собой ротор:

Производную вычисляем отдельно для каждого члена в .

Обратите внимание, что:

А также:

Таким образом, мы имеем:

Объединив все термины, мы имеем:

Взяв ротор, находим выражение, равное умноженный на градиент следующей функции, которая представляет собой давление:

где давление на бесконечности, .это полярный угол, возникший с противоположной стороны передней критической точки ( где находится передняя критическая точка).

Кроме того, скорость определяется путем рассмотрения ротора :

Эти p и u удовлетворяют уравнению движения и, таким образом, представляют собой решение приближения Озена.

Модификации приближения Осина

[ редактировать ]

Однако можно задаться вопросом, был ли поправочный член выбран случайно, поскольку в системе отсчета, движущейся вместе со сферой, жидкость вблизи сферы почти покоится, и в этой области сила инерции пренебрежимо мала и уравнение Стокса хорошо оправдано. [ 6 ] Вдали от сферы скорость потока приближается к u , и приближение Озеена оказывается более точным. [ 6 ] Но уравнение Озеена было получено применением уравнения для всего поля течения. На этот вопрос ответили Праудман и Пирсон в 1957 году. [ 8 ] который решил уравнения Навье-Стокса и дал улучшенное решение Стокса в окрестности сферы и улучшенное решение Озена на бесконечности, а также сопоставил два решения в предполагаемой общей области их применимости. Они получили:

Приложения

[ редактировать ]

метод и формулировка анализа течения при очень низком числе Рейнольдса Важны . Медленное движение мелких частиц в жидкости широко распространено в биоинженерии . Препарат Осина можно использовать в связи с потоком жидкостей в различных особых условиях, таких как: удержание частиц, осаждение частиц, центрифугирование или ультрацентрифугирование суспензий, коллоидов и крови посредством выделения опухолей и антигенов. [ 6 ] Жидкость даже не обязательно должна быть жидкостью, а частицы не обязательно должны быть твердыми. Его можно использовать в ряде приложений, таких как образование смога и распыление жидкостей.

Кровоток в мелких сосудах, например капиллярах , характеризуется малыми числами Рейнольдса и Уомерсли . Сосуд диаметром 10 мкм , скоростью потока сек , вязкостью 0,02 пуаз для крови, плотностью 1 мм / 1 г/см. 3 и частотой сердечных сокращений 2 Гц , число Рейнольдса будет равно 0,005, а число Уомерсли — 0,0126. При этих малых числах Рейнольдса и Уомерсли вязкие эффекты жидкости становятся преобладающими. Понимание движения этих частиц имеет важное значение для доставки лекарств и изучения движения метастазов рака.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Перейти обратно: а б с д Бэтчелор (2000), §4.10, стр. 240–246.
  2. ^ Перейти обратно: а б Лагерстрем, Пако Аксель. Теория ламинарного течения. Издательство Принстонского университета, 1996.
  3. ^ Лэмб, Гораций. Гидродинамика. Издательство Кембриджского университета, 1932 год.
  4. ^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Чван, AT (2001). «Обобщенные фундаментальные решения для нестационарных вязких течений». Физический обзор E . 63 (5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Бибкод : 2001PhRvE..63e1201S . дои : 10.1103/PhysRevE.63.051201 . ПМИД   11414893 . S2CID   22258027 .
  5. ^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Ли, Дж. С. (2008). «Фундаментальные решения для микрополярных жидкостей». Журнал инженерной математики . 61 (1): 69–79. arXiv : 1402.5023 . Бибкод : 2008JEnMa..61...69S . дои : 10.1007/s10665-007-9160-8 . S2CID   3450011 .
  6. ^ Перейти обратно: а б с д Фунг (1997)
  7. ^ Май 2011 г.
  8. ^ Праудман и Пирсон (1957)
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 087c0984989502ebb8a2df8da0282033__1699658880
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/08/33/087c0984989502ebb8a2df8da0282033.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Oseen equations - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)