Уравнения Озеена

В гидродинамике ( уравнения Озеена или поток Озеена ) описывают течение вязкой и несжимаемой жидкости при малых числах Рейнольдса , сформулированное Карлом Вильгельмом Осеном в 1910 году. Поток Озеена представляет собой улучшенное описание этих потоков по сравнению с потоком Стокса. , с (частичным) учетом конвективного ускорения .

Работа Осина основана на экспериментах Г. Г. Стокса , изучавшего падение сферы через вязкую жидкость. Он разработал поправочный член, который включал в себя инерционные факторы, для скорости потока, используемой в расчетах Стокса, для решения проблемы, известной как парадокс Стокса . Его приближение приводит к улучшению расчетов Стокса.

Уравнения

Уравнения Озеена в случае объекта, движущегося с постоянной скоростью потока U через жидкость, которая покоится вдали от объекта, и в системе отсчета, прикрепленной к объекту: $${\begin{aligned}-\rho \mathbf {U} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p\,+\,\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}$$ где

• u — возмущение скорости потока, вызванное движущимся объектом, т. е. полная скорость потока в системе отсчета, движущейся вместе с объектом, равна − U + u ,
• р — давление ,
• ρ — плотность жидкости,
• μ — динамическая вязкость ,
• ∇ — оператор градиента , а
• ∇ ² — оператор Лапласа .

Граничные условия для течения Озеена вокруг твердого объекта: $${\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{at the object surface}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{and}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{for}}\quad r\to \infty ,\end{aligned}}$$ где r - расстояние от центра объекта, а p _∞ - невозмущенное давление вдали от объекта.

Продольные и поперечные волны

Фундаментальным свойством уравнения Озеена является то, что общее решение можно разделить на продольные и поперечные волны.

Решение $\left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)$ является продольной волной, если скорость безвихревая и, следовательно, вязкий член выпадает. Уравнения становятся $${\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0$$

В результате $$\mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi ,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\rho U\mathbf {u} _{\text{L}}$$

Скорость выводится из теории потенциала, а давление — из линеаризованных уравнений Бернулли.

Решение $(\mathbf {u} _{\text{T}},0)$ является поперечной волной, если давление $p'$ тождественно нулю, а поле скорости соленоидально. Уравнения $${\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.$$

Тогда полное решение Озеена имеет вид $$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}$$

теорема о расщеплении, принадлежащая Горацию Лэмбу . Расщепление уникально, если условия на бесконечности (скажем, $\mathbf {u} =0,\ p=p_{\infty }$) указаны.

Для некоторых течений Озеена возможно дальнейшее разделение поперечной волны на безвихревую и вращательную составляющие. $\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.$ Позволять $\chi$ быть скалярной функцией, которая удовлетворяет $U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi$ и исчезает на бесконечности, и наоборот, пусть $\mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})$ быть дано так, что ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}\,dy=0}$, то поперечная волна $$\mathbf {u} _{\text{T}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _{\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf {i} .$$ где $\chi$ определяется из ${\textstyle \chi ={\frac {U}{\nu }}\int _{y}^{\infty }v_{T}\,dy}$ и $\mathbf {i}$ является единичным вектором. Ни один $\mathbf {u} _{1}$ или $\mathbf {u} _{2}$ трансверсальны сами по себе, но $\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}$ является поперечным. Поэтому, $$\mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}$$

Единственная ротационная составляющая $\mathbf {u} _{2}$.

Фундаментальные решения

Фундаментальным решением, возникающим благодаря особой точечной силе, встроенной в поток Озена, является Озенлет . в замкнутой форме для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена, связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями. фундаментальные решения Для ньютоновских уравнений получены и микрополярный жидкости.

Используя уравнение Озеена, Гораций Лэмб смог вывести улучшенные выражения для вязкого обтекания сферы в 1911 году, улучшив закон Стокса в сторону несколько более высоких чисел Рейнольдса. Кроме того, Лэмб впервые получил решение для вязкого обтекания круглого цилиндра.

Решение проблемы реакции сингулярной силы $\mathbf {f}$ при отсутствии внешних границ записывается как $$U\mathbf {u} _{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\mathbf {f} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0$$

Если $\mathbf {f} =\delta (q,q_{o})\mathbf {a}$, где $\delta (q,q_{o})$ – сингулярная сила, сосредоточенная в точке $q_{o}$ и $q$ является произвольной точкой и $\mathbf {a}$ - заданный вектор, задающий направление сингулярной силы, то при отсутствии границ скорость и давление определяются из фундаментального тензора $\Gamma (q,q_{o})$ и фундаментальный вектор $\Pi (q,q_{o})$ $$\mathbf {u} (q)=\Gamma (q,q_{o})\mathbf {a} ,\quad p'=p-p_{\infty }=\Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {a}$$

Теперь, если $\mathbf {f}$ — произвольная функция пространства, решение для неограниченной области есть $$\mathbf {u} (q)=\int \Gamma (q,q_{o})\mathbf {f} (q_{o})dq_{o},\quad p'(q)=\int \Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {f} (q_{o})dq_{o}$$ где $dq_{o}$ - бесконечно малый элемент объема/площади вокруг точки $q_{o}$.

Двумерный

Без потери общности $q_{o}=(0,0)$ принятые в начале и $q=(x,y)$. Тогда фундаментальный тензор и вектор равны $$\Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial A}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&-{\frac {\partial A}{\partial x}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2\pi \nu }}e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r){\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi ={\frac {\rho }{2\pi }}\nabla (\ln r)$$ где $$\lambda ={\frac {U}{2\nu }},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2},\quad A=-{\frac {1}{2\pi U}}\left[\ln r+e^{\lambda x}K_{o}(\lambda r)\right]$$ где $K_{o}(\lambda r)$ — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

Трехмерный

Без потери общности $q_{o}=(0,0,0)$ принятые в начале и $q=(x,y,z)$. Тогда фундаментальный тензор и вектор равны $$\Gamma ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial A}{\partial x}}&{\frac {\partial B}{\partial x}}&{\frac {\partial C}{\partial x}}\\{\frac {\partial A}{\partial y}}&{\frac {\partial B}{\partial y}}&{\frac {\partial C}{\partial y}}\\{\frac {\partial A}{\partial z}}&{\frac {\partial B}{\partial z}}&{\frac {\partial C}{\partial z}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{4\pi \nu }}{\frac {e^{-\lambda (r-x)}}{r}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},\quad \Pi =-{\frac {\rho }{4\pi }}\nabla \left({\frac {1}{r}}\right)$$ где

• $\lambda ={\frac {U}{2\nu }},$
• $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$
• $A={\frac {1}{4\pi U}}{\frac {1-e^{-\lambda (r-x)}}{r}},$
• $B=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]y}{r(r-x)}},$
• $C=-{\frac {1}{4\pi U}}{\frac {\left[1-e^{-\lambda (r-x)}\right]z}{r(r-x)}}$

Расчеты

Осеен считал сферу неподвижной, а жидкость текущей со скоростью ( $U$) на бесконечном расстоянии от сферы. В расчетах Стокса не учитывались инерционные условия. Это предельное решение, когда число Рейнольдса стремится к нулю. Когда число Рейнольдса мало и конечно, например 0,1, необходима поправка на инерционный член. Осеен подставил следующие значения скорости потока в уравнения Навье-Стокса . $$u_{1}=u+u_{1}',\qquad u_{2}=u_{2}',\qquad u_{3}=u_{3}'.$$

Вставка их в уравнения Навье-Стокса и пренебрежение квадратичными членами в величинах со штрихом приводит к выводу приближения Озена: $$u{\partial u_{1}' \over \partial x_{1}}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x_{1}}+\nu \nabla ^{2}u_{i}'\qquad \left({i=1,2,3}\right).$$

Поскольку движение симметрично относительно $x$ оси и дивергенция вектора завихренности всегда равна нулю, получаем: $$\left(\nabla ^{2}-{U \over 2v}{\partial \over \partial x}\right)\chi =G(x)=0$$ функция $G(x)$ можно устранить, добавив к подходящей функции в $x$, – функция завихренности, а предыдущую функцию можно записать как: $${U \over v}{\partial u' \over \partial x}=\nabla ^{2}u'$$ и путем некоторой интеграции решение для $\chi$ является: $$e^{-Ux \over 2v}\chi ={{Ce^{-U\operatorname {Re} \over 2v}} \over \operatorname {Re} }$$ таким образом, позволив $x$ быть «привилегированным направлением», которое оно производит: $$\varphi ={A_{0} \over \operatorname {Re} }+A_{1}{\partial \over \partial x}{1 \over \operatorname {Re} }+A_{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{1 \over \operatorname {Re} }+\ldots$$

то, применяя три граничных условия, получаем $$C=-{3 \over 2}Ua,\ A_{0}=-{3 \over 2}va,\ A_{1}={1 \over 4}Ua^{3}\ {\text{, etc.}}$$ новый улучшенный коэффициент лобового сопротивления теперь стал: $$C_{\text{d}}={12 \over \operatorname {Re} }\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right)$$ и, наконец, когда решение Стокса было решено на основе приближения Озеена, оно показало, что результирующая сила сопротивления определяется выражением $$F=6\pi \,\mu \,au\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right),$$

где:

• $\mathrm {Re} =\rho ua/\mu$ - число Рейнольдса, основанное на радиусе сферы, $a$
• $F$ это гидродинамическая сила
• $u$ скорость потока
• $\mu \,$ вязкость жидкости

Сила из уравнения Озена отличается от силы Стокса в раз. $$1+{3 \over 8}\mathrm {Re} .$$

Поправка к решению Стокса

Уравнения возмущения гласят: $${\begin{aligned}\nabla u'&~=0\\u\cdot \nabla u'&~=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}u',\end{aligned}}$$ но когда поле скоростей: $${\begin{aligned}u_{y}&=u\cos \theta \left({1+{a^{3} \over 2r^{3}}-{3a \over 2r}}\right)\\u_{z}&=-u\sin \theta \left({1-{a^{3} \over 4r^{3}}-{3a \over 4r}}\right).\end{aligned}}$$

В дальнем поле ${r \over a}$ ≫ 1, в вязком напряжении преобладает последний член. То есть: $$\nabla ^{2}u'=O\left({a^{3} \over r^{3}}\right).$$

В инерционном члене преобладает член: $$u{\partial u' \over \partial z_{1}}\sim O\left({a^{2} \over r^{2}}\right).$$

Тогда ошибка определяется соотношением: $$u{{\partial u' \over \partial z_{1}} \over {\nu \nabla ^{2}u'}}=O\left({r \over a}\right).$$

Это становится неограниченным для ${r \over a}$ ≫ 1, поэтому инерцию в дальней зоне игнорировать нельзя. Учитывая ротор, уравнение Стокса дает $\nabla ^{2}\zeta \,=0.$ Поскольку тело является источником завихренности , $\zeta \,$ станет неограниченным логарифмически при больших ${r \over a}.$ Это, конечно, нефизично и известно как парадокс Стокса .

Решение для движущейся сферы в несжимаемой жидкости.

Рассмотрим случай твердого шара, движущегося в неподвижной жидкости с постоянной скоростью. Жидкость моделируется как несжимаемая жидкость (т.е. с постоянной плотностью ), а ее стационарность означает, что ее скорость стремится к нулю по мере того, как расстояние от сферы приближается к бесконечности.

Для реального тела будет иметь место переходный эффект из-за его ускорения в начале движения; однако через достаточное время она будет стремиться к нулю, так что скорость жидкости повсюду приблизится к той, которая получена в гипотетическом случае, когда тело движется уже бесконечное время.

Таким образом, мы предполагаем сферу радиуса а, движущуюся с постоянной скоростью. ${\vec {U}}$, в несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Мы будем работать по координатам ${\vec {x}}_{m}$ которые движутся вместе со сферой с центром координат, расположенным в центре сферы. У нас есть: $${\begin{aligned}{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|=a\right)&={\vec {U}}\\{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|\rightarrow \infty \right)&\rightarrow 0\end{aligned}}$$

Поскольку эти граничные условия, как и уравнение движения, инвариантны во времени (т.е. не изменяются при сдвиге времени $t\rightarrow t+\Delta t$), когда выражается в ${\vec {x}}_{m}$ координатах, решение зависит от времени только через эти координаты.

Уравнения движения представляют собой уравнения Навье-Стокса, определенные в координатах системы покоя. ${\vec {x}}={\vec {x}}_{m}-{\vec {U}}\cdot t$. Хотя пространственные производные равны в обеих системах координат, производная по времени, которая появляется в уравнениях, удовлетворяет: $${\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)}{\partial t}}=\sum _{i}{{\frac {d{x_{m}}_{i}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}}_{m}\right)}{\partial {x_{m}}_{i}}}}=-\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}_{m}\right){\vec {u}}$$ где производная ${\vec {\nabla }}_{m}$ относительно движущихся координат ${\vec {x}}_{m}$. В дальнейшем мы опускаем индекс m .

Приближение Осина сводится к пренебрежению нелинейным термином в ${\vec {u}}$. Таким образом, уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости принимают вид: $$\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p$$ для жидкости, имеющей плотность ρ и кинематическую вязкость ν = µ/ρ (μ — динамическая вязкость ). р — давление .

В силу уравнения неразрывности несжимаемой жидкости ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0$, решение можно выразить с помощью векторного потенциала ${\vec {\psi }}$. Оказывается, это направлено на ${\vec {\varphi }}$ направление и его величина эквивалентны функции тока , используемой в двумерных задачах. Оказывается: $${\begin{aligned}\psi &=Ua^{2}\left(-{\frac {a}{4r^{2}}}\sin \theta +3{\frac {1-\cos \theta }{r\sin \theta }}{\frac {1-e^{-{\frac {Rr}{4a}}(1+\cos \theta )}}{R}}\right)\\{\vec {u}}&={\vec {\nabla }}\times (\psi {\hat {\varphi }})={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\psi \sin \theta \right){\hat {r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\psi \right){\hat {\theta }}\end{aligned}}$$ где $R=2aU/\nu$ – число Рейнольдса для потока, близкого к сфере.

Обратите внимание, что в некоторых обозначениях $\psi$ заменяется на $\Psi =\psi \cdot r\sin \theta$ так что вывод ${\vec {u}}$ от $\Psi$ больше похоже на его вывод из функции тока в двумерном случае (в полярных координатах).

Разработка

$\psi$ можно выразить следующим образом: $$\psi =\psi _{1}+\psi _{2}-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}$$

где: $${\begin{aligned}\psi _{1}&\equiv -{\frac {Ua^{3}}{4r^{2}}}\sin \theta \\\psi _{2}&\equiv {\frac {3Ua^{2}}{Rr}}{\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$$ $$k\equiv {\frac {R}{4a}}$$, так что ${\frac {U}{2k}}={\frac {2Ua}{R}}=\nu$.

Векторный лапласиан вектора типа $V(r,\theta ){\hat {\varphi }}$ читает : $${\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left(V(r,\theta ){\hat {\varphi }}\right)={\hat {\varphi }}\cdot \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)V(r,\theta )=\\&{\hat {\varphi }}\cdot \left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}V(r,\theta )\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}V(r,\theta )\right)-{\frac {V(r,\theta )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]\end{aligned}}$$.

Таким образом, можно рассчитать, что: $${\begin{aligned}\nabla ^{2}\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=0\\\nabla ^{2}\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=0\end{aligned}}$$

Поэтому: $${\begin{aligned}\nabla ^{2}{\vec {\psi }}&=-\nabla ^{2}\left(\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)\\&=-\left(\psi _{2}\nabla ^{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}+2{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial r}}e^{-kr(1+\cos \theta )}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}e^{-kr(1+\cos \theta )}\right){\hat {\varphi }}\\&=-{\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\end{aligned}}$$

Таким образом, завихренность равна: $${\vec {\omega }}\equiv {\vec {\nabla }}\times {\vec {u}}=-\nabla ^{2}{\vec {\psi }}={\frac {6Ua^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {k^{2}}{r}}+{\frac {k}{r^{2}}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}$$

где мы использовали расхождения исчезновение ${\vec {\psi }}$ связать вектор лапласиана и двойной ротор .

Левая часть уравнения движения представляет собой ротор: $$\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}-\nu {\vec {\omega }}$$

Производную вычисляем отдельно для каждого члена в $\psi$.

Обратите внимание, что: $${\vec {U}}=U\left(\cos \theta {\hat {r}}-\sin \theta {\hat {\theta }}\right)$$

А также: $${\begin{aligned}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}&=-{\frac {1}{r}}\psi _{2}\\\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}&=\psi _{2}\end{aligned}}$$

Таким образом, мы имеем: $${\begin{aligned}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{1}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{1}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }}\right)&=U\left(\cos \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial \psi _{2}}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}=-U{\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )\psi _{2}{\hat {\varphi }}=-{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta {\hat {\varphi }}\\\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\right)&=-e^{-kr(1+\cos \theta )}\left(\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(\psi _{2}{\hat {\varphi }})+\psi _{2}\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)\left(-kr(1+\cos \theta \right){\hat {\varphi }}\right)\right)\\&=U\psi _{2}e^{-kr(1+\cos \theta )}\left({\frac {1}{r}}(1+\cos \theta )+\cos \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial (kr(1+\cos \theta ))}{\partial \theta }}\right){\hat {\varphi }}\\&=U\psi _{2}(1+\cos \theta )\left({\frac {1}{r}}+k\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}={\frac {3U^{2}a^{2}}{R}}\sin \theta \left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}{\hat {\varphi }}\\&={\frac {U}{2k}}{\vec {\omega }}=\nu {\vec {\omega }}\end{aligned}}$$

Объединив все термины, мы имеем: $$\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {\psi }}+\nu \nabla ^{2}{\vec {\psi }}=\left({\frac {3U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta \cos \theta -{\frac {3U^{2}a^{2}}{Rr^{2}}}\sin \theta \right){\hat {\varphi }}$$

Взяв ротор, находим выражение, равное $1/\rho$ умноженный на градиент следующей функции, которая представляет собой давление: $$p=p_{0}-{\frac {3\mu Ua}{2r^{2}}}\cos \theta +{\frac {\rho U^{2}a^{3}}{4r^{3}}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$$

где $p_{0}$ давление на бесконечности, $\theta$.это полярный угол, возникший с противоположной стороны передней критической точки ( $\theta =\pi$ где находится передняя критическая точка).

Кроме того, скорость определяется путем рассмотрения ротора ${\vec {\psi }}$: $${\vec {u}}=U\left[-{\frac {a^{3}}{2r^{3}}}\cos \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr^{2}}}-{\frac {3a^{2}}{R}}\left({\frac {1}{r^{2}}}+{\frac {k}{r}}[1-\cos \theta ]\right)e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {r}}-U\left[{\frac {a^{3}}{4r^{3}}}\sin \theta +{\frac {3a^{2}}{Rr}}k\sin \theta e^{-kr(1+\cos \theta )}\right]{\hat {\theta }}$$

Эти p и u удовлетворяют уравнению движения и, таким образом, представляют собой решение приближения Озена.

Модификации приближения Осина

Однако можно задаться вопросом, был ли поправочный член выбран случайно, поскольку в системе отсчета, движущейся вместе со сферой, жидкость вблизи сферы почти покоится, и в этой области сила инерции пренебрежимо мала и уравнение Стокса хорошо оправдано. Вдали от сферы скорость потока приближается к u , и приближение Озеена оказывается более точным. Но уравнение Озеена было получено применением уравнения для всего поля течения. На этот вопрос ответили Праудман и Пирсон в 1957 году. который решил уравнения Навье-Стокса и дал улучшенное решение Стокса в окрестности сферы и улучшенное решение Озена на бесконечности, а также сопоставил два решения в предполагаемой общей области их применимости. Они получили:

$$F=6\pi \,\mu \,aU\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} +{9 \over 40}\operatorname {Re} ^{2}\ln \operatorname {Re} +{\mathcal {O}}\left(\operatorname {Re} ^{2}\right)\right).$$

Приложения

метод и формулировка анализа течения при очень низком числе Рейнольдса Важны . Медленное движение мелких частиц в жидкости широко распространено в биоинженерии . Препарат Осина можно использовать в связи с потоком жидкостей в различных особых условиях, таких как: удержание частиц, осаждение частиц, центрифугирование или ультрацентрифугирование суспензий, коллоидов и крови посредством выделения опухолей и антигенов. Жидкость даже не обязательно должна быть жидкостью, а частицы не обязательно должны быть твердыми. Его можно использовать в ряде приложений, таких как образование смога и распыление жидкостей.

Кровоток в мелких сосудах, например капиллярах , характеризуется малыми числами Рейнольдса и Уомерсли . Сосуд диаметром 10 мкм , скоростью потока сек , вязкостью 0,02 пуаз для крови, плотностью 1 мм / 1 г/см. ³ и частотой сердечных сокращений 2 Гц , число Рейнольдса будет равно 0,005, а число Уомерсли — 0,0126. При этих малых числах Рейнольдса и Уомерсли вязкие эффекты жидкости становятся преобладающими. Понимание движения этих частиц имеет важное значение для доставки лекарств и изучения движения метастазов рака.

Ссылки

• Осеен, Карл Вильгельм (1910), «О формуле Стокса и связанной с ней проблеме гидродинамики», Архив для математики, астрономии и физики , vi (29)
• Бэтчелор, Джордж (2000), Введение в гидродинамику , Кембриджская математическая библиотека (второе издание в мягкой обложке), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-66396-0 , МР   1744638
• Фунг, Юань-чэн (1997), Биомеханика: кровообращение (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Мэй, CC (4 апреля 2011 г.), «Улучшение Осина для медленного обтекания тела» (PDF) , Advanced Environmental Fluid Mechanics , Web.Mit.edu , получено 28 февраля 2013 г.
• Праудман, И.; Пирсон, JRA (1957), «Разложение при малых числах Рейнольдса для обтекания сферы и круглого цилиндра», Journal of Fluid Mechanics , 2 (3): 237–262, Бибкод : 1957JFM.....2.. 237P , doi : 10.1017/S0022112057000105 , S2CID   119410137