Стоксов поток

На объект, движущийся в газе или жидкости, действует сила , направленная противоположно его движению. Конечная скорость достигается, когда сила сопротивления равна по величине, но противоположна по направлению силе, толкающей объект. Показана сфера в потоке Стокса с очень низким числом Рейнольдса .

Поток Стокса (названный в честь Джорджа Габриэля Стокса ), также называемый ползучим потоком или ползучим движением , это тип потока жидкости , при котором адвективные силы инерции малы по сравнению с вязкими силами. Число Рейнольдса мало, т.е. $\mathrm {Re} \ll 1$. Это типичная ситуация в потоках, где скорости жидкости очень малы, вязкость очень велика или масштаб потока очень мал. Ползучее течение было впервые изучено для понимания процесса смазки . В природе этот тип течения встречается при плавании микроорганизмов и сперматозоидов . В технологии это происходит в красках , устройствах MEMS и вообще в потоке вязких полимеров .

Уравнения движения потока Стокса, называемые уравнениями Стокса, представляют собой линеаризацию уравнений Навье – Стокса и, таким образом, могут быть решены рядом хорошо известных методов для линейных дифференциальных уравнений. Основной функцией Грина потока Стокса является функция Стокса , которая связана с особой точечной силой, встроенной в поток Стокса. Из ее производных и другие фундаментальные решения . можно получить Стокслет был впервые выведен Осеном в 1927 году, хотя Хэнкок не называл его таковым до 1953 года. в замкнутой форме фундаментальные решения для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена, связанных с произвольными нестационарными поступательными и вращательными движениями. Для ньютоновского уравнения получены и микрополярный жидкости.

Уравнения Стокса

Уравнение движения стоксова потока можно получить путем линеаризации стационарных уравнений Навье – Стокса . Предполагается, что силы инерции пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкости, и исключение инерционных членов баланса количества движения в уравнениях Навье – Стокса сводит его к балансу количества движения в уравнениях Стокса:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}$

где $\sigma$ – напряжение (сумма вязких и сжимающих напряжений), и $\mathbf {f}$ приложенная к телу сила. Полные уравнения Стокса также включают уравнение сохранения массы , обычно записываемое в форме:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

где $\rho$ плотность жидкости и $\mathbf {u}$ скорость жидкости. Для получения уравнений движения несжимаемого течения предполагается, что плотность $\rho$, является константой.

Кроме того, иногда можно рассмотреть нестационарные уравнения Стокса, в которых член $\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}$ добавляется в левую часть уравнения баланса импульса.

Характеристики

Уравнения Стокса представляют собой значительное упрощение полных уравнений Навье – Стокса , особенно в несжимаемом ньютоновском случае. Они представляют собой упрощение главного порядка полных уравнений Навье – Стокса, справедливое в отмеченном пределе. $\mathrm {Re} \to 0.$

Мгновенность

Поток Стокса не зависит от времени, кроме зависящих от времени граничных условий . Это означает, что при заданных граничных условиях потока Стокса поток можно найти, не зная течения в любой другой момент времени.

обратимость времени

Непосредственное следствие мгновенности, обратимость во времени, означает, что обращенный во времени поток Стокса решает те же уравнения, что и исходный поток Стокса. Это свойство иногда можно использовать (в сочетании с линейностью и симметрией граничных условий) для получения результатов о потоке без его полного решения. Обратимость во времени означает, что трудно смешать две жидкости, используя ползущий поток.

Обратимость стоксовых потоков во времени: краситель был введен в вязкую жидкость, зажатую между двумя концентрическими цилиндрами (верхняя панель). Затем основной цилиндр вращается, чтобы срезать краситель по спирали, если смотреть сверху. Краситель кажется смешанным с жидкостью, если смотреть сбоку (средняя панель). Затем вращение меняется на противоположное, возвращая цилиндр в исходное положение. Краситель «растворяется» (нижняя панель). Обращение не является идеальным, поскольку происходит некоторая диффузия красителя.

Хотя эти свойства верны для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейный и иногда зависящий от времени характер неньютоновских жидкостей означает, что они не выполняются в более общем случае.

Парадокс Стокса

Интересное свойство потока Стокса известно как парадокс Стокса : не может быть стоксова потока жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, тот факт, что не существует нетривиального решения уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра.

Демонстрация обратимости времени

Система Тейлора-Куэтта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся мимо друг друга по видимой спирали. Жидкость, такая как кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, при этом цветные области жидкости видны через прозрачный внешний цилиндр.Цилиндры вращаются друг относительно друга с низкой скоростью, что вместе с высокой вязкостью жидкости и тонкостью зазора дает низкое число Рейнольдса , так что кажущееся смешение цветов на самом деле является ламинарным и затем может быть обращено примерно к исходное состояние. Это создает эффектную демонстрацию того, как жидкость смешивается, а затем размешивается, меняя направление миксера.

Несжимаемое течение ньютоновских жидкостей

В общем случае несжимаемой ньютоновской жидкости уравнения Стокса принимают (векторизованный) вид:

${\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}$

где $\mathbf {u}$ - скорость жидкости, ${\boldsymbol {\nabla }}p$ градиент давления , $\mu$ - динамическая вязкость, а $\mathbf {f}$ приложенная к телу сила. Полученные уравнения являются линейными по скорости и давлению и, следовательно, могут использовать преимущества различных средств решения линейных дифференциальных уравнений.

Декартовы координаты

При расширении вектора скорости как $\mathbf {u} =(u,v,w)$ и аналогично вектор объемной силы $\mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})$, мы можем написать векторное уравнение явно:

${\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}$

Мы приходим к этим уравнениям, делая предположения, что $\mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I}$ и плотность $\rho$ является константой.

Методы решения

По потоковой функции

Уравнение несжимаемого ньютоновского течения Стокса может быть решено методом функции тока в плоском или трехмерном осесимметричном случае.

Тип функции	Геометрия	Уравнение	Комментарии
Функция потока , $\psi$	2-D планарный	$\nabla ^{4}\psi =0$ или $\Delta ^{2}\psi =0$ ( бигармоническое уравнение )	$\Delta$ — оператор Лапласа в двух измерениях
функция потока Стокса , $\Psi$	3-D сферический	$E^{2}\Psi =0,$ где $E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)$	Для получения $E$ оператор см. функцию потока Стокса # Завихрение
	3-D цилиндрический	$L_{-1}^{2}\Psi =0,$ где $L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}$	Для $L_{-1}$ видеть

По функции Грина: Стокслет

Линейность уравнений Стокса в случае несжимаемой ньютоновской жидкости означает что функция Грина , $\mathbb {J} (\mathbf {r} )$, существует. Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой вынуждающего члена точечной силой, действующей в начале координат, и граничными условиями, исчезающими на бесконечности:

${\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}$

где $\mathbf {\delta } (\mathbf {r} )$ – дельта-функция Дирака , а $\mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )$ представляет собой точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления p и скорости u с | ты | и p, исчезающее на бесконечности, определяется выражением

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}$

где

$\mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)$

второго ранга — тензор (или, точнее, тензорное поле ), известный как тензор Озеена (по имени Карла Вильгельма Осеена ). Здесь r r — такая величина, что $\mathbf {F} \cdot (\mathbf {r} \mathbf {r} )=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r}$.

Термины Стокслета и решение точечной силы используются для описания $\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )$. Аналогично точечному заряду в электростатике , заряд Стокса бессиловый везде, кроме начала координат, где он содержит силу силы. $\mathbf {F}$.

Для распределения непрерывной силы (плотности) $\mathbf {f} (\mathbf {r} )$ тогда решение (снова исчезающее на бесконечности) можно построить с помощью суперпозиции:

$\mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'}$

Такое интегральное представление скорости можно рассматривать как понижение размерности: от трехмерного уравнения в частных производных к двумерному интегральному уравнению для неизвестных плотностей.

По решению Папковича–Нейбера

Решение Папковича –Нейбера представляет поля скорости и давления несжимаемого ньютоновского стоксова потока через два гармонических потенциала.

Методом граничных элементов

Некоторые задачи, например эволюция формы пузырька в стоксовом потоке, пригодны для численного решения методом граничных элементов . Этот метод можно применять как к 2-, так и к 3-мерным потокам.

Некоторые геометрии

Поток Хеле-Шоу

Поток Хеле-Шоу является примером геометрии, для которой силы инерции пренебрежимо малы. Он определяется двумя параллельными пластинами, расположенными очень близко друг к другу, причем пространство между пластинами занято частично жидкостью, частично препятствиями в виде цилиндров с образующими, перпендикулярными пластинам.

Теория стройного тела

Теория тонкого тела в стоксовом течении представляет собой простой приближенный метод определения поля безвихревого течения вокруг тел, длина которых велика по сравнению с их шириной. Основой метода является выбор такого распределения особенностей течения вдоль линии (ввиду тонкости тела), чтобы их безвихревое течение в сочетании с однородным потоком приблизительно удовлетворяло условию нулевой нормальной скорости.

Сферические координаты

Общее решение Лэмба возникает из-за того, что давление $p$ удовлетворяет уравнению Лапласа и может быть разложен в ряд твердых сферических гармоник в сферических координатах. В результате решение уравнений Стокса можно записать:

${\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}$

где $p_{n},\Phi _{n},$ и $\chi _{n}$ представляют собой сплошные сферические гармоники порядка $n$:

${\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}$

и $P_{n}^{m}$ являются ассоциированными полиномами Лежандра . Решение Лэмба можно использовать для описания движения жидкости как внутри, так и вне сферы. Например, его можно использовать для описания движения жидкости вокруг сферической частицы с заданным поверхностным потоком, так называемого квирмера , или для описания течения внутри сферической капли жидкости. Для внутренних течений условия с $n<0$ опускаются, а для внешних потоков слагаемые с $n>0$ отбрасываются (часто соглашение $n\to -n-1$ предполагается для внешних потоков, чтобы избежать индексации отрицательными числами).

Теоремы

Решение Стокса и связанная с ним теорема Гельмгольца

Смотрите также: закон Стокса

Здесь суммировано сопротивление лобовому сопротивлению движущейся сферы, также известное как решение Стокса. Дана сфера радиуса $a$, движущийся со скоростью $U$, в жидкости Стокса с динамической вязкостью $\mu$, сила сопротивления $F_{D}$ дается:

$F_{D}=6\pi \mu aU$

Решение Стокса рассеивает меньше энергии, чем любое другое соленоидальное векторное поле с теми же граничными скоростями: это известно как теорема Гельмгольца о минимальной диссипации .

Теорема Лоренца взаимности

Теорема взаимности Лоренца утверждает связь между двумя потоками Стокса в одной и той же области. Рассмотрим область, заполненную жидкостью $V$ ограничен поверхностью $S$. Пусть поля скорости $\mathbf {u}$ и $\mathbf {u} '$ решить уравнения Стокса в области $V$, каждый с соответствующими полями напряжений $\mathbf {\sigma }$ и $\mathbf {\sigma } '$. Тогда имеет место следующее равенство:

$\int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS$

Где $\mathbf {n}$ является ли единица нормальной на поверхности $S$. Теорему взаимности Лоренца можно использовать, чтобы показать, что поток Стокса «передает» без изменений общую силу и крутящий момент от внутренней замкнутой поверхности к внешней охватывающей поверхности. Теорему взаимности Лоренца также можно использовать для связи скорости плавания микроорганизма, такого как цианобактерия , со скоростью поверхности, которая определяется деформациями формы тела посредством ресничек или жгутиков . Теорема взаимности Лоренца также использовалась в контексте эластогидродинамической теории для определения подъемной силы, действующей на твердый объект, движущийся по касательной к поверхности упругой границы раздела при низких числах Рейнольдса .

Законы Факсена

Законы Факсена представляют собой прямые соотношения, которые выражают мультипольные моменты через окружающий поток и его производные. Впервые разработанный Хильдингом Факсеном для расчета силы. $\mathbf {F}$и крутящий момент, $\mathbf {T}$ на сфере они принимают следующий вид:

${\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}$

где $\mu$ – динамическая вязкость, $a$ - радиус частицы, $\mathbf {v} ^{\infty }$ это окружающий поток, $\mathbf {U}$ - скорость частицы, $\mathbf {\Omega } ^{\infty }$ – угловая скорость фонового потока, $\mathbf {\omega }$ – угловая скорость частицы.

Законы Факсена можно обобщить для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли.

См. также

• Закон Стокса
• Теорема Гельмгольца о минимальной диссипации
• Закон Дарси
• Поток Хеле-Шоу
• Соскребающий поток Тейлора
• Ламинарный поток
• Теория смазки
• Уравнения Озеена
• Пуазей
• Теория стройного тела
• Объемный расход
• Закон Факсена

Ссылки

• Окендон, Х. и Окендон Дж.Р. (1995) Вязкое течение , издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-45881-1 .

Внешние ссылки

• Видеодемонстрация обратимости стоксова потока во времени от UNM Physics and Astronomy