Функция потока Стокса

В гидродинамике функция тока Стокса используется для описания линий тока и скорости потока в трехмерном несжимаемом потоке с осевой симметрией . Поверхность с постоянным значением функции тока Стокса окружает трубу тока , всюду касательную к векторам скорости потока. При этом объемный поток внутри этой трубы постоянен, и все линии тока потока расположены на этой поверхности. Поле скорости , связанное с функцией тока Стокса, является соленоидальным — оно имеет нулевую дивергенцию . Эта потоковая функция названа в честь Джорджа Габриэля Стоукса .

Цилиндрические координаты

Рассмотрим цилиндрическую систему координат ( ρ , φ , z ), где ось z — линия, вокруг которой несжимаемый поток является осесимметричным, φ — азимутальный угол и ρ — расстояние до оси z . Тогда компоненты скорости потока u _ρ и u _z можно выразить через функцию тока Стокса $\Psi$ к: ^[1]

{\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}

Азимутальная составляющая скорости u _φ не зависит от функции тока. Из-за осевой симметрии все три компонента скорости ( u _ρ , u _φ , u _z ) зависят только от ρ и z , а не от азимута φ .

Объемный поток через поверхность, ограниченную постоянным значением ψ функции тока Стокса, равен 2π ψ .

Сферические координаты

В сферических координатах ( r , θ , φ ) r — радиальное расстояние от начала координат , θ — зенитный угол и φ — азимутальный угол . В осесимметричном потоке, когда θ = 0 оси симметрии вращения, величины, описывающие поток, снова не зависят от азимута φ . Компоненты скорости потока u _r и u _θ связаны с функцией тока Стокса $\Psi$ через: ^[2]

{\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}

Опять же, азимутальная составляющая скорости u _φ не является функцией функции тока Стокса ψ . Объемный поток через трубку потока, ограниченную поверхностью постоянного ψ , по-прежнему равен 2π ψ .

завихренность

Завихренность определяется как:

{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi }}

, где

{\boldsymbol {\psi }}=-{\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}},

с ${\boldsymbol {\hat {\phi }}}$ единичный вектор в $\phi \,$ -направление.

Вывод завихренности

{\boldsymbol {\omega }}

используя функцию потока Стокса

Consider the vorticity as defined by

{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}.

From the definition of the curl in spherical coordinates:

{\begin{aligned}\omega _{r}&={1 \over r\sin \theta }\left({\partial  \over \partial \theta }\left(u_{\phi }\sin \theta \right)-{\partial u_{\theta } \over \partial \phi }\right){\boldsymbol {\hat {r}}},\\\omega _{\theta }&={1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial u_{r} \over \partial \phi }-{\partial  \over \partial r}\left(ru_{\phi }\right)\right){\boldsymbol {\hat {\theta }}},\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial  \over \partial r}\left(ru_{\theta }\right)-{\partial u_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}.\end{aligned}}

First notice that the $r$ and $\theta$ components are equal to 0. Secondly substitute $u_{r}$ and $u_{\theta }$ into $\omega _{\phi }.$ The result is:

{\begin{aligned}\omega _{r}&=0,\\\omega _{\theta }&=0,\\\omega _{\phi }&={1 \over r}\left({\partial  \over \partial r}\left(r\left(-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\partial  \over \partial \theta }\left({\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}

Next the following algebra is performed:

{\begin{aligned}\omega _{\phi }&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\partial  \over \partial r}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\frac {1}{r^{2}}}{\partial  \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\partial  \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&=-{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial  \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}

В результате расчета вектор завихренности оказывается равным:

{\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial  \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.

Сравнение с цилиндрическим

Цилиндрическая и сферическая системы координат связаны между собой

z=r\,\cos \theta \,

и

\rho =r\,\sin \theta .\,

Альтернативное определение с противоположным знаком

Как поясняется в общей статье о функции потока , также используются определения с использованием противоположного соглашения о знаках – для связи между функцией потока Стокса и скоростью потока. ^[3]

Нулевая дивергенция

В цилиндрических координатах дивергенция поля скорости u становится: ^[4]

{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}{\Bigl (}\rho \,u_{\rho }{\Bigr )}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(-{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}\right)=0,\end{aligned}}

как и ожидалось для несжимаемого потока.

И в сферических координатах: ^[5]

{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(u_{\theta }\,\sin \theta )+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{2}\,u_{r}{\Bigr )}\\&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)=0.\end{aligned}}

Линии оптимизации как кривые постоянной функции тока

Из математического анализа известно, что градиента вектор $\nabla \Psi$ нормально к кривой $\Psi =C$ (см., например, набор уровней#Наборы уровней в сравнении с градиентом ). Если показать, что везде ${\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \Psi =0,$ используя формулу для ${\boldsymbol {u}}$ с точки зрения $\Psi ,$ то это доказывает, что кривые уровня $\Psi$ являются линиями тока.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах

\nabla \Psi ={\partial \Psi  \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{\partial \Psi  \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}

.

и

{\boldsymbol {u}}=u_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+u_{z}{\boldsymbol {e}}_{z}=-{1 \over \rho }{\partial \Psi  \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{1 \over \rho }{\partial \Psi  \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{z}.

Так что

\nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi  \over \partial \rho }(-{1 \over \rho }{\partial \Psi  \over \partial z})+{\partial \Psi  \over \partial z}{1 \over \rho }{\partial \Psi  \over \partial \rho }=0.

Сферические координаты

И в сферических координатах

\nabla \Psi ={\partial \Psi  \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{1 \over r}{\partial \Psi  \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }

и

{\boldsymbol {u}}=u_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+u_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }={1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi  \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{r}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi  \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{\theta }.

Так что

\nabla \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi  \over \partial r}\cdot {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi  \over \partial \theta }+{1 \over r}{\partial \Psi  \over \partial \theta }\cdot {\Big (}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi  \over \partial r}{\Big )}=0.

Примечания

^ Бэтчелор (1967), стр. 78.
^ Бэтчелор (1967), стр. 79.
^ Например Бреннер, Ховард (1961). «Медленное движение сферы через вязкую жидкость к плоской поверхности». Химико-техническая наука . 16 (3–4): 242–251. дои : 10.1016/0009-2509(61)80035-3 .
^ Бэтчелор (1967), стр. 602.
^ Бэтчелор (1967), стр. 601.

Ссылки

Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2 .
Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9 . Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.
Стоукс, Г.Г. (1842). «О установившемся движении несжимаемой жидкости». Труды Кембриджского философского общества . 7 : 439–453. Бибкод : 1848TCaPS...7..439S .
Перепечатано в: Стоукс, Г.Г. (1880). Математические и физические статьи, том I. Издательство Кембриджского университета. стр. 1–16 .

[1] Бэтчелор (1967), стр. 78.

[2] Бэтчелор (1967), стр. 79.

[3] Например Бреннер, Ховард (1961). «Медленное движение сферы через вязкую жидкость к плоской поверхности». Химико-техническая наука . 16 (3–4): 242–251. дои : 10.1016/0009-2509(61)80035-3 .

[4] Бэтчелор (1967), стр. 602.

[5] Бэтчелор (1967), стр. 601.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]