Вращательная симметрия

Вращательная симметрия , также известная как радиальная симметрия в геометрии , — это свойство, которым обладает форма, когда она выглядит одинаково после некоторого вращения путем частичного поворота. Степень вращательной симметрии объекта — это количество различных ориентаций, в которых он выглядит совершенно одинаково при каждом повороте.

Некоторые геометрические объекты частично симметричны при повороте на определенные углы, например квадраты, повернутые на 90 °, однако единственными геометрическими объектами, которые полностью вращательно симметричны под любым углом, являются сферы, круги и другие сфероиды . ^[1]^[2]

Формальное обращение

Формально вращательная симметрия — это симметрия относительно некоторых или всех вращений в $m$ -мерном евклидовом пространстве . Вращения — это прямые изометрии , т. е. изометрии, сохраняющие ориентацию . Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой $E + (м)$ (см. Евклидову группу ).

Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает трансляционную симметрию относительно всех перемещений, поэтому пространство однородно, а группа симметрии представляет собой всю $E (m)$ . С измененным понятием симметрии векторных полей группа симметрии также может быть $E + (м)$ .

Для симметрии относительно вращения вокруг точки мы можем принять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют специальную ортогональную группу $SO(m)$ , группу $m \times m$ ортогональных матриц размера с определителем 1. Для $m = 3$ это группа вращений $SO(3)$ .

В другом определении слова группа вращения объекта — это группа симметрии внутри $E. + (n)$ — группа прямых изометрий ; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для киральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Законы физики SO(3)-инвариантны , если они не различают разные направления в пространстве. Согласно теореме Нётер , вращательная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения углового момента .

Дискретная вращательная симметрия

Вращательная симметрия порядка $n$ , также называемая $n$ -кратной вращательной симметрией , или дискретная вращательная симметрия $n-$ го порядка по отношению к конкретной точке (в 2D) или оси (в 3D) означает, что вращение на угол ⁠ ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}$ ⁠ (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3 / 7 ° и т. д.) не меняет предмет. «1-кратная» симметрия не является симметрией (все объекты выглядят одинаково после поворота на 360 °).

Обозначение симметрии - кратной $n$ — $Cn или$ просто $n$ . Фактическая группа симметрии определяется точкой или осью симметрии вместе с $n$ . каждой точки или оси симметрии типом абстрактной группы является циклическая группа порядка $n$ , $Zn Для$ . Хотя для последнего также $обозначение C n$ используется $, следует различать геометрическое и абстрактное C n$ : существуют другие группы симметрии того же типа абстрактной группы, которые геометрически различаются, см. циклические группы симметрии в 3D .

Фундаментальная область это сектор ⁠ - ${\tfrac {360^{\circ }}{n}}.$ ⁠

Примеры без дополнительной симметрии отражения :

$n = 2$ , 180°: диада ; буквы З, Н, С; контуры, хотя и не цвета, символов инь и ян ; Флаг Союза (разделенный по диагонали флага и повернутый вокруг центральной точки флага)
$n = 3$ , 120°: триада , трискелион , кольца Борромео ; термин трехсторонняя симметрия ; иногда используется
$n = 4$ , 90°: тетрада , свастика
$n = 6$ , 60°: шестиугольник , Звезда Давида (у этого есть дополнительная симметрия отражения )
$n = 8$ , 45°: октада , восьмиугольные мукарны , компьютерная графика (CG), потолок

$C n$ — группа вращения правильного $n$ -стороннего многоугольника в 2D и правильной $n$ -сторонней пирамиды в 3D.

Если имеется, например, вращательная симметрия относительно угла 100°, то также и относительно угла 20°, наибольшего общего делителя 100° и 360°.

Типичный трехмерный объект с вращательной симметрией (возможно, также с перпендикулярными осями), но без зеркальной симметрии, — это пропеллер .

Примеры

$С 2$ ( подробнее )	$С 3$ ( подробнее )	$С 4$ ( подробнее )	$С 5$ ( подробнее )	$С 6$ ( подробнее )
Фрактал двойного маятника	кольцевого движения Знак		двухсотлетия США Звезда
Исходное положение в сёги	Снолделева Стоуна переплетенных рогов для питья Дизайн

Несколько осей симметрии, проходящих через одну и ту же точку

Для дискретной симметрии с несколькими осями симметрии, проходящими через одну и ту же точку, существуют следующие возможности:

Помимо $оси n$ -кратного порядка, $n$ перпендикулярных осей 2-го порядка: группы диэдра $D n$ порядка $2 n$ ( $n \geq 2$ ). Это группа вращения правильной призмы или правильной бипирамиды . Хотя используются одни и те же обозначения, следует различать геометрическую и абстрактную $D n$ : существуют другие группы симметрии того же типа абстрактной группы, которые геометрически отличаются, см. Группы двугранной симметрии в 3D .
Оси 4×3 и 3×2: группа вращения $T$ порядка 12 правильного тетраэдра . Группа изоморфна знакопеременной группе $A 4$ .
Оси 3×4, 4×3 и 6×2: группа вращения O порядка 24 куба и правильного октаэдра . Группа изоморфна симметрической группе $S 4$ .
Оси 6×5, 10×3 и 15×2: группа вращения $I$ порядка 60 додекаэдра и икосаэдра . Группа изоморфна знакопеременной группе $A 5$ . Группа содержит 10 версий $D 3$ и 6 версий $D 5$ (вращательные симметрии типа призм и антипризм).

В случае Платоновых тел оси 2-го порядка проходят через середины противоположных ребер, и их количество составляет половину количества ребер. Остальные оси проходят через противоположные вершины и центры противоположных граней, за исключением тетраэдра, где оси тройного порядка проходят каждая через одну вершину и центр одной грани.

Вращательная симметрия относительно любого угла

Вращательная симметрия относительно любого угла в двух измерениях является круговой симметрией . Основная область — это полупрямая .

В трех измерениях мы можем различать цилиндрическую симметрию и сферическую симметрию (без изменений при вращении вокруг одной оси или при любом вращении). То есть нет зависимости от угла при использовании цилиндрических координат и нет зависимости от любого угла при использовании сферических координат . Фундаментальная область представляет собой полуплоскость, проходящую через ось, и радиальную полулинию соответственно. Осесимметричный и осесимметричный — это прилагательные , которые относятся к объекту, имеющему цилиндрическую симметрию или осесимметрию (т. е. вращательную симметрию относительно центральной оси), например пончик ( тор ). Примером приближенной сферической симметрии является Земля (по плотности и другим физическим и химическим свойствам).

В 4D непрерывная или дискретная вращательная симметрия относительно плоскости соответствует соответствующей 2D вращательной симметрии в каждой перпендикулярной плоскости относительно точки пересечения. Объект также может иметь вращательную симметрию относительно двух перпендикулярных плоскостей, например, если он является декартовым произведением двух двумерных фигур вращательной симметрии, как, например, в случае дуоцилиндра и различных правильных дуопризм .

Вращательная симметрия с трансляционной симметрией

Расположение внутри примитивной клетки 2- и 4-кратных ротоцентров. обозначен Фундаментальный домен желтым цветом.	Расположение внутри примитивной клетки 2-, 3- и 6-кратных ротоцентров, по отдельности или в сочетании (рассматриваем 6-кратный символ как комбинацию 2- и 3-кратного символа); только в случае 2-кратной симметрии форма параллелограмма может быть другой. Для случая p6 фундаментальная область обозначена желтым цветом.

2-кратная вращательная симметрия вместе с одинарной трансляционной симметрией является одной из групп фриза . Ротоцентр — это фиксированная или инвариантная точка вращения. ^[3] имеется два ротоцентра В каждой примитивной клетке .

Вместе с двойной трансляционной симметрией группы вращения представляют собой следующие группы обоев с осями на примитивную ячейку:

р2 (2222): 4×2-кратный; Группа вращения параллелограммной , прямоугольной и ромбической решетки .
р3 (333): 3×3 раза; не группа вращения какой-либо решетки (все решетки перевернуты одинаково, но это не относится к этой симметрии); это, например, группа вращения правильной треугольной мозаики с попеременно окрашенными равносторонними треугольниками.
р4 (442): 2×4-кратный, 2×2-кратный; Группа вращения квадратной решетки.
p6 (632): 1×6-кратный, 2×3-кратный, 3×2-кратный; Группа вращения гексагональной решетки.
2-кратные ротоцентры (включая возможные 4-кратные и 6-кратные), если они вообще присутствуют, образуют транслят решетки, равный трансляционной решетке, масштабированный в 1/2 раза. В случае трансляционной симметрии в одном измерении применяется аналогичное свойство, хотя термин «решетка» не применяется.
3-кратные ротоцентры (включая возможные 6-кратные), если они вообще присутствуют, образуют правильную гексагональную решетку, равную трансляционной решетке, повернутую на 30 ° (или, что эквивалентно, 90 °) и масштабированную в раз. ${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$
4-кратные ротоцентры, если они вообще присутствуют, образуют правильную квадратную решетку, равную поступательной решетке, повернутую на 45 ° и масштабированную в раз. ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$
Шестикратные ротоцентры, если они вообще присутствуют, образуют правильную гексагональную решетку, которая является трансляцией поступательной решетки.

Масштабирование решетки делит количество точек на единицу площади на квадрат масштабного коэффициента. Следовательно, количество 2-, 3-, 4- и 6-кратных ротоцентров на примитивную клетку равно 4, 3, 2 и 1 соответственно, включая 4-кратный как частный случай 2-кратности и т. д.

3-кратная вращательная симметрия в одной точке и 2-кратная вращательная симметрия в другой (или то же самое в 3D относительно параллельных осей) подразумевает группу вращения p6, т.е. двойную трансляционную симметрию и 6-кратную вращательную симметрию в некоторой точке (или, в 3D, параллельная ось). Расстояние перевода для симметрии, создаваемой одной такой парой ротоцентров, равно $2{\sqrt {3}}$ раз их расстояние.

Евклидова плоскость	Гиперболическая плоскость
Треугольная мозаика Гексакиса , пример p6, [6,3] ⁺, (632) (с цветами) и p6m, [6,3], (*632) (без цветов); линии являются осями отражения, если цвета игнорируются, и особым видом оси симметрии, если цвета не игнорируются: отражение возвращает цвета. Можно выделить прямоугольные линейные сетки в трех ориентациях.	Порядок 3-7 кисромбиллов , пример [7,3] ⁺ (732) симметрия и [7,3], (*732) (без цветов)

См. также

Ссылки

Вейль, Герман (1982) [1952]. Симметрия . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3 .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с вращательной симметрией, на Викискладе?
Примеры вращательной симметрии из Math Is Fun

[1] Вращательная симметрия сфер Вайнгартена в однородных трехмерных многообразиях. Хосе А. Гальвес, Пабло Мира

[2] Топологические связанные состояния в континууме в массивах диэлектрических сфер. Дмитрий Н. Максимов, Физический институт им. Л.В. Киренского, Красноярск, Россия

[3] Леб, Ал. (1971). Цвет и симметрия , Wiley-Interscience, Нью-Йорк, стр.2. ISBN 9780471543350 , ОСЛК 163904

[1]

[2]

[3]