Конечная скорость

Конечная скорость — это максимальная скорость, которую может достичь объект при падении через жидкость ( воздух наиболее распространенный пример — ). Это достигается, когда сумма силы сопротивления ( F _d ) и плавучести равна нисходящей силе тяжести ( F _G ), действующей на объект. Поскольку результирующая сила, действующая на объект, равна нулю, объект имеет нулевое ускорение . ^[1]^[2] Для объектов, падающих в воздух при нормальном давлении, выталкивающую силу обычно не принимают во внимание и не принимают во внимание, поскольку ее влияние незначительно. ^{[ нужна ссылка ]}

По мере увеличения скорости объекта увеличивается и действующая на него сила сопротивления, которая также зависит от вещества, через которое он проходит (например, воздуха или воды). На некоторой скорости сопротивление или сила сопротивления будет равна гравитационному притяжению объекта. В этот момент объект перестает ускоряться и продолжает падать с постоянной скоростью, называемой конечной скоростью (также называемой скоростью стабилизации ).

Объект, движущийся вниз со скоростью, превышающей предельную скорость (например, из-за того, что его бросили вниз, он упал из более тонкой части атмосферы или изменил форму), будет замедляться до тех пор, пока не достигнет конечной скорости. Перетаскивание зависит от проецируемой области , которая здесь представлена поперечным сечением или силуэтом объекта в горизонтальной плоскости.

Объект с большой проекционной площадью относительно его массы, например парашют, имеет более низкую конечную скорость, чем объект с небольшой проекционной площадью относительно его массы, например дротик. В общем, для одной и той же формы и материала конечная скорость объекта увеличивается с размером. Это связано с тем, что направленная вниз сила (вес) пропорциональна кубу линейного размера, а сопротивление воздуха примерно пропорционально площади поперечного сечения, которая увеличивается только пропорционально квадрату линейного размера.

Для очень маленьких объектов, таких как пыль и туман, конечная скорость легко преодолевается конвекционными потоками, которые могут вообще помешать им достичь земли, и, следовательно, они могут оставаться в воздухе в течение неопределенного периода времени. Примерами являются загрязнение воздуха и туман.

Примеры

Например, исходя из сопротивления воздуха, конечная скорость парашютиста в животом к земле (т. е. лицом вниз) положении свободного падения составляет около 55 м/с (180 футов/с). ^[3] Эта скорость является асимптотическим предельным значением скорости, и силы, действующие на тело, все теснее уравновешивают друг друга по мере приближения к конечной скорости. В этом примере скорость в 50 % от скорости терминала достигается всего примерно за 3 секунды, тогда как для достижения 90 % требуется 8 секунд, для достижения 99 % — 15 секунд и так далее.

Более высоких скоростей можно достичь, если парашютист подтянет конечности (см. Также свободный полет ). В этом случае скорость терминала увеличивается примерно до 90 м/с (300 футов/с). ^[3] что почти соответствует предельной скорости сапсана, пикирующего на свою добычу. ^[4] такая же конечная скорость достигается для типичной пули .30-06 , падающей вниз - когда она возвращается на землю после выстрела вверх или сбрасывается с башни. Согласно исследованию артиллерийского вооружения армии США 1920 года, ^[5]

участвующие в соревнованиях Парашютисты, по скорости , летают с опущенной головой и могут достигать скорости 150 м/с (490 футов/с). ^{[ нужна ссылка ]} Текущий рекорд принадлежит Феликсу Баумгартнеру , который прыгнул с высоты 38 887 м (127 582 фута) и достиг скорости 380 м/с (1200 фут/с), хотя он достиг этой скорости на большой высоте, где плотность воздуха намного ниже. чем на поверхности Земли, создавая соответственно меньшую силу сопротивления. ^[6]

Биолог Дж.Б.С. Холдейн писал:

Для мыши и любого более мелкого животного [гравитация] практически не представляет опасности. Вы можете бросить мышь в шахту длиной в тысячу ярдов; и, достигнув дна, он испытывает легкий шок и уходит. Крыса убита, человек сломан, лошадь забрызгана. Ибо сопротивление, оказываемое движению воздуха, пропорционально поверхности движущегося объекта. Разделите длину, ширину и высоту животного на десять; вес его уменьшен на тысячную долю, а поверхность лишь на сотую. Таким образом, сопротивление падению маленького животного относительно в десять раз превышает движущую силу. ^[7]

Физика

Используя математические термины, конечная скорость - без учета эффектов плавучести - определяется выражением $V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$ где

$V_{t}$ представляет конечную скорость,
$m$ - масса падающего предмета,
$g$ - ускорение свободного падения ,
$C_{d}$ коэффициент лобового сопротивления ,
$\rho$ - плотность жидкости, через которую падает объект, и
$A$ – проецируемая площадь объекта. ^[8]

В действительности объект приближается к своей конечной скорости асимптотически .

Эффекты плавучести, возникающие из-за направленной вверх силы, действующей на объект со стороны окружающей жидкости, можно учесть, используя принцип Архимеда : масса $m$ должно быть уменьшено на массу вытесненной жидкости $\rho V$ , с $V$ объем . объекта Поэтому вместо $m$ использовать уменьшенную массу $m_{r}=m-\rho V$ в этой и последующих формулах.

Конечная скорость объекта изменяется в зависимости от свойств жидкости, массы объекта и площади его проекционной поверхности поперечного сечения .

Плотность воздуха увеличивается с уменьшением высоты примерно на 1% на 80 метров (260 футов) (см. барометрическую формулу ). Для объектов, падающих в атмосфере, на каждые 160 метров (520 футов) падения конечная скорость уменьшается на 1%. После достижения локальной конечной скорости, продолжая падение, скорость уменьшается и изменяется вместе с локальной конечной скоростью.

Используя математические термины, определяющие положительное значение нижней силы, результирующая сила, действующая на объект, падающий вблизи поверхности Земли, равна (согласно уравнению сопротивления ):

$F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},$

где v ( t ) скорость объекта как функция времени t .

В состоянии равновесия равна чистая сила нулю ( F _net = 0). ^[9] и скорость становится конечной скоростью $lim t \to\infty v (t) = V t$ :

$mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.$

Решение для V _t дает:

V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.

( 5 )

Уравнение сопротивления, предполагая, что ρ , g и Cd _имеет являются постоянными, следующий вид: $ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.$

Хотя это уравнение Риккати , которое можно решить путем сведения к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, в нем легче разделить переменные .

Более практичную форму этого уравнения можно получить, сделав замену $α 2 = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ ρAC d / 2 mg ⁠$ .

Разделив обе части на m, получим ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).$

Уравнение можно переписать в $\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.$

Взяв интеграл от обеих частей, получим $\int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.$

После интеграции это становится $t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}$

или в более простой форме $t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},$ с артаном - обратная функция гиперболического тангенса .

Альтернативно, ${\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,$ с tanh - функцией гиперболического тангенса . Предполагая, что g положительно (как оно было определено), и подставляя обратно α , скорость v становится $v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).$

Использование формулы для конечной скорости $V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}$ уравнение можно переписать как $v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).$

Поскольку время стремится к бесконечности ( t → ∞), гиперболический тангенс стремится к 1, что приводит к конечной скорости. $V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.$

При очень медленном движении жидкости силы инерции жидкости незначительны (допущение безмассовой жидкости) по сравнению с другими силами. Такие течения называются ползучими или потоками Стокса , а условием, которое должно быть выполнено для того, чтобы потоки были ползучими, является число Рейнольдса , $Re\ll 1$ . Уравнение движения ползущего потока (упрощенное уравнение Навье – Стокса ) имеет вид:

${\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }$

где:

$\mathbf {v}$ – векторное поле скорости жидкости,
$p$ – поле давления жидкости,
$\mu$ жидкости/жидкости — вязкость .

Аналитическое решение ползущего обтекания сферы было впервые дано Стоксом в 1851 году. ^[10]Согласно решению Стокса, сила сопротивления, действующая на сферу диаметром $d$ можно получить как

D=3\pi \mu dV\qquad {\text{or}}\qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}

( 6 )

где число Рейнольдса, $Re={\frac {\rho d}{\mu }}V$ . Выражение для силы сопротивления, заданное уравнением ( 6 ), называется законом Стокса .

Когда значение $C_{d}$ подставив в уравнение ( 5 ), получим выражение для конечной скорости сферического объекта, движущегося в условиях ползущего течения: ^[11]

$V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),$ где $\rho _{s}$ плотность объекта.

Приложения

Результаты ползучего течения могут быть применены для изучения оседания осадков у дна океана и падения капель влаги в атмосфере. Этот принцип также применяется в вискозиметре с падающей сферой — экспериментальном устройстве, используемом для измерения вязкости высоковязких жидкостей, например нефти, парафина, смолы и т. д.

Конечная скорость при наличии силы плавучести

Если принять во внимание эффекты плавучести, объект, падающий в жидкость под собственным весом, может достичь конечной скорости (скорости стабилизации), если результирующая сила, действующая на объект, становится равной нулю. Когда достигается конечная скорость, вес объекта точно уравновешивается восходящей силой плавучести и силой сопротивления. То есть

W=F_{b}+D

( 1 )

где

$W$ это вес объекта,
$F_{b}$ - выталкивающая сила, действующая на объект, и
$D$ — сила сопротивления, действующая на объект.

Если падающий объект имеет сферическую форму, выражения для трех сил приведены ниже:

W={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g,

( 2 )

F_{b}={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho g,

( 3 )

D=C_{d}{\frac {1}{2}}\rho V^{2}A,

( 4 )

где

$d$ - диаметр сферического объекта,
$g$ - гравитационное ускорение,
$\rho$ - плотность жидкости,
$\rho _{s}$ плотность объекта,
$A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}$ - проецируемая площадь сферы,
$C_{d}$ - коэффициент лобового сопротивления, а
$V$ - характеристическая скорость (принимаемая как конечная скорость, $V_{t}$ ).

Подстановка уравнений ( 2 – 4 ) в уравнение ( 1 ) и определение конечной скорости: $V_{t}$ чтобы получить следующее выражение

V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}.

( 5 )

В уравнении ( 1 ) предполагается, что объект плотнее жидкости. В противном случае знак силы сопротивления следует сделать отрицательным, поскольку объект будет двигаться вверх против силы тяжести. Примерами могут служить пузырьки, образующиеся на дне бокала для шампанского, и гелиевые шарики. Конечная скорость в таких случаях будет иметь отрицательное значение, соответствующее скорости подъема вверх.

См. также

Ссылки

^ «6.4 Сила сопротивления и конечная скорость - Университетская физика, том 1 | OpenStax» . openstax.org . 19 сентября 2016 года . Проверено 15 июля 2023 г.
^ Риази, А.; Тюркер, У. (январь 2019 г.). «Коэффициент сопротивления и скорость осаждения частиц естественных отложений». Вычислительная механика частиц . 6 (3): 427–437. Бибкод : 2019CPM.....6..427R . дои : 10.1007/s40571-019-00223-6 . S2CID 127789299 .
^ Jump up to: ^а ^б Хуан, Цзянь (1998). Элерт, Гленн (ред.). «Скорость парашютиста (конечная скорость)» . Справочник по физике . Проверено 25 января 2022 г.
^ «Все о сапсане» . Служба охраны рыбы и дикой природы США. 20 декабря 2007 г. Архивировано из оригинала 8 марта 2010 г.
^ Баллистик (март 2001 г.). «Пули в небе» . W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Хьюстон, Техас, 77089. Архивировано из оригинала 31 марта 2008 г.
^ Гарбино, Алехандро; Блю, Ребекка С.; Паттарини, Джеймс М.; Лоу, Дженнифер; Кларк, Джонатан Б. (февраль 2014 г.). «Физиологический мониторинг и анализ программы испытаний пилотируемого стратосферного шара» . Авиационная, космическая и экологическая медицина . 85 (2): 177–178. дои : 10.3357/ASEM.3744.2014 . ПМИД 24597163 .
^ Холдейн, JBS (март 1926 г.). «О правильном размере» . Журнал Харпера . Март 1926 г. Архивировано из оригинала 15 апреля 2015 г. Альтернативный URL
^ Казенс, Роджер; Дитэм, Кальвин; Закон, Ричард (2008). Распространение растений: популяционная перспектива . Издательство Оксфордского университета . стр. 26–27. ISBN 978-0-19-929911-9 .
^ Массель, Станислав Р. (1999). Механика жидкости для морских экологов . Springer Science+Business Media . п. 22. дои : 10.1007/978-3-642-60209-2 . ISBN 978-3-642-60209-2 .
^ Стоукс, Г.Г. (1851). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников» . Труды Кембриджского философского общества . 9, часть II: 8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S . Формула для конечной скорости ( V )] приведена на стр. [52], уравнение (127).
^ Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 599. ИСБН 978-0-521-45868-9 . Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.

Внешние ссылки

Интерактивный инструмент предельной скорости - сайт НАСА, Руководство для начинающих по аэронавтике
Бортовое видео твердотопливных ракетных ускорителей космического корабля "Шаттл" быстро замедляется до предельной скорости при входе в более плотную атмосферу : от 2900 миль в час (3,8 Маха) в 5:15 на видео до 220 миль в час в 6:45 при раскрытии парашютов 90 секунды спустя — видео и звук НАСА, @ io9.com.
Конечная скорость стабилизации сферы при всех реалистичных числах Рейнольдса по методу таблиц Хейвуда.

[1] «6.4 Сила сопротивления и конечная скорость - Университетская физика, том 1 | OpenStax» . openstax.org . 19 сентября 2016 года . Проверено 15 июля 2023 г.

[2] Риази, А.; Тюркер, У. (январь 2019 г.). «Коэффициент сопротивления и скорость осаждения частиц естественных отложений». Вычислительная механика частиц . 6 (3): 427–437. Бибкод : 2019CPM.....6..427R . дои : 10.1007/s40571-019-00223-6 . S2CID 127789299 .

[Huang1999-3] Jump up to: ^а ^б Хуан, Цзянь (1998). Элерт, Гленн (ред.). «Скорость парашютиста (конечная скорость)» . Справочник по физике . Проверено 25 января 2022 г.

[4] «Все о сапсане» . Служба охраны рыбы и дикой природы США. 20 декабря 2007 г. Архивировано из оригинала 8 марта 2010 г.

[5] Баллистик (март 2001 г.). «Пули в небе» . W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Хьюстон, Техас, 77089. Архивировано из оригинала 31 марта 2008 г.

[6] Гарбино, Алехандро; Блю, Ребекка С.; Паттарини, Джеймс М.; Лоу, Дженнифер; Кларк, Джонатан Б. (февраль 2014 г.). «Физиологический мониторинг и анализ программы испытаний пилотируемого стратосферного шара» . Авиационная, космическая и экологическая медицина . 85 (2): 177–178. дои : 10.3357/ASEM.3744.2014 . ПМИД 24597163 .

[7] Холдейн, JBS (март 1926 г.). «О правильном размере» . Журнал Харпера . Март 1926 г. Архивировано из оригинала 15 апреля 2015 г. Альтернативный URL

[8] Казенс, Роджер; Дитэм, Кальвин; Закон, Ричард (2008). Распространение растений: популяционная перспектива . Издательство Оксфордского университета . стр. 26–27. ISBN 978-0-19-929911-9 .

[9] Массель, Станислав Р. (1999). Механика жидкости для морских экологов . Springer Science+Business Media . п. 22. дои : 10.1007/978-3-642-60209-2 . ISBN 978-3-642-60209-2 .

[10] Стоукс, Г.Г. (1851). «О влиянии внутреннего трения жидкостей на движение маятников» . Труды Кембриджского философского общества . 9, часть II: 8–106. Бибкод : 1851TCaPS...9....8S . Формула для конечной скорости ( V )] приведена на стр. [52], уравнение (127).

[11] Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 599. ИСБН 978-0-521-45868-9 . Первоначально опубликованное в 1879 году, шестое расширенное издание появилось впервые в 1932 году.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]