Уравнение перетаскивания

В гидродинамике уравнение сопротивления представляет собой формулу, используемую для расчета силы сопротивления, испытываемой объектом при движении через полностью окружающую жидкость . Уравнение: $$F_{\rm {d}}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,u^{2}\,c_{\rm {d}}\,A$$где

• $F_{\rm {d}}$ сопротивления — сила , которая по определению является составляющей силы в направлении скорости потока,
• $\rho$ - массовая плотность жидкости,
• $u$ - скорость потока относительно объекта,
• $A$ является эталонной областью , и
• $c_{\rm {d}}$ коэффициент сопротивления – безразмерный коэффициент, связанный с геометрией объекта и учитывающий как поверхностное трение, так и сопротивление формы . Если жидкость является жидкостью, $c_{\rm {d}}$ зависит от числа Рейнольдса ; если жидкость представляет собой газ, $c_{\rm {d}}$ зависит как от числа Рейнольдса, так и от числа Маха .

Уравнение приписывается лорду Рэлею , который первоначально использовал L ² вместо A (где L — некоторая линейная размерность).

Базовая область A обычно определяется как площадь ортогональной проекции объекта на плоскость, перпендикулярную направлению движения. Для неполых объектов простой формы, таких как сфера, это точно такое же значение, как максимальная площадь поперечного сечения . Для других объектов (например, катящейся трубы или тела велосипедиста) А может быть значительно больше площади любого сечения вдоль любой плоскости, перпендикулярной направлению движения. В аэродинамических профилях используется квадрат длины хорды в качестве контрольной площади ; поскольку хорды профиля обычно определяются длиной 1, эталонная площадь также равна 1. Самолеты используют площадь крыла (или площадь лопастей) в качестве эталонной площади, что упрощает сравнение подъемной силы . В дирижаблях и телах вращения используется объемный коэффициент сопротивления, в котором эталонная площадь представляет собой квадрат кубического корня из объема дирижабля. Иногда для одного и того же объекта даны разные контрольные области, и в этом случае необходимо указать коэффициент сопротивления, соответствующий каждой из этих разных областей.

с острыми углами Для обтекаемых тел , таких как квадратные цилиндры и пластины, удерживаемые поперек направления потока, это уравнение применимо с коэффициентом сопротивления как постоянным значением, когда число Рейнольдса превышает 1000. Для гладких тел, таких как цилиндр, коэффициент сопротивления может значительно меняться, пока число Рейнольдса не достигнет 10. ⁷ (десять миллионов).

Обсуждение

Уравнение легче понять для идеализированной ситуации, когда вся жидкость сталкивается с эталонной областью и полностью останавливается, создавая давление застоя по всей площади. Ни один реальный объект в точности не соответствует такому поведению. $c_{\rm {d}}$ это отношение сопротивления любого реального объекта к сопротивлению идеального объекта. На практике грубое необтекаемое тело (обтекаемое тело) будет иметь $c_{\rm {d}}$ около 1, более или менее. Более гладкие объекты могут иметь гораздо более низкие значения $c_{\rm {d}}$. Уравнение является точным – оно просто дает определение $c_{\rm {d}}$ ( коэффициент сопротивления ), который меняется в зависимости от числа Рейнольдса и находится экспериментальным путем.

Особое значение имеет $u^{2}$ зависимость от скорости потока, а это означает, что сопротивление жидкости увеличивается пропорционально квадрату скорости потока. Например, когда скорость потока увеличивается вдвое, жидкость не только ударяется со скоростью, вдвое превышающей скорость потока, но и в секунду превышает массу жидкости, попадающую в два раза. Следовательно, изменение количества движения за раз, то есть действующая сила , умножается на четыре. Это контрастирует с динамическим трением твердого тела о твердое тело , которое обычно очень мало зависит от скорости.

Связь с динамическим давлением

Силу сопротивления также можно определить как $$F_{\rm {d}}\propto P_{\rm {D}}A$$где P _D оказываемое жидкостью на область A. — давление , Здесь давление P _D называется динамическим давлением, обусловленным кинетической энергией жидкости, испытывающей относительную скорость потока u . Это определяется в той же форме, что и уравнение кинетической энергии: $$P_{\rm {D}}={\frac {1}{2}}\rho u^{2}$$

Вывод

Уравнение сопротивления может быть получено с точностью до мультипликативной константы методом анализа размерностей . Если движущаяся жидкость встречает объект, она оказывает на объект силу. Предположим, что жидкость является жидкостью, а задействованные переменные – при некоторых условиях – являются:

• скорость ты ,
• плотность жидкости ρ ,
• кинематическая вязкость ν жидкости,
• размер тела, выраженный через его смоченную площадь A , и
• сила сопротивления F _d .

Используя алгоритм π-теоремы Букингема , эти пять переменных можно свести к двум безразмерным группам:

• коэффициент лобового сопротивления c _d и
• Число Рейнольдса Re.

То, что это так, становится очевидным, когда сила сопротивления F _d выражается как часть функции других переменных в задаче:

$$f_{a}(F_{\rm {d}},u,A,\rho ,\nu )=0.$$

Используется эта довольно странная форма выражения, поскольку она не предполагает однозначного отношения. Здесь f _a — некоторая (пока неизвестная) функция, принимающая пять аргументов. Теперь правая часть равна нулю в любой системе единиц; поэтому должно быть возможно выразить связь, описываемую f _a, в терминах только безразмерных групп.

Есть много способов объединить пять аргументов f _a в безразмерные группы, но теорема Бэкингема π утверждает, что таких групп будет две. Наиболее подходящим является число Рейнольдса, определяемое формулой

$$\mathrm {Re} ={\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}$$

и коэффициент лобового сопротивления, определяемый выражением

$$c_{\rm {d}}={\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}.$$

Таким образом, функцию пяти переменных можно заменить другой функцией всего двух переменных:

$$f_{b}\left({\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}},{\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)=0.$$

где f _b — некоторая функция двух аргументов.Тогда первоначальный закон сводится к закону, включающему только эти два числа.

Поскольку единственной неизвестной в приведенном выше уравнении является сила сопротивления F _d , ее можно выразить как

$${\begin{aligned}{\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}&=f_{c}\left({\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\\F_{\rm {d}}&={\tfrac {1}{2}}\rho Au^{2}f_{c}(\mathrm {Re} )\\c_{\rm {d}}&=f_{c}(\mathrm {Re} )\end{aligned}}$$

Таким образом, сила просто ⁠ 1 / 2 ⁠ ρ A u ² умножить некоторую (пока неизвестную) функцию f _c числа Рейнольдса Re – значительно более простая система, чем исходная функция с пятью аргументами, приведенная выше.

Таким образом, размерный анализ делает очень сложную проблему (попытку определить поведение функции пяти переменных) гораздо более простой: определение сопротивления как функции только одной переменной, числа Рейнольдса.

Если жидкость представляет собой газ, определенные свойства газа влияют на сопротивление, и эти свойства также необходимо учитывать. Этими свойствами традиционно считаются абсолютная температура газа и соотношение его теплоемкостей. Эти два свойства определяют скорость звука в газе при данной температуре. Пи-теорема Букингема затем приводит к третьей безразмерной группе — отношению относительной скорости к скорости звука, известной как число Маха . Следовательно, когда тело движется относительно газа, коэффициент сопротивления изменяется в зависимости от числа Маха и числа Рейнольдса.

Анализ дает и другую информацию бесплатно, так сказать. Анализ показывает, что при прочих равных условиях сила сопротивления будет пропорциональна плотности жидкости. Информация такого рода часто оказывается чрезвычайно ценной, особенно на ранних стадиях исследовательского проекта.

Вязкость воздуха во вращающейся сфере

Вязкость воздуха во вращающейся сфере имеет коэффициент, аналогичный коэффициенту сопротивления в уравнении сопротивления.

Экспериментальные методы

Чтобы эмпирически определить зависимость числа Рейнольдса, вместо экспериментов на большом теле с быстро текущими жидкостями (например, на самолетах реального размера в аэродинамических трубах ) можно с тем же успехом экспериментировать, используя небольшую модель в потоке с более высокой скоростью, потому что эти две системы обладают сходством, поскольку имеют одинаковое число Рейнольдса. Если того же числа Рейнольдса и числа Маха невозможно достичь только за счет использования потока с более высокой скоростью, может оказаться выгодным использовать жидкость большей плотности или меньшей вязкости.

См. также

• Аэродинамическое сопротивление
• Угол атаки
• Уравнение Морисона
• Синус-квадратичный закон сопротивления воздуха Ньютона.
• Свал (полет)
• Конечная скорость

Внешние ссылки

• Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-66396-2 .
• Хантли, HE (1967). Размерный анализ . Дувр. ЛОК 67-17978.
• Бенсон, Том. «Падающий предмет с сопротивлением воздуха» . США: НАСА . Проверено 9 июня 2022 г.
• Бенсон, Том. «Уравнение сопротивления» . США: НАСА . Проверено 9 июня 2022 г.