Барометрическая формула

Барометрическая формула — это формула , используемая для моделирования того, как давление (или плотность ) воздуха меняется с высотой .

Уравнения давления

Есть два уравнения для расчета давления как функции высоты. Первое уравнение применимо к слоям атмосферы, в которых предполагается, что температура меняется с высотой с ненулевой скоростью градиента $L_{b}$ : $P=P_{b}\left[1-{\frac {L_{M,b}}{T_{M,b}}}(h-h_{b})\right]^{\frac {g_{0}'M_{0}}{R^{*}L_{M,b}}}$ Второе уравнение применимо к слоям атмосферы, в которых предполагается, что температура не меняется. ^{[ нужна ссылка ]} с высотой ( скорость градиента равна нулю): $P=P_{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}{T_{M,b}}}}\right]$ где:

$P_{b}$ = эталонное давление
$T_{M,b}$ = эталонная температура ( К )
$L_{M,b}$ = скорость изменения температуры (К/м) в ISA
$h$ = высота, на которой рассчитывается давление (м)
$h_{b}$ = высота опорного уровня b (метры; например, h _b = 11 000 м)
$R^{*}$ = универсальная газовая постоянная : 8,3144598 Дж/(моль·К)
$g_{0}$ = гравитационное ускорение : 9,80665 м/с ²
$M$ = молярная масса земного воздуха: 0,0289644 кг/моль

Или конвертировать в имперские единицы : ^[1]

$P_{b}$ = эталонное давление
$T_{M,b}$ = эталонная температура ( К )
$L_{M,b}$ = скорость отклонения температуры (К/фут) в ISA
$h$ = высота, на которой рассчитывается давление (футы)
$h_{b}$ = высота исходного уровня b (футы; например, h _b = 36 089 футов)
$R^{*}$ = универсальная газовая постоянная ; в футах, кельвинах и молях (СИ) : 8,949 4596 × 10 ⁴ фунт·фут ²/(фунт-моль·К·с ²)
$g_{0}$ = гравитационное ускорение : 32,17405 футов/с ²
$M$ = молярная масса земного воздуха: 28,9644 фунта/фунт-моль

Значение индекса b находится в диапазоне от 0 до 6 в соответствии с каждым из семи последовательных слоев атмосферы, показанных в таблице ниже. В этих уравнениях g ₀ , M и R ^* являются однозначными константами, а P , L, T и h являются многозначными константами в соответствии с таблицей ниже. Значения, используемые для M , g ₀ и R ^* соответствуют Стандартной атмосфере США , 1976 г., а значение R ^* в частности, не согласуется со стандартными значениями этой константы. ^[2] Базовым значением P _b для b = 0 является определенное значение уровня моря, P ₀ = 101 325 Па или 29,92126 дюймов рт. ст. Значения P _b от b = 1 до b = 6 получаются применением соответствующего члена пары уравнений 1 и 2 для случая, когда h = h _{b +1} . ^[2]

Индекс б	Геопотенциал высота над уровнем моря(час)		Статическое давление		Стандартная температура (К)	Скорость изменения температуры		Экспонента g0 М / РЛ
Индекс б	(м)	(футы)	(хорошо)	(дюйм рт.ст.)	Стандартная температура (К)	(К/м)	(К/фут)	Экспонента g0 М / РЛ
0	0	0	101 325.00	29.92126	288.15	0.0065	0.0019812	5.25588
1	11 000	36,089	22 632.10	6.683245	216.65	0.0	0.0	—
2	20 000	65,617	5474.89	1.616734	216.65	-0.001	-0.0003048	-34.1626
3	32 000	104,987	868.02	0.2563258	228.65	-0.0028	-0.00085344	-12.2009
4	47 000	154,199	110.91	0.0327506	270.65	0.0	0.0	—
5	51 000	167,323	66.94	0.01976704	270.65	0.0028	0.00085344	12.2009
6	71 000	232,940	3.96	0.00116833	214.65	0.002	0.0006096	17.0813

Уравнения плотности

Выражения для расчета плотности практически идентичны расчету давления. Единственная разница – это показатель степени в уравнении 1.

Есть два уравнения для расчета плотности как функции высоты. Первое уравнение применимо к стандартной модели тропосферы , в которой предполагается, что температура меняется с высотой градиентом с $L_{b}$ ; второе уравнение применимо к стандартной модели стратосферы , в которой предполагается, что температура не меняется с высотой.

Уравнение 1: $\rho =\rho _{b}\left[{\frac {T_{b}-(h-h_{b})L_{b}}{T_{b}}}\right]^{\left({\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}-1\right)}$

что эквивалентно отношению изменений относительного давления и температуры

$\rho =\rho _{b}{\frac {P}{T}}{\frac {T_{b}}{P_{b}}}$

Уравнение 2: $\rho =\rho _{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]$

где

${\rho }$ = массовая плотность (кг/м ³)
$T_{b}$ = стандартная температура (К)
$L$ = стандартный градиент температуры (см. таблицу ниже) (К/м) в ISA
$h$ = высота над уровнем моря (геопотенциальные метры)
$R^{*}$ = универсальная газовая постоянная 8,3144598 Н·м/(моль·К)
$g_{0}$ = гравитационное ускорение: 9,80665 м/с ²
$M$ = молярная масса земного воздуха: 0,0289644 кг/моль

или, преобразованный в гравитационные фут-фунт-секунды США (больше не используется в Великобритании): ^[1]

${\rho }$ = плотность массы ( пуля / фут ³)
${T_{b}}$ = стандартная температура (К)
${L}$ = стандартный градиент температуры (К/фут)
${h}$ = высота над уровнем моря (геопотенциальные футы)
${R^{*}}$ = универсальная газовая постоянная: 8,9494596×10 ⁴ футы ²/(с·К)
${g_{0}}$ = гравитационное ускорение: 32,17405 футов/с ²
${M}$ = молярная масса земного воздуха: 0,0289644 кг/моль

Значение индекса b находится в диапазоне от 0 до 6 в соответствии с каждым из семи последовательных слоев атмосферы, показанных в таблице ниже. Базовым значением ρ _b для b = 0 является определенное значение уровня моря, ρ ₀ = 1,2250 кг/м. ³ или 0,0023768908 пули/фут ³. Значения ρ _b от b = 1 до b = 6 получаются применением соответствующего члена парных уравнений 1 и 2 для случая, когда h = h _{b +1} . ^[2]

В этих уравнениях g ₀ , M и R ^* являются однозначными константами, а ρ , L , T и h являются многозначными константами в соответствии с таблицей ниже. Значения, используемые для M , g ₀ и R ^* соответствуют Стандартной атмосфере США , 1976 г., и что значение R ^* в частности, не согласуется со стандартными значениями этой константы. ^[2]

Индекс б	Геопотенциал высота над уровнем моря(час)		Массовая плотность ( $\rho$ )		Стандартная температура ( Т' ) (К)	Скорость изменения температуры ( L )
Индекс б	(м)	(футы)	(кг/м ³)	(слизняк/фут ³)	Стандартная температура ( Т' ) (К)	(К/м)	(К/фут)
0	0	0	1.2250	2.376 8908 × 10 ⁻³	288.15	0.0065	0.0019812
1	11 000	36,089.24	0.36391	7.061 1703 × 10 ⁻⁴	216.65	0.0	0.0
2	20 000	65,616.79	0.08803	1.708 1572 × 10 ⁻⁴	216.65	-0.001	-0.0003048
3	32 000	104,986.87	0.01322	2.566 0735 × 10 ⁻⁵	228.65	-0.0028	-0.00085344
4	47 000	154,199.48	0.00143	2.769 8702 × 10 ⁻⁶	270.65	0.0	0.0
5	51 000	167,322.83	0.00086	1.671 7895 × 10 ⁻⁶	270.65	0.0028	0.00085344
6	71 000	232,939.63	0.000064	1.245 8989 × 10 ⁻⁷	214.65	0.002	0.0006096

Вывод

Барометрическую формулу можно вывести, используя закон идеального газа : $P={\frac {\rho }{M}}{R^{*}}T$

Предполагая, что любое давление гидростатическое : $dP=-\rho g\,dz$ и разделив это уравнение на $P$ мы получаем: ${\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}$

Интегрируя это выражение от поверхности до высоты z, получаем: $P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}$

Предполагая линейное изменение температуры $T=T_{0}-Lz$ и постоянные молярная масса и гравитационное ускорение, получаем первую барометрическую формулу: $P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}$

Вместо этого, предполагая постоянную температуру, интегрирование дает вторую барометрическую формулу: $P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}$

В этой формулировке R ^* — газовая постоянная , а член R ^*T / Mg дает масштабную высоту (приблизительно равную 8,4 км для тропосферы ).

(Для получения точных результатов следует помнить, что атмосфера, содержащая воду, не ведет себя как идеальный газ . см. реальный газ или идеальный газ или газ Для дальнейшего понимания .)

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Мечтли, Е.А., 1973: Международная система единиц, физических констант и коэффициентов пересчета . НАСА SP-7012, вторая редакция, Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства, Вашингтон, округ Колумбия
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Стандартная атмосфера США , 1976 г., Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия, 1976 г. (Связанный файл размером 17 МБ)

[conversion-1] Перейти обратно: ^а ^б Мечтли, Е.А., 1973: Международная система единиц, физических констант и коэффициентов пересчета . НАСА SP-7012, вторая редакция, Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства, Вашингтон, округ Колумбия

[USSA1976-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Стандартная атмосфера США , 1976 г., Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия, 1976 г. (Связанный файл размером 17 МБ)

[1]

[2]