Гипсометрическое уравнение

Гипсометрическое уравнение , также известное как уравнение толщины , связывает соотношение атмосферного давления с эквивалентной толщиной атмосферного слоя с учетом средней виртуальной температуры , силы тяжести и иногда ветра . Оно выводится из уравнения гидростатики и закона идеального газа .

Формулировка

Гипсометрическое уравнение выражается как: $$h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\,\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),$$где:

• $h$ = толщина слоя [м],
• $z$ = геометрическая высота [м],
• $R$ = удельная газовая постоянная для сухого воздуха,
• ${\overline {T_{v}}}$ = средняя виртуальная температура в Кельвинах [К],
• $g$ = гравитационное ускорение [м/с ² ],
• $p$ = давление [ Па ].

В метеорологии , $p_{1}$ и $p_{2}$ являются изобарическими поверхностями. При радиозондовых наблюдениях гипсометрическое уравнение можно использовать для расчета высоты уровня давления, учитывая высоту опорного уровня давления и среднюю виртуальную температуру между ними. Затем вновь вычисленную высоту можно использовать в качестве нового эталонного уровня для расчета высоты следующего уровня с учетом средней виртуальной температуры между ними и так далее.

Вывод

Гидростатическое уравнение:

$p=\rho \cdot g\cdot z,$

где $\rho$ плотность [кг / м ³ ], используется для формирования уравнения гидростатического равновесия , записанного в дифференциальной форме:

$dp=-\rho \cdot g\cdot dz.$

Это сочетается с законом идеального газа :

$p=\rho \cdot R\cdot T_{v}$

устранить $\rho$:

${\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.$

Это интегрировано из $z_{1}$ к $z_{2}$:

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {-g}{R\cdot T_{v}}}\,\mathrm {d} z.$

R и g постоянны с z , поэтому их можно вывести за пределы интеграла.Если температура изменяется линейно с z (например, при небольшом изменении z ),его также можно вывести за пределы интеграла, заменив на ${\overline {T_{v}}}$, средняя виртуальная температура между $z_{1}$ и $z_{2}$.

$\int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\int _{z_{1}}^{z_{2}}\,\mathrm {d} z.$

Интеграция дает

$\ln \left({\frac {p(z_{2})}{p(z_{1})}}\right)={\frac {-g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}),$

упрощение до

$\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)={\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}(z_{2}-z_{1}).$

Перестановка:

$z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g}}\ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),$

или, исключив естественный журнал:

${\frac {p_{1}}{p_{2}}}=e^{{\frac {g}{R\cdot {\overline {T_{v}}}}}\cdot (z_{2}-z_{1})}.$

Коррекция

Эффект Этвеша можно учесть как поправку к гипсометрическому уравнению. Физически, используя систему отсчета, которая вращается вместе с Землей, воздушная масса, движущаяся на восток, фактически весит меньше, что соответствует увеличению толщины между уровнями давления, и наоборот. Исправленное гипсометрическое уравнение выглядит следующим образом: $$h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot {\overline {T_{v}}}}{g(1+A)}}\cdot \ln \left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right),$$где поправка, обусловленная эффектом Этвеша , A, может быть выражена следующим образом: $$A=-{\frac {1}{g}}\left(2\Omega {\overline {u}}\cos \phi +{\frac {{\overline {u}}^{2}+{\overline {v}}^{2}}{r}}\right),$$где

• $\Omega$ = Скорость вращения Земли,
• $\phi$ = широта,
• $r$ = расстояние от центра Земли до воздушной массы,
• ${\overline {u}}$ = средняя скорость в продольном направлении (восток-запад), и
• ${\overline {v}}$ = средняя скорость в широтном направлении (север-юг).

Эта поправка значительна при крупномасштабном движении атмосферы в тропиках.

См. также

• Барометрическая формула
• Изменение вертикального давления