Эффект Этвеша

Об эксперименте по проверке равенства гравитационной и инертной массы см. Эксперимент Этвеша .

Эффект Этвёша — это изменение измеренной силы тяжести Земли , вызванное изменением центробежного ускорения в результате изменения скорости в восточном или западном направлении . объекта При движении на восток угловая скорость увеличивается (в дополнение к вращению Земли ), и, таким образом, центробежная сила также увеличивается, вызывая воспринимаемое уменьшение гравитационной силы.

Открытие

В начале 1900-х годов немецкая группа из Потсдамского геодезического института проводила гравитационные измерения на движущихся кораблях в Атлантическом , Индийском и Тихом океанах. Изучая их результаты, венгерский дворянин и физик барон Роланд фон Этвос ( Loránd Eötvös ) заметил, что показания были ниже, когда лодка двигалась на восток, и выше, когда она двигалась на запад. Он определил это прежде всего как следствие вращения Земли. В 1908 году новые измерения были произведены в Черном море на двух кораблях, двигавшихся на восток и на запад. Результаты подтвердили утверждение Этвёша.

Формулировка

Геодезисты используют следующую формулу для корректировки скорости относительно Земли во время гравиметрического исследования.

$a_{r}=2\Omega u\cos \phi +{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}.$

Здесь,

$a_{r}$ относительное ускорение

$\Omega$ это скорость вращения Земли

$u$ скорость в продольном направлении (восток-запад)

$\phi$ — широта, на которой проводятся измерения.

$v$ - скорость в широтном направлении (север-юг)

$R$ это радиус Земли

Первое слагаемое в формуле 2 Ωu cos( φ ) соответствует эффекту Этвёша. Второй член представляет собой уточнение, которое при нормальных обстоятельствах намного меньше, чем эффект Этвёша.

Физическое объяснение

Наиболее распространенной конструкцией гравиметра для полевых работ является пружинная конструкция; пружина, которая удерживает внутренний груз. Поддерживающая сила, создаваемая пружиной, противодействует силе гравитации. Хорошо изготовленная пружина обладает тем свойством, что величина силы, которую оказывает пружина, пропорциональна растяжению пружины из положения равновесия ( закон Гука ). Чем сильнее эффективная сила тяжести в определенном месте, тем больше растягивается пружина; пружина растягивается на длину, на которой выдерживается внутренний вес. Кроме того, движущиеся части гравиметра будут демпфированы, чтобы сделать его менее восприимчивым к внешним воздействиям, таким как вибрация.

Для расчетов будем считать, что внутренняя гиря имеет массу десять килограммов (10 кг; 10 000 г). Предполагается, что для съемки используется средство передвижения, обеспечивающее хорошую скорость при очень плавном движении: дирижабль. Пусть крейсерская скорость дирижабля равна 25 метров в секунду (90 км/ч; 56 миль в час).

Движение вдоль экватора

График силы, действующей на 10-килограммовый объект, в зависимости от его скорости, движущейся вдоль экватора Земли (измеренной во вращающейся системе отсчета). (Положительная сила на графике направлена ​​вверх. Положительная скорость направлена ​​на восток, а отрицательная скорость — на запад).

Чтобы рассчитать, что необходимо для того, чтобы внутренний вес гравиметра находился в нейтральном положении, когда он неподвижен относительно Земли, необходимо принять во внимание вращение Земли. На экваторе скорость поверхности Земли составляет около 465 метров в секунду (1674 км/ч; 1040 миль в час). Величина центростремительной силы, необходимая для того, чтобы заставить объект двигаться по круговой траектории радиусом 6378 километров (экваториальный радиус Земли) со скоростью 465 м/с, составляет около 0,034 ньютона на килограмм массы. Для внутреннего веса в 10 000 грамм это составляет около 0,34 ньютона. Требуемая сила подвески равна массе внутреннего груза (умноженной на ускорение свободного падения) минус эти 0,34 ньютона. Другими словами: измеренный вес любого объекта, вращающегося вместе с Землей на экваторе, уменьшается на 0,34 процента благодаря вращению Земли.

При движении на восток со скоростью 10 м/с общая скорость становится 465 + 10 = 475 м/с, что требует центростремительной силы около 0,0354 ньютона на килограмм. При движении на запад со скоростью 10 м/с чистая скорость составляет 465–10 = 455 м/с, что требует около 0,0325 ньютонов на килограмм. Таким образом, если внутренний груз подвешен в нейтральном положении во время путешествия на восток, после изменения курса он больше не будет подвешен в нейтральном положении: кажущаяся масса внутреннего груза весом 10 000 грамм увеличится примерно на 3 грамма, и пружина гравиметра должна растянуться. еще немного, чтобы выдержать этот больший вес.

В высокопроизводительных метеорологических моделях этот эффект необходимо учитывать в земном масштабе. Воздушные массы, имеющие значительную скорость относительно Земли, имеют тенденцию мигрировать на другую высоту , и когда требования к точности являются строгими, это необходимо учитывать.

Вывод формулы для упрощенного случая

Вывод формулы движения вдоль экватора.

Удобная система координат в этой ситуации — инерциальная система координат, движущаяся вместе с центром масс Земли. Тогда справедливо следующее: объекты, покоящиеся на поверхности Земли и вращающиеся вместе с Землей, вращаются вокруг оси Земли, поэтому они находятся в центростремительном ускорении по отношению к этой инерциальной системе координат.

Ищется разница в центростремительном ускорении дирижабля, находящегося в неподвижном состоянии по отношению к Земле, и имеющего скорость относительно Земли. Следующий вывод предназначен исключительно для движения в направлении восток-запад или запад-восток.

Обозначение:

$a_{u}$ – полное центростремительное ускорение при движении по поверхности Земли.

$a_{s}$ - центростремительное ускорение в неподвижном состоянии относительно Земли.

$\Omega$ — угловая скорость Земли: один оборот за сидерические сутки .

$\omega _{r}$ - угловая скорость дирижабля относительно угловой скорости Земли.

$\left(\Omega +\omega _{r}\right)$ - полная угловая скорость дирижабля.

$u=\omega _{r}R$ - скорость дирижабля (скорость относительно Земли).

$R$ это радиус Земли.

${\begin{aligned}a_{r}&=a_{u}-a_{s}\\&=\left(\Omega +\omega _{r}\right)^{2}R-\Omega ^{2}R\\&=\Omega ^{2}R+2\Omega \omega _{r}R+\omega _{r}^{2}R-\Omega ^{2}R\\&=2\Omega \omega _{r}R+\omega _{r}^{2}R\\&=2\Omega u+{\frac {u^{2}}{R}}\\\end{aligned}}$

Легко видеть, что приведенная выше формула для движения вдоль экватора следует из более общего уравнения, приведенного ниже, для любой широты, где вдоль экватора v = 0,0 и $\cos \phi =1.0$

$a_{r}=2\Omega u\cos \phi +{\frac {u^{2}+v^{2}}{R}}$

Второй член представляет собой необходимое центростремительное ускорение , чтобы дирижабль следовал кривизне Земли . Оно не зависит ни от вращения Земли, ни от направления движения. Например, когда самолет с гравиметрическими приборами пролетает над одним из полюсов на постоянной высоте, траектория самолета повторяет кривизну Земли. Тогда первый член в формуле равен нулю, поскольку косинус угла равен нулю, а второй член представляет собой центростремительное ускорение, соответствующее кривизне поверхности Земли.

Объяснение косинуса в первом члене

Сила тяжести и нормальная сила . Результирующая сила действует как требуемая центростремительная сила.

Математический вывод эффекта Этвеша для движения вдоль экватора объясняет коэффициент 2 в первом члене формулы поправки Этвеша. Что еще предстоит объяснить, так это косинусный коэффициент.

Из-за своего вращения Земля не имеет шарообразной формы, имеется Экваториальная выпуклость . Сила тяжести направлена ​​к центру Земли. Нормальная сила перпендикулярна локальной поверхности.

На полюсах и на экваторе сила тяжести и нормальная сила направлены точно в противоположные стороны. На любой другой широте они не являются точно противоположными, поэтому существует результирующая сила, действующая по направлению к оси Земли. На каждой широте существует ровно такое количество центростремительной силы, которое необходимо для поддержания равномерной толщины атмосферного слоя. (Твердая Земля пластична. Всякий раз, когда форма твердой Земли не полностью находится в равновесии со скоростью ее вращения, напряжение сдвига деформирует твердую Землю в течение миллионов лет, пока напряжение сдвига не исчезнет.)

Опять же, пример дирижабля удобен для обсуждения действующих сил. Когда дирижабль имеет скорость относительно Земли в широтном направлении, вес дирижабля не такой, как когда дирижабль неподвижен относительно Земли.

Если дирижабль движется на восток, то дирижабль в некотором смысле «набирает скорость». Ситуация сравнима с гоночным автомобилем на вираже с чрезвычайно скользким дорожным покрытием. Если гоночный автомобиль едет слишком быстро, он будет заноситься в сторону. Для дирижабля в полете это означает уменьшение веса по сравнению с весом, когда он неподвижен относительно Земли.

Если скорость дирижабля направлена ​​на запад, то ситуация аналогична ситуации, когда гоночный автомобиль движется по виражу слишком медленно: на скользкой поверхности автомобиль упадет. Для дирижабля это означает увеличение веса.

Первый член эффекта Этвеша пропорционален составляющей необходимой центростремительной силы, перпендикулярной местной поверхности Земли, и, таким образом, описывается законом косинуса: чем ближе к экватору, тем сильнее эффект.

Движение вдоль 60 градусов широты

Эффект Этвёша для объекта, движущегося на восток вдоль 60 градусов широты. Объект стремится отойти от земной оси.

Эффект Этвёша для объекта, движущегося на запад вдоль 60 градусов широты. Объект имеет тенденцию притягиваться к оси Земли.

Снова используется тот же гравиметр, его внутренняя гиря имеет массу 10 000 грамм.

Расчет уменьшения веса при неподвижности относительно Земли:
Объект, расположенный на 60 градусах широты и движущийся вместе с Землей, движется по круговой траектории радиусом около 3190 километров и скоростью около 233 м/с. Эта круговая траектория требует центростремительной силы около 0,017 ньютона на каждый килограмм массы; 0,17 ньютона на внутренний вес 10 000 грамм. На широте 60 градусов составляющая, перпендикулярная местной поверхности (местному вертикали), составляет половину общей силы. Следовательно, на широте 60 градусов вес любого объекта, движущегося вместе с Землей, уменьшается примерно на 0,08 процента благодаря вращению Земли.

Расчет эффекта Этвёша:
Когда дирижабль движется со скоростью 25 м/с на восток, общая скорость становится 233 + 25 = 258 м/с, что требует центростремительной силы около 0,208 ньютона; местная вертикальная составляющая около 0,104 ньютона. При крейсерской скорости 25 м/с в западном направлении общая скорость становится 233–25 = 208 м/с, что требует центростремительной силы около 0,135 ньютона; местная вертикальная составляющая около 0,068 ньютона. Следовательно, на широте 60 градусов разница до и после разворота внутренней гири массой 10 000 грамм составляет разницу в 4 грамма измеренного веса. (В народе говорят, что вес — это сила, измеряемая в ньютонах, а не в граммах.)

На диаграммах также показан компонент в направлении, параллельном локальной поверхности. В метеорологии и океанографии принято называть эффектом Кориолиса действие компоненты, параллельной локальной поверхности .

Ссылки

• PDF-файл «Эффект Кориолиса» . 870 КБ 17 страниц. Общее обсуждение метеорологом Андерсом Перссоном различных аспектов геофизики, охватывающее эффект Кориолиса, учитываемый в метеорологии и океанографии, эффект Этвоса, маятник Фуко и столбцы Тейлора.

Внешние ссылки

• В 1915 году Этвёс сконструировал настольное устройство. Архивировано 7 июня 2015 г. в Wayback Machine , которое демонстрирует эффект Этвёша. Это устройство среди других инструментов выставлено в небольшом музее, посвященном творчеству и жизни Этвёша.
• Увеличенное изображение настольного устройства с сайта музея.