Теорема Гельмгольца о минимальной диссипации

В механике жидкости существует теорема Гельмгольца о минимальной диссипации (названная в честь Германа фон Гельмгольца, опубликовавшего ее в 1868 году). ) утверждает, что стационарное стоксово движение несжимаемой жидкости имеет наименьшую скорость диссипации, чем любое другое движение несжимаемой жидкости с той же скоростью на границе . Теорему также изучал Дидерик Кортевег в 1883 году. и лордом Рэлеем в 1913 году.

Фактически эта теорема верна для любого движения жидкости, где нелинейным членом уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости можно пренебречь или, что то же самое, когда $\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0$, где ${\boldsymbol {\omega }}$ – вектор завихренности . Например, теорема также применима к однонаправленным потокам, таким как поток Куэтта и поток Хагена – Пуазейля , где нелинейные члены автоматически исчезают.

Математическое доказательство

Позволять $\mathbf {u} ,\ p$ и $E={\frac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{T})$ – тензор скорости, давления и скорости деформации стоксова потока и $\mathbf {u} ',\ p'$ и $E'={\frac {1}{2}}(\nabla \mathbf {u} '+(\nabla \mathbf {u} ')^{T})$ — тензор скорости, давления и скорости деформации любого другого несжимаемого движения с $\mathbf {u} =\mathbf {u} '$ на границе. Позволять $u_{i}$ и $e_{ij}$ быть представлением тензора скорости и деформации в индексных обозначениях , где индекс принимает значения от одного до трех.

Рассмотрим следующий интеграл:

${\begin{aligned}\int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV&=\int {\frac {\partial (u_{i}'-u_{i})}{\partial x_{j}}}e_{ij}\ dV\end{aligned}}$

где в приведенном выше интеграле остается только симметричная часть тензора деформации, поскольку сжатие симметричного и антисимметричного тензора тождественно равно нулю. Интегрирование по частям дает

$\int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=\int (u_{i}'-u_{i})e_{ij}n_{j}\ dA-{\frac {1}{2}}\int (u_{i}'-u_{i})(\nabla ^{2}u_{i})\ dV.$

Первый интеграл равен нулю, поскольку скорости на границах двух полей равны. Теперь о втором интеграле, поскольку $u_{i}$ удовлетворяет уравнению потока Стокса , т.е. $\mu \nabla ^{2}u_{i}=\nabla p$, мы можем написать

$\int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=-{\frac {1}{2\mu }}\int (u_{i}'-u_{i}){\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}\ dV.$

Снова выполнение интегрирования по частям дает

$\int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=-{\frac {1}{2\mu }}\int p(u_{i}'-u_{i})n_{i}\ dA+{\frac {1}{2\mu }}\int p{\frac {\partial (u_{i}'-u_{i})}{\partial x_{i}}}\ dV.$

Первый интеграл равен нулю, поскольку скорости равны, а второй интеграл равен нулю, поскольку поток несжимаем, т. е. $\nabla \cdot \mathbf {u} =\nabla \cdot \mathbf {u} '=0$. Поэтому у нас есть тождество, которое говорит:

$\int (e_{ij}'-e_{ij})e_{ij}\ dV=0.$

Суммарная скорость вязкой диссипации энергии по всему объему поля $\mathbf {u} '$ дается

$D'=\int \Phi 'dV=2\mu \int e_{ij}'e_{ij}'\ dV=2\mu \int [e_{ij}e_{ij}+e_{ij}'e_{ij}'-e_{ij}e_{ij}]\ dV$

и после перестановки с использованием вышеуказанного тождества мы получаем

$D'=2\mu \int [e_{ij}e_{ij}+(e_{ij}'-e_{ij})(e_{ij}'-e_{ij})]\ dV$

Если $D$ - полная скорость вязкой диссипации энергии по всему объему поля $\mathbf {u}$, тогда мы имеем

$D'=D+2\mu \int (e_{ij}'-e_{ij})(e_{ij}'-e_{ij})\ dV$.

Второй интеграл неотрицательен и равен нулю только в том случае, если $e_{ij}=e_{ij}'$, тем самым доказав теорему.

Теорема о потоке Пуазейля

Теорема Пуазейля о потоке является следствием теоремы Гельмгольца, утверждающей, что стационарное ламинарное течение несжимаемой вязкой жидкости по прямой трубе произвольного сечения характеризуется тем свойством, что ее диссипация энергии наименьшая среди всех ламинарных (или пространственно-периодических) течений по трубе. которые имеют одинаковый полный поток.