Сквирмер

Сферический микропловец в потоке Стокса

Сквирмер , — это модель сферического микропловец плывущего в потоке Стокса . Модель сквирмера была представлена ​​Джеймсом Лайтхиллом в 1952 году и усовершенствована и использована для моделирования Paramecium Джоном Блейком в 1971 году. Блейк использовал модель извивающихся частиц, чтобы описать поток, создаваемый ковром из бьющихся коротких нитей, называемых ресничками, на поверхности парамеции. Сегодня сквирмер является стандартной моделью для изучения самодвижущихся частиц , таких как частицы Януса , в стоксовом потоке.

Поле скоростей в системе частиц

Здесь мы приводим поле течения сквирмера в случае недеформируемого осесимметричного сферического сквирмера (радиус $R$). Эти выражения даны в сферической системе координат .

$u_{r}(r,\theta )={\frac {2}{3}}\left({\frac {R^{3}}{r^{3}}}-1\right)B_{1}P_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}-{\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}P_{n}(\cos \theta )\;,$
$u_{\theta }(r,\theta )={\frac {2}{3}}\left({\frac {R^{3}}{2r^{3}}}+1\right)B_{1}V_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left(n{\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}+(2-n){\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}V_{n}(\cos \theta )\;.$

Здесь $B_{n}$ постоянные коэффициенты, $P_{n}(\cos \theta )$ являются полиномами Лежандра , а $V_{n}(\cos \theta )={\frac {-2}{n(n+1)}}\partial _{\theta }P_{n}(\cos \theta )$.
Можно найти $P_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,P_{2}(\cos \theta )={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1),\dots ,V_{1}(\cos \theta )=\sin \theta ,V_{2}(\cos \theta )={\tfrac {1}{2}}\sin 2\theta ,\dots$.
Выражения выше относятся к движущейся частице. В интерфейсе находится $u_{\theta }(R,\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}V_{n}$ и $u_{r}(R,\theta )=0$.

шейкер, $\beta =-\infty$	Пушер, $\beta =-5$	Нейтральный, $\beta =0$	Съемник, $\beta =5$	шейкер, $\beta =\infty$	Пассивная частица
шейкер, $\beta =-\infty$	Пушер, $\beta =-5$	Нейтральный, $\beta =0$	Съемник, $\beta =5$	шейкер, $\beta =\infty$	Пассивная частица
Поле скоростей сквирмера и пассивной частицы (верхний ряд: лабораторный кадр, нижний ряд: кадр пловца, $\beta =B_{2}/|B_{1}|$ ).

Скорость плавания и лабораторная структура

Используя обратную теорему Лоренца , можно найти вектор скорости частицы. $\mathbf {U} =-{\tfrac {1}{2}}\int \mathbf {u} (R,\theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\tfrac {2}{3}}B_{1}\mathbf {e} _{z}$. Поток в фиксированной лабораторной системе координат определяется выражением $\mathbf {u} ^{L}=\mathbf {u} +\mathbf {U}$:

$u_{r}^{L}(r,\theta )={\frac {R^{3}}{r^{3}}}UP_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }\left({\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}-{\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}P_{n}(\cos \theta )\;,$
$u_{\theta }^{L}(r,\theta )={\frac {R^{3}}{2r^{3}}}UV_{1}(\cos \theta )+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left(n{\frac {R^{n+2}}{r^{n+2}}}+(2-n){\frac {R^{n}}{r^{n}}}\right)B_{n}V_{n}(\cos \theta )\;.$

со скоростью плавания $U=|\mathbf {U} |$. Обратите внимание, что $\lim _{r\rightarrow \infty }\mathbf {u} ^{L}=0$ и $u_{r}^{L}(R,\theta )\neq 0$.

Структура потока и параметр сквирмера

Приведенные выше серии часто обрезаются на $n=2$ при изучении течения в дальней зоне, $r\gg R$. В рамках этого приближения $u_{\theta }(R,\theta )=B_{1}\sin \theta +{\tfrac {1}{2}}B_{2}\sin 2\theta$, с параметром сквирмера $\beta =B_{2}/|B_{1}|$. Первый режим $n=1$ характеризует гидродинамический диполь источника с распадом $\propto 1/r^{3}$ (и при этом скорость плавания $U$). Второй режим $n=2$ соответствует гидродинамическому стресслету или силовому диполю с распадом $\propto 1/r^{2}$. Таким образом, $\beta$ дает соотношение обоих вкладов и направления силового диполя. $\beta$ используется для разделения микропловцов на толкачей, пуллеров и нейтральных пловцов.

Тип пловца	толкатель	нейтральный пловец	съемник	шейкер	пассивная частица
Параметр Сквирмера	$\beta <0$	$\beta =0$	$\beta >0$	$\beta =\pm \infty$
Затухание скорости в дальнем поле	$\mathbf {u} \propto 1/r^{2}$	$\mathbf {u} \propto 1/r^{3}$	$\mathbf {u} \propto 1/r^{2}$	$\mathbf {u} \propto 1/r^{2}$	$\mathbf {u} \propto 1/r$
Биологический пример	кишечная палочка	Парамеция	Хламидомонада Рейнхардти

На рисунках выше показано поле скоростей в лабораторной системе координат и в системе координат, фиксированной частицами. Гидродинамические дипольные и квадрупольные поля модели сквирмера возникают в результате поверхностных напряжений из-за биения ресничек бактерий, химических реакций или термической неравновесности на частицах Януса. Сквирмер не требует применения силы. Напротив, поле скоростей пассивной частицы является результатом внешней силы, ее дальнее поле соответствует «стокслету» или гидродинамическому монополю. Бессиловая пассивная частица не движется и не создает поля потока.

См. также

• Протистское передвижение