Первый закон термодинамики (механика жидкости)

В физике первый закон термодинамики является выражением сохранения полной энергии системы. Увеличение энергии системы равно сумме работы, совершенной над системой, и тепла, переданного этой системе:

dE_{t}=dQ+dW

где

$E_{t}$ – полная энергия системы.
$W$ над этим проделана работа.
$Q$ это тепло, добавленное в эту систему.

В механике жидкости первый закон термодинамики принимает следующую форму: ^[1]^[2]

{\frac {DE_{t}}{Dt}}={\frac {DW}{Dt}}+{\frac {DQ}{Dt}}\to {\frac {DE_{t}}{Dt}}=\nabla \cdot ({\mathbf {\sigma } \cdot v})-\nabla \cdot {\mathbf {q} }

где

$\mathbf {\sigma }$ – тензор напряжений Коши .
$\mathbf {v}$ это скорость потока .
и $\mathbf {q}$ – вектор теплового потока .

Поскольку оно выражает сохранение полной энергии, его иногда называют уравнением баланса энергии сплошной среды. Первый закон используется для вывода несохраняющейся формы уравнений Навье – Стокса . ^[3]

Примечание

{\mathbf {\sigma } }=-p{\mathbf {I} }+{\mathbf {T} }

Где

$p$ это давление
$\mathbf {I}$ это единичная матрица
$\mathbf {T}$ – девиаторный тензор напряжений

То есть тянуть – это положительный стресс, а толкать – отрицательный.

Сжимаемая жидкость

Для сжимаемой жидкости левая часть уравнения принимает вид:

{\frac {DE_{t}}{Dt}}={\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot (E\mathbf {v} )

потому что в целом

\nabla \cdot \mathbf {v} \neq 0.

Интегральная форма

\int _{V}{\frac {\partial E}{\partial t}}\,dV=-\oint _{\partial V}E{\mathbf {v} }\cdot d{\mathbf {A} }+\oint _{\partial V}({\mathbf {\sigma } \cdot v})\cdot d{\mathbf {A} }-\oint _{\partial V}{\mathbf {q} }\cdot d{\mathbf {A} }

То есть изменение внутренней энергии вещества внутри объема является отрицательным значением суммы, вынесенной из объема потоком материала через границу, плюс работа, совершенная при сжатии материала на границе, минус поток тепла наружу. через границу. В более общем смысле можно включать исходные термины. ^[2]

Альтернативное представительство

\rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot (k\,\nabla T)+\Phi

где $h$ удельная энтальпия , $\Phi ={\mathbf {\tau } }:\nabla {\mathbf {v} }$ – функция диссипации и $T$ это температура. И где

$E_{t}=\rho (e+{\frac {1}{2}}v^{2}-\mathbf {g\cdot r} )$

т.е. внутренняя энергия на единицу объема равна плотности массы, умноженной на сумму: собственной энергии на единицу массы, кинетической энергии на единицу массы и гравитационной потенциальной энергии на единицу массы.

$-\nabla \cdot {\mathbf {q} }=+\nabla \cdot (k\,\nabla T)$

т.е. изменение тепла на единицу объема (отрицательная дивергенция теплового потока) равна дивергенции теплопроводности, умноженной на градиент температуры.

$\nabla \cdot ({\mathbf {\sigma } \cdot v})={\mathbf {v} \cdot \nabla \cdot \sigma }+\sigma :\nabla \mathbf {v}$

т.е. расхождение работы, совершаемой против напряжения, равно потоку материала, умноженному на расхождение напряжения, плюс напряжение, умноженное на дивергенцию потока материала.

$\sigma :\nabla {\mathbf {v} }=\Phi -p\,\nabla \cdot {\mathbf {v} }$

т.е. напряжение, умноженное на дивергенцию потока материала, равно тензору девиаторного напряжения, умноженному на дивергенцию потока материала, минус давление, умноженное на поток материала.

$h=e+{\frac {p}{\rho }}$

т.е. энтальпия на единицу массы равна собственной энергии на единицу массы плюс давление, умноженное на объем на единицу массы (обратная величина массовой плотности).

$\nabla \cdot \sigma ={\frac {DJ}{Dt}}-\mathbf {f}$
$-p\,\nabla \cdot {\mathbf {v} }={\frac {Dp}{Dt}}-\rho {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {p}{\rho }}\right)$

Альтернативные данные формы

$\nabla \cdot {\mathbf {\sigma } }={\frac {D{\mathbf {J} }}{Dt}}-\mathbf {f}$ левая часть уравнений Навье – Стокса минус объемная сила (на единицу объема), действующая на жидкость.
$-p\nabla \cdot {\mathbf {v} }={\frac {Dp}{Dt}}-\rho {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {p}{\rho }}\right)$ это отношение получено с использованием этого отношения $\rho \nabla \cdot {\mathbf {v} }=-{\frac {D\rho }{Dt}}$ что является альтернативной формой уравнения неразрывности ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {J} }=0$

См. также

Ссылки

^ Ф.М. Уайт (2006). Течение вязкой жидкости (3-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 69–72.
^ Jump up to: ^а ^б Трусделл; Тупен (1960). «Классические теории поля». Во Флюгге (ред.). Энциклопедия физики: Основы классической механики и теории поля . Том. III. п. 609.
^ Чунг (2002). Вычислительная гидродинамика . Издательство Кембриджского университета. стр. 33–34.

[1] Ф.М. Уайт (2006). Течение вязкой жидкости (3-е изд.). МакГроу Хилл. стр. 69–72.

[tt1960-2] Jump up to: ^а ^б Трусделл; Тупен (1960). «Классические теории поля». Во Флюгге (ред.). Энциклопедия физики: Основы классической механики и теории поля . Том. III. п. 609.

[3] Чунг (2002). Вычислительная гидродинамика . Издательство Кембриджского университета. стр. 33–34.

[1]

[2]

[3]