Ортогональные координаты

В математике . ортогональные координаты определяются как набор d координат $\mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d})$ в котором все координатные гиперповерхности встречаются под прямым углом (обратите внимание, что верхние индексы являются индексами , а не экспонентами ). Координатная поверхность для конкретной координаты q ^к — это кривая , поверхность или гиперповерхность , на которой q ^к является константой. Например, трехмерные декартовы координаты ( x , y , z ) являются ортогональной системой координат, поскольку ее координатные поверхности x = константа, y = константа и z = константа представляют собой плоскости, которые встречаются под прямым углом друг к другу, т.е. , перпендикулярны. Ортогональные координаты — особый, но чрезвычайно распространенный случай криволинейных координат .

Мотивация

Конформное отображение, действующее на прямоугольной сетке. Обратите внимание, что ортогональность изогнутой сетки сохраняется.

Хотя векторные операции и физические законы обычно легче всего вывести в декартовых координатах , вместо этого часто используются недекартовы ортогональные координаты для решения различных задач, особенно краевых задач , таких как те, которые возникают в полевых теориях квантовой механики , потока жидкости , электродинамика , физика плазмы и диффузия химических веществ или тепла .

Главное преимущество недекартовых координат состоит в том, что их можно выбрать в соответствии с симметрией задачи. Например, волна давления из-за взрыва вдали от земли (или других препятствий) зависит от трехмерного пространства в декартовых координатах, однако давление преимущественно движется от центра, так что в сферических координатах проблема становится почти одномерной. (поскольку волна давления преимущественно зависит только от времени и расстояния от центра). Другим примером является (медленная) жидкость в прямой круглой трубе: в декартовых координатах приходится решать (сложную) двумерную краевую задачу, включающую уравнение в частных производных, но в цилиндрических координатах задача становится одномерной с обыкновенным дифференциалом. уравнение вместо уравнения в частных производных .

Причина, по которой предпочтение отдается ортогональным координатам вместо общих криволинейных координат, заключается в простоте: когда координаты не ортогональны, возникает множество сложностей. Например, в ортогональных координатах многие проблемы можно решить путем разделения переменных . Разделение переменных — это математический метод, который преобразует сложную d -мерную задачу в d одномерные задачи, которые можно решить с помощью известных функций. Многие уравнения можно свести к уравнению Лапласа или уравнению Гельмгольца . Уравнение Лапласа разделимо в 13 ортогональных системах координат (14 перечислены в таблице ниже, за исключением тороидальной ), а уравнение Гельмгольца разделимо в 11 ортогональных системах координат.

Ортогональные координаты никогда не имеют недиагональных членов в своем метрическом тензоре . Другими словами, бесконечно малый квадрат расстояния ds ² всегда можно записать как масштабированную сумму квадратов бесконечно малых смещений координат.

$ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}$

где d — размерность и масштабные функции (или масштабные коэффициенты)

$h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|$

равны квадратным корням из диагональных компонентов метрического тензора или длинам локальных базисных векторов $\mathbf {e} _{k}$ описано ниже. Эти функции масштабирования h _i используются для вычисления дифференциальных операторов в новых координатах, например, градиента , лапласиана , дивергенции и ротора .

Простой метод создания ортогональных систем координат в двух измерениях — это конформное отображение стандартной двумерной сетки декартовых координат ( x , y ) . Комплексное число z = x + iy может быть образовано из действительных координат x и y , где i представляет мнимую единицу . Любая голоморфная функция w = f ( z ) с ненулевой комплексной производной создаст конформное отображение ; если полученное комплексное число записать w = u + iv , то кривые констант u и v пересекаются под прямым углом, так же, как это делали исходные линии констант x и y .

Ортогональные координаты в трех и более высоких измерениях могут быть сгенерированы из ортогональной двумерной системы координат либо путем проецирования ее в новое измерение ( цилиндрические координаты ), либо путем вращения двумерной системы вокруг одной из ее осей симметрии. Однако существуют и другие ортогональные системы координат в трех измерениях, которые невозможно получить путем проецирования или вращения двумерной системы, например эллипсоидальные координаты . Более общие ортогональные координаты можно получить, начав с некоторых необходимых координатных поверхностей и рассмотрев их ортогональные траектории .

Базисные векторы

Ковариантный базис

В декартовых координатах базисные векторы фиксированы (постоянны). В более общей постановке криволинейных координат точка в пространстве задается координатами, и в каждой такой точке связан набор базисных векторов, которые, как правило, не являются постоянными: в этом суть криволинейных координат вообще и очень важное понятие. Ортогональные координаты отличаются тем, что, хотя базисные векторы различаются, они всегда ортогональны друг другу. Другими словами,

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j$

Эти базисные векторы по определению являются касательными векторами кривых, полученными путем изменения одной координаты при сохранении фиксированных остальных:

Визуализация 2D ортогональных координат. Показаны кривые, полученные при сохранении всех координатных констант, кроме одной, вместе с базисными векторами. Обратите внимание, что базисные векторы не имеют одинаковой длины: они не обязательно должны быть ортогональными.

$\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$

где r — некоторая точка, а q ^я — координата, для которой извлекается базисный вектор. Другими словами, кривая получается путем фиксации всех координат, кроме одной; Нефиксированная координата изменяется, как и в параметрической кривой , а производная кривой по параметру (изменяющаяся координата) является базисным вектором для этой координаты.

Обратите внимание, что векторы не обязательно имеют одинаковую длину. Полезные функции, известные как масштабные коэффициенты координат, — это просто длины $h_{i}$ базисных векторов ${\mathbf {e} }_{i}$ (см. таблицу ниже). Масштабные коэффициенты иногда называют коэффициентами Ламе , не путать с параметрами Ламе (механика твердого тела) .

Нормализованные базисные векторы обозначаются шляпкой и получаются путем деления на длину:

${\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}$

Векторное поле может быть задано его компонентами относительно базисных векторов или нормализованных базисных векторов, и нужно быть уверенным, какой случай имеется в виду. Компоненты в нормализованном базисе наиболее распространены в приложениях для ясности величин (например, можно иметь дело с тангенциальной скоростью вместо тангенциальной скорости, умноженной на масштабный коэффициент); при выводах нормированный базис встречается реже, поскольку он более сложен.

Контравариантный базис

Показанные выше базисные векторы являются ковариантными базисными векторами (поскольку они «совместно изменяются» с векторами). В случае ортогональных координат контравариантные базисные векторы легко найти, поскольку они будут иметь то же направление, что и ковариантные векторы, но иметь обратную длину (по этой причине говорят, что два набора базисных векторов взаимны по отношению к каждому другой):

$\mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}$

это следует из того, что по определению $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}$, используя дельту Кронекера . Обратите внимание, что:

${\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}$

Теперь мы сталкиваемся с тремя различными базисными наборами, обычно используемыми для описания векторов в ортогональных координатах: ковариантный базис e _i , контравариантный базис e ^я , а нормированный базис ê ^я . Хотя вектор является объективной величиной , то есть его идентичность не зависит от какой-либо системы координат, компоненты вектора зависят от того, в каком базисе вектор представлен.

Во избежание путаницы компоненты вектора x относительно ei _базиса представлены как x ^я , а компоненты по отношению к e ^я базис представлены как x _i :

$\mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}$

Положение индексов показывает, как рассчитываются компоненты (верхние индексы не следует путать с возведением в степень ). Обратите внимание, что символы суммирования Σ (заглавная сигма ) и диапазон суммирования, обозначающий суммирование по всем базисным векторам ( i = 1, 2, ..., d ), часто опускаются . Компоненты связаны просто:

$h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}$

Для компонентов вектора относительно нормализованного базиса не существует общепринятых обозначений; в этой статье мы будем использовать индексы для векторных компонентов и отметим, что компоненты рассчитываются в нормализованном базисе.

Векторная алгебра

Сложение и отрицание векторов выполняются покомпонентно, как и в декартовых координатах, без каких-либо сложностей. Для других векторных операций могут потребоваться дополнительные соображения.

Однако обратите внимание, что все эти операции предполагают, что два вектора в векторном поле привязаны к одной и той же точке (другими словами, хвосты векторов совпадают). Поскольку базисные векторы обычно различаются по ортогональным координатам, если добавляются два вектора, компоненты которых вычисляются в разных точках пространства, необходимо учитывать разные базисные векторы.

Скалярное произведение

Скалярное произведение в декартовых координатах ( евклидово пространство с ортонормированным базисным набором) представляет собой просто сумму произведений компонентов. В ортогональных координатах скалярное произведение двух векторов x и y принимает знакомую форму, когда компоненты векторов вычисляются в нормализованном базисе:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}$

Это является непосредственным следствием того факта, что нормализованный базис в какой-то момент может образовывать декартову систему координат: базис ортонормирован .

Для компонентов в ковариантных или контравариантных базисах

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}$

Это можно легко получить, записав векторы в компонентной форме, нормализовав базисные векторы и взяв скалярное произведение. Например, в 2D:

${\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}$

где использовался тот факт, что нормированные ковариантные и контравариантные базы равны.

Перекрестное произведение

Перекрестное произведение в трехмерных декартовых координатах:

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}$

Приведенная выше формула тогда остается справедливой в ортогональных координатах, если компоненты рассчитываются в нормализованном базисе.

Чтобы построить векторное произведение в ортогональных координатах с ковариантным или контравариантным базисом, мы снова должны просто нормализовать базисные векторы, например:

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}$

который, написанный развернуто,

$\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}$

Краткое обозначение векторного произведения, которое упрощает обобщение на неортогональные координаты и более высокие измерения, возможно с помощью тензора Леви-Чивита , который будет иметь компоненты, отличные от нулей и единиц, если масштабные коэффициенты не все равны единице.

Векторное исчисление

Дифференциация

Глядя на бесконечно малое перемещение из некоторой точки, становится очевидным, что

$d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}$

По определению градиент функции должен удовлетворять (это определение остаётся верным, если ƒ — любой тензор )

$df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}$

Отсюда следует, что оператор del должен быть:

$\nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$

и это остается верным в общих криволинейных координатах. Такие величины, как градиент и лапласиан, получаются при правильном применении этого оператора.

Формулы базисных векторов

Из d r и нормализованных базисных векторов ê _i можно построить следующее.

Дифференциальный элемент	Векторы	Скаляры
Линейный элемент	Касательный вектор к координатной кривой q я : $d{\boldsymbol {\ell }}=h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}dq^{i}$	Бесконечно малая длина $d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}={\sqrt {(h_{1}\,dq^{1})^{2}+(h_{2}\,dq^{2})^{2}+(h_{3}\,dq^{3})^{2}}}$
Поверхностный элемент	Нормаль к координатной поверхности q к = константа: ${\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\times (h_{j}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\\&=dq^{i}dq^{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)\\&=h_{i}h_{j}dq^{i}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\end{aligned}}$	Бесконечно малая поверхность $dS_{k}=h_{i}h_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}$
Элемент объема	Н/Д	Бесконечно малый объём ${\begin{aligned}dV&=|(h_{1}\,dq^{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1})\cdot (h_{2}\,dq^{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2})\times (h_{3}\,dq^{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3})|\\&=|{\hat {\mathbf {e} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{3}|h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=J\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\end{aligned}}$

где

$J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}$

– определитель Якобиана , который имеет геометрическую интерпретацию деформации объема от бесконечно малого куба d x d y d z до бесконечно малого искривленного объема в ортогональных координатах.

Интеграция

Используя показанный выше линейный элемент, линейный интеграл по пути $\scriptstyle {\mathcal {P}}$ вектора F :

$\int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}$

Бесконечно малый элемент площади поверхности, описываемой при сохранении одной постоянной координаты q _k, равен:

$dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}$

Аналогично, элемент объема:

$dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}$

где большой символ Π (заглавная Pi ) обозначает произведение так же, как большой символ Σ указывает на суммирование. Обратите внимание, что произведение всех масштабных коэффициентов является определителем Якобиана .

Например, поверхностный интеграл вектор-функции F по q ¹ = постоянная поверхность $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ в 3D это:

$\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}$

Обратите внимание, что Ф ¹ / h ₁ составляющая F. — нормальная к поверхности

Дифференциальные операторы в трех измерениях

Основная статья: дель

Поскольку эти операции являются общими в приложении, все векторные компоненты в этом разделе представлены относительно нормализованного базиса: ${\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}$.

Оператор	Выражение
Градиент скалярного поля	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}$
Дивергенция векторного поля	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\hat {F}}_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\hat {F}}_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\hat {F}}_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]$
Ротор векторного поля	${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}{\hat {F}}_{1}&h_{2}{\hat {F}}_{2}&h_{3}{\hat {F}}_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$
Лапласиан скалярного поля	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]$

Приведенные выше выражения можно записать в более компактной форме с помощью символа Леви-Чивита. $\epsilon _{ijk}$ и определитель Якобиана $J=h_{1}h_{2}h_{3}$, предполагая суммирование по повторяющимся индексам:

Оператор	Выражение
Градиент скалярного поля	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}$
Дивергенция векторного поля	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}}}{\hat {F}}_{k}\right)$
Скручивание векторного поля (только 3D)	$\nabla \times \mathbf {F} ={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{J}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}{\hat {F}}_{j}\right)$
Лапласиан скалярного поля	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)$

Также обратите внимание, что градиент скалярного поля может быть выражен через матрицу Якоби J, содержащую канонические частные производные:

$\mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]$

при смене основания :

$\nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T}$

где матрицы вращения и масштабирования:

$\mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]$

$\mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).$

Таблица двумерных ортогональных координат

Система	Комплексное преобразование $x+iy=f(u+iv)$	Форма $u$ и $v$ изолинии	Комментарий
декартовский	$u+iv$	линия, линия
Лог-полярный	$\exp(u+iv)$	круг, линия	для $u=\ln r$ становится полярным
Параболический	${\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}$	притча, притча
Точечный диполь	$(u+iv)^{-1}$	круг, круг
Эллиптический	$\cosh(u+iv)$	эллипс, гипербола	поле иглы, на больших расстояниях выглядит лог-полярным
Биполярный	$\coth(u+iv)$	круг, круг	выглядит как точечный диполь на больших расстояниях
	${\sqrt {u+iv}}$	гипербола, гипербола	поле внутреннего края
	$u=x^{2}+2y^{2},\ y=vx^{2}$	эллипс, парабола

декартовский

полярный

логполярный

эллипс парабола

параболический

точечный диполь

sqrt(u+iv)

эллиптический

биполярный

инверсный логполярный

Примеры двумерных ортогональных координат ( https://www.desmos.com/calculator/m5gmtg4n1d ).

Таблица трехмерных ортогональных координат

Помимо обычных декартовых координат, ниже в таблице представлены еще 13. Обозначение интервалов используется для компактности в столбце криволинейных координат, а записи группируются по их сигнатурам интервалов, например COxCCxCO для сферических координат, где x в каждой сигнатуре указывает на декартово произведение с теоретическим пределом в 27 произведений. Исходя из симметрии, мы можем заключить, что это полный список. Записи не сортируются по подписям интервалов в алфавитном порядке, и подписи не включаются. После группировки записей по сигнатуре интервалов порядок сортировки здесь — в алфавитном порядке по имени криволинейной системы координат.

Криволлинейные координаты ( q 1 , q 2 , q 3 )	Преобразование из декартова ( x , y , z )	Масштабные коэффициенты
Сферические координаты $(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}$
Параболические координаты $(u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}$
Биполярные цилиндрические координаты $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Эллипсоидальные координаты ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,c^{2})\times (c^{2},b^{2})\times (b^{2},a^{2})\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1$ где $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}$
Параболоидные координаты ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,b^{2})\times (b^{2},a^{2})\times (a^{2},\infty )\\&b^{2}<a^{2}\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}$ где $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}$
Цилиндрические полярные координаты $(r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}$
Эллиптические цилиндрические координаты $(u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Сплющенные сфероидальные координаты $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$
Вытянутые сфероидальные координаты $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$
Бисферические координаты $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
Тороидальные координаты $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
Параболические цилиндрические координаты $(u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Конические координаты ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}$	${\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{b^{2}-a^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$

См. также

• Криволинейные координаты
• Геодезические координаты
• Тензор
• Векторное поле
• Наклон координат
• Сбалансированная троичная система счисления

Ссылки

• Корн ГА и Корн ТМ . (1961) Математический справочник для ученых и инженеров , McGraw-Hill, стр. 164–182.
• Морс и Фешбах (1953). Методы теоретической физики, Том 1 . МакГроу-Хилл.
• Маргенау Х. и Мерфи ГМ. (1956) Математика физики и химии , 2-й. изд., Ван Ностранд, стр. 172–192.
• Леонид П. Лебедев и Майкл Дж. Клауд (2003) Тензорный анализ , стр. 81–88.